Matemáticas experimentales

Las matemáticas experimentales son un enfoque de las matemáticas en el que se utilizan los cálculos para investigar objetos matemáticos e identificar propiedades y patrones. ^[1] Se ha definido como "aquella rama de las matemáticas que se ocupa en última instancia de la codificación y transmisión de conocimientos dentro de la comunidad matemática mediante el uso de la exploración experimental (ya sea en el sentido galileano, baconiano, aristotélico o kantiano) de conjeturas y creencias más informales y un análisis cuidadoso de los datos adquiridos en esta búsqueda". ^[2]

Como lo expresó Paul Halmos : “Las matemáticas no son una ciencia deductiva , eso es un cliché. Cuando intentas demostrar un teorema, no te limitas a enumerar las hipótesis y luego empezar a razonar. Lo que haces es ensayo y error , experimentación, conjeturas. Quieres averiguar cuáles son los hechos, y lo que haces es en ese sentido similar a lo que hace un técnico de laboratorio”. ^[3]

Historia

Los matemáticos siempre han practicado las matemáticas experimentales. Los registros existentes de las matemáticas tempranas, como las matemáticas babilónicas , suelen consistir en listas de ejemplos numéricos que ilustran identidades algebraicas. Sin embargo, las matemáticas modernas, a partir del siglo XVII, desarrollaron una tradición de publicación de resultados en una presentación final, formal y abstracta. Los ejemplos numéricos que pueden haber llevado a un matemático a formular originalmente un teorema general no se publicaron y, por lo general, se olvidaron.

Las matemáticas experimentales como área de estudio independiente resurgieron en el siglo XX, cuando la invención de la computadora electrónica aumentó enormemente el rango de cálculos factibles, con una velocidad y precisión mucho mayores que cualquier cosa disponible para generaciones anteriores de matemáticos. Un hito y logro significativo de las matemáticas experimentales fue el descubrimiento en 1995 de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para los dígitos binarios de π . Esta fórmula no fue descubierta por razonamiento formal, sino por búsquedas numéricas en una computadora; solo después se encontró una prueba rigurosa . ^[4]

Objetivos y usos

Los objetivos de las matemáticas experimentales son "generar comprensión y conocimiento; generar y confirmar o confrontar conjeturas; y en general, hacer que las matemáticas sean más tangibles, animadas y divertidas tanto para el investigador profesional como para el novato". ^[5]

Los usos de las matemáticas experimentales se han definido de la siguiente manera: ^[6]

1. Adquirir conocimiento e intuición.
2. Descubriendo nuevos patrones y relaciones.
3. Utilizar representaciones gráficas para sugerir principios matemáticos subyacentes.
4. Poner a prueba y sobre todo refutar conjeturas.
5. Explorar un posible resultado para ver si vale la pena probarlo formalmente.
6. Sugerir enfoques para la prueba formal.
7. Reemplazar largas derivaciones manuales por derivaciones basadas en computadora.
8. Confirmación de resultados derivados analíticamente.

Herramientas y técnicas

Las matemáticas experimentales utilizan métodos numéricos para calcular valores aproximados de integrales y series infinitas . A menudo se utiliza la aritmética de precisión arbitraria para establecer estos valores con un alto grado de precisión, normalmente 100 cifras significativas o más. A continuación, se utilizan algoritmos de relación entera para buscar relaciones entre estos valores y constantes matemáticas . Trabajar con valores de alta precisión reduce la posibilidad de confundir una coincidencia matemática con una relación verdadera. A continuación, se buscará una prueba formal de una relación conjeturada; a menudo es más fácil encontrar una prueba formal una vez que se conoce la forma de una relación conjeturada.

Si se busca un contraejemplo o se intenta una prueba a gran escala por agotamiento , se pueden utilizar técnicas de computación distribuida para dividir los cálculos entre varias computadoras.

Se hace uso frecuente de software matemático general o software específico de dominio escrito para abordar problemas que requieren alta eficiencia. El software matemático experimental generalmente incluye mecanismos de detección y corrección de errores , controles de integridad y cálculos redundantes diseñados para minimizar la posibilidad de que los resultados sean invalidados por un error de hardware o software.

Aplicaciones y ejemplos

Las aplicaciones y ejemplos de las matemáticas experimentales incluyen:

• En busca de un contraejemplo a una conjetura
  • Roger Frye utilizó técnicas de matemática experimental para encontrar el contraejemplo más pequeño de la conjetura de la suma de potencias de Euler .
  • El proyecto ZetaGrid se creó para buscar un contraejemplo a la hipótesis de Riemann .
  • Tomás Oliveira e Silva ^[7] buscó un contraejemplo a la conjetura de Collatz .
• Encontrar nuevos ejemplos de números u objetos con propiedades particulares
  • La gran búsqueda de números primos de Mersenne en Internet está buscando nuevos números primos de Mersenne .
  • La Gran Búsqueda de Caminos Periódicos busca nuevos caminos periódicos.
  • El proyecto OGR de distributed.net buscó reglas de Golomb óptimas .
  • El proyecto PrimeGrid busca los números de Riesel y Sierpiński más pequeños .
• Encontrar patrones numéricos fortuitos
  • Edward Lorenz descubrió el atractor de Lorenz , un ejemplo temprano de un sistema dinámico caótico , al investigar comportamientos anómalos en un modelo meteorológico numérico.
  • La espiral de Ulam fue descubierta por accidente.
  • El patrón en los números de Ulam fue descubierto por accidente.
  • El descubrimiento de la constante de Feigenbaum por Mitchell Feigenbaum se basó inicialmente en observaciones numéricas, seguidas de una prueba rigurosa.
• Uso de programas informáticos para comprobar un número grande pero finito de casos para completar una prueba asistida por ordenador por agotamiento
  • Prueba de la conjetura de Kepler de Thomas Hales .
  • Varias pruebas del teorema de los cuatro colores .
  • Prueba de Clement Lam de la no existencia de un plano proyectivo finito de orden 10. ^[8]
  • Gary McGuire demostró que un sudoku con una solución única y mínima requiere 17 pistas. ^[9]
• Validación simbólica (mediante álgebra computacional ) de conjeturas para motivar la búsqueda de una prueba analítica
  • Se encontraron soluciones a un caso especial del problema cuántico de los tres cuerpos, conocido como el problema de la molécula-ion de hidrógeno, en los conjuntos básicos de la química cuántica estándar, antes de darse cuenta de que todos ellos conducían a la misma solución analítica única en términos de una generalización de la función W de Lambert . Relacionado con este trabajo está el aislamiento de un vínculo previamente desconocido entre la teoría de la gravedad y la mecánica cuántica en dimensiones inferiores (véase gravedad cuántica y las referencias allí incluidas).
  • En el ámbito de la mecánica relativista de muchos cuerpos , es decir, la teoría de absorción de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo : la equivalencia entre un potencial avanzado de Liénard-Wiechert de la partícula j que actúa sobre la partícula i y el potencial correspondiente para la partícula i que actúa sobre la partícula j se demostró exhaustivamente hasta el orden antes de ser demostrada matemáticamente. La teoría de Wheeler-Feynman ha recuperado interés debido a la no localidad cuántica . ${\displaystyle 1/c^{10}}$
  • En el campo de la óptica lineal, verificación de la expansión en serie de la envolvente del campo eléctrico para pulsos de luz ultracortos que viajan en medios no isótropos . Las expansiones anteriores habían sido incompletas: el resultado reveló un término adicional confirmado experimentalmente.
• Evaluación de series infinitas , productos infinitos e integrales (véase también integración simbólica ), generalmente mediante la realización de un cálculo numérico de alta precisión y luego utilizando un algoritmo de relación entera (como la Calculadora simbólica inversa ) para encontrar una combinación lineal de constantes matemáticas que coincida con este valor. Por ejemplo, la siguiente identidad fue redescubierta por Enrico Au-Yeung, un estudiante de Jonathan Borwein , utilizando la búsqueda por computadora y el algoritmo PSLQ en 1993: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{aligned}}}$

• Investigaciones visuales
  • En Las Perlas de Indra , David Mumford y otros investigaron varias propiedades de la transformación de Möbius y el grupo de Schottky utilizando imágenes generadas por computadora de los grupos que: proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y atraen a una mayor exploración . ^[12]

Ejemplos plausibles pero falsos

Algunas relaciones plausibles se mantienen con un alto grado de precisión, pero aún no son verdaderas. Un ejemplo es:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.}$

Los dos lados de esta expresión en realidad difieren después del 42º decimal. ^[13]

Otro ejemplo es que la altura máxima (valor absoluto máximo de los coeficientes) de todos los factores de x ⁿ − 1 parece ser la misma que la altura del n º polinomio ciclotómico . Se demostró por ordenador que esto es cierto para n < 10000 y se esperaba que fuera cierto para todos los n . Sin embargo, una búsqueda por ordenador más amplia mostró que esta igualdad no se cumple para n = 14235, cuando la altura del n º polinomio ciclotómico es 2, pero la altura máxima de los factores es 3. ^[14]

Practicantes

Los siguientes matemáticos e informáticos han realizado contribuciones significativas al campo de las matemáticas experimentales:

• Fabrice Bellard
• David H. Bailey
• Jonathan Borwein
• David Epstein
• Helamán Ferguson
• Ronald Graham
• Thomas Callister Hales
• Donald Knuth
• Clemente Lam
• Oren Patashnik
• Simón Plouffe
• Eric Weisstein
• Esteban Wolfram
• Doron Zeilberger
• AJ Han Vinck

Véase también

• Integral de Borwein
• Prueba asistida por computadora
• Pruebas y refutaciones
• Matemáticas experimentales (revista)
• Instituto de Matemáticas Experimentales

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Matemáticas experimentales". MathWorld .
2. Matemáticas experimentales: una discusión Archivado el 21 de enero de 2008 en Wayback Machine por J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn y S. Parnes
3. Quiero ser matemático: una automatografía (1985), pág. 321 (reimpresión de 2013)
4. La búsqueda de Pi Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine por David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Peter B. Borwein y Simon Plouffe .
5. Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matemáticas experimentales: razonamiento plausible en el siglo XXI . AK Peters. pp. vii. ISBN 978-1-56881-211-3.
6. Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matemáticas experimentales: razonamiento plausible en el siglo XXI . AK Peters. pág. 2. ISBN 978-1-56881-211-3.
7. Silva, Tomás (28 de diciembre de 2015). «Verificación computacional de la conjetura 3x+1». Instituto de Ingeniería Electrónica e Informática de Aveiro . Archivado desde el original el 18 de marzo de 2013.
8. Clement WH Lam (1991). "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10". American Mathematical Monthly . 98 (4): 305–318. doi :10.2307/2323798. JSTOR  2323798.
9. arXiv, Tecnología emergente de la. "Matemáticos resuelven el problema mínimo de sudoku". MIT Technology Review . Consultado el 27 de noviembre de 2017 .
10. Bailey, David (1997). "Nuevas fórmulas matemáticas descubiertas con supercomputadoras" (PDF) . NAS News . 2 (24).
11. HF Sandham y Martin Kneser, The American mathematics monthly, Problema avanzado 4305, vol. 57, n.º 4 (abril de 1950), págs. 267-268
12. Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2002). Las perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Cambridge. pp. viii. ISBN 978-0-521-35253-6.
13. David H. Bailey y Jonathan M. Borwein, Perspectivas futuras para las matemáticas asistidas por computadora Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine , diciembre de 2005
14. La altura de Φ ₄₇₄₅ es 3 y 14235 = 3 x 4745. Consulte las secuencias de Sloane OEIS : A137979 y OEIS : A160338 .

Enlaces externos

• Matemáticas experimentales (Revista)
• Centro de Matemáticas Experimentales y Constructivas (CECM) de la Universidad Simon Fraser
• Grupo colaborativo de investigación en educación matemática de la Universidad de Southampton
• Reconocimiento de constantes numéricas por David H. Bailey y Simon Plouffe
• Psicología de las Matemáticas Experimentales
• Sitio web de Matemáticas experimentales (enlaces y recursos)
• Sitio web de la Gran Búsqueda de Caminos Periódicos (enlaces y recursos)
• Un algoritmo para la historia: PSLQ, una mejor manera de encontrar relaciones entre números enteros (Enlace alternativo Archivado el 13 de febrero de 2021 en Wayback Machine )
• Teoría de la información algorítmica experimental
• Problemas de muestra de matemáticas experimentales de David H. Bailey y Jonathan M. Borwein
• Diez problemas de matemáticas experimentales Archivado el 10 de junio de 2011 en Wayback Machine por David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Vishaal Kapoor y Eric W. Weisstein
• Instituto de Matemáticas Experimentales Archivado el 10 de febrero de 2015 en Wayback Machine en la Universidad de Duisburg-Essen