Lugar geométrico (matemáticas)

Conjunto de puntos que satisfacen unas condiciones específicas

Cada curva de este ejemplo es un lugar geométrico definido como la concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P está a 8 cm de l .

En geometría , un lugar geométrico (plural: loci ) (palabra latina para "lugar", "ubicación") es un conjunto de todos los puntos (comúnmente, una línea , un segmento de línea , una curva o una superficie ), cuya ubicación satisface o está determinada por una o más condiciones especificadas. ^{[1] [2]}

El conjunto de puntos que satisfacen alguna propiedad se denomina a menudo lugar geométrico de un punto que satisface dicha propiedad. El uso del singular en esta formulación es un testimonio de que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraban conjuntos infinitos . En lugar de considerar las líneas y curvas como conjuntos de puntos, las consideraban como lugares en los que un punto puede estar ubicado o puede moverse.

Historia y filosofía

Hasta principios del siglo XX, una forma geométrica (por ejemplo, una curva) no se consideraba como un conjunto infinito de puntos, sino como una entidad sobre la que se podía situar un punto o sobre la que se movía. Así, un círculo en el plano euclidiano se definía como el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia dada de un punto fijo, el centro del círculo. En las matemáticas modernas, conceptos similares se reformulan con más frecuencia describiendo las formas como conjuntos; por ejemplo, se dice que el círculo es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia dada del centro. ^[3]

A diferencia de la visión de la teoría de conjuntos, la antigua formulación evita considerar colecciones infinitas, ya que evitar el infinito real era una posición filosófica importante de los matemáticos anteriores. ^{[4] [5]}

Una vez que la teoría de conjuntos se convirtió en la base universal sobre la que se construyó toda la matemática, ^[6] el término de lugar geométrico se volvió bastante anticuado. ^[7] Sin embargo, la palabra todavía se usa ampliamente, principalmente para una formulación concisa, por ejemplo:

• Lugar crítico , conjunto de los puntos críticos de una función diferenciable .
• Lugar cero o lugar de desaparición , conjunto de puntos donde una función se desvanece, es decir toma el valor cero.
• Lugar singular , el conjunto de los puntos singulares de una variedad algebraica .
• Lugar de conexidad , el subconjunto del conjunto de parámetros de una familia de funciones racionales para el cual el conjunto de Julia de la función está conectado.

Más recientemente, técnicas como la teoría de esquemas y el uso de la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos para dar una base a las matemáticas, han regresado a nociones más parecidas a la definición original de un lugar como un objeto en sí mismo en lugar de como un conjunto de puntos. ^[5]

Ejemplos en geometría plana

Algunos ejemplos de geometría plana incluyen:

• El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es una bisectriz perpendicular al segmento de línea que une los dos puntos. ^[8]
• El conjunto de puntos equidistantes de dos rectas que se cortan es la unión de sus dos bisectrices .
• Todas las secciones cónicas son lugares geométricos: ^[9]
  • Círculo : el conjunto de puntos a distancia constante (el radio ) de un punto fijo (el centro ).
  • Parábola : conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo (el foco ) y una línea (la directriz ).
  • Hipérbola : conjunto de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
  • Elipse : conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es una constante.

Otros ejemplos de loci aparecen en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en dinámica compleja , el conjunto de Mandelbrot es un subconjunto del plano complejo que puede caracterizarse como el lugar geométrico de conectividad de una familia de aplicaciones polinómicas.

Prueba de un locus

Para demostrar que una forma geométrica es el lugar geométrico correcto para un conjunto dado de condiciones, generalmente se divide la prueba en dos etapas: la prueba de que todos los puntos que satisfacen las condiciones están en la forma dada, y la prueba de que todos los puntos en la forma dada satisfacen las condiciones. ^[10]

Ejemplos

(distancia PA ) = 3.(distancia PB )

Primer ejemplo

Halla el lugar geométrico de un punto P que tiene una relación dada de distancias k = d ₁ / d ₂ a dos puntos dados.

En este ejemplo k = 3, A (−1, 0) y B (0, 2) se eligen como puntos fijos.

P ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Esta ecuación representa un círculo con centro (1/8, 9/4) y radio . Es el círculo de Apolonio definido por estos valores de k , A y B . ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Segundo ejemplo

Lugar geométrico del punto C

Un triángulo ABC tiene un lado fijo [ AB ] con longitud c . Determine el lugar geométrico del tercer vértice C de manera que las medianas de A y C sean ortogonales .

Elija un sistema de coordenadas ortonormal tal que A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x ,  y ) es el tercer vértice variable. El centro de [ BC ] es M ((2 x  +  c )/4,  y /2). La mediana de C tiene una pendiente y / x . La mediana AM tiene una pendiente 2 y /(2 x  + 3 c ).

El lugar es un círculo

C ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow }$Las medianas de A y C son ortogonales .

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

El lugar geométrico del vértice C es un círculo con centro (−3 c /4, 0) y radio 3 c /4.

Tercer ejemplo

El punto de intersección de las líneas asociadas k y l describe el círculo.

Un lugar geométrico también puede definirse mediante dos curvas asociadas que dependen de un parámetro común . Si el parámetro varía, los puntos de intersección de las curvas asociadas describen el lugar geométrico.

En la figura, los puntos K y L son puntos fijos en una línea dada m . La línea k es una línea variable que pasa por K . La línea l que pasa por L es perpendicular a k . El ángulo entre k y m es el parámetro. k y l son líneas asociadas que dependen del parámetro común. El punto de intersección variable S de k y l describe un círculo. Este círculo es el lugar geométrico del punto de intersección de las dos líneas asociadas. ${\displaystyle \alpha }$

Cuarto ejemplo

Un lugar geométrico de puntos no necesita ser unidimensional (como un círculo, una línea, etc.). Por ejemplo, ^[1] el lugar geométrico de la desigualdad 2 x + 3 y – 6 < 0 es la porción del plano que está debajo de la línea de ecuación 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Véase también

• Variedad algebraica
• Curva
• Línea (geometría)
• Notación del generador de conjuntos
• Forma (geometría)

Referencias

1. James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Diccionario de matemáticas, Springer, pág. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
2. Whitehead, Alfred North (1911), Introducción a las matemáticas, H. Holt, pág. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
3. Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topología", La historia de las matemáticas: un breve curso (3.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290La palabra lugar es una palabra que todavía utilizamos hoy para designar el camino seguido por un punto que se mueve sujeto a restricciones establecidas, aunque, desde la introducción de la teoría de conjuntos, un lugar se considera más a menudo estáticamente como el conjunto de puntos que satisfacen una colección dada.
4. Bourbaki, N. (2013), Elementos de la historia de las matemáticas, traducido por J. Meldrum , Springer, pág. 26, ISBN 9783642616938Los matemáticos clásicos evitaron cuidadosamente introducir en su razonamiento el "infinito actual"..
5. Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 ¿Se puede vivir sin el infinito actual?", Matemáticas bajo el microscopio: notas sobre los aspectos cognitivos de la práctica matemática, American Mathematical Society, pág. 124, ISBN 9780821847619.
6. Mayberry, John P. (2000), Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 82, Cambridge University Press, pág. 7, ISBN 9780521770347La teoría de conjuntos proporciona las bases para todas las matemáticas..
7. Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatoria y geometría, Parte 1 , Manual de matemáticas aplicables, vol. 5, Wiley, pág. 32, ISBN 9780471900238Comenzamos explicando un término un poco anticuado ..
8. George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
9. Hamilton, Henry Parr (1834), Un sistema analítico de secciones cónicas: diseñado para el uso de estudiantes , Springer.
10. GP West, La nueva geometría: forma 1 .