Constantes de Feigenbaum

Constantes matemáticas relacionadas con el comportamiento caótico

En matemáticas , específicamente en la teoría de bifurcación , las constantes de Feigenbaum / ˈ f aɪ ɡ ə n ˌ b aʊ m / ^[1] δ y α son dos constantes matemáticas que expresan proporciones en un diagrama de bifurcación para un mapa no lineal. Reciben su nombre en honor al físico Mitchell J. Feigenbaum .

Historia

Feigenbaum relacionó originalmente la primera constante con las bifurcaciones que duplican el período en el mapa logístico , pero también demostró que se cumple para todos los mapas unidimensionales con un único máximo cuadrático . Como consecuencia de esta generalidad, todo sistema caótico que corresponda a esta descripción se bifurcará a la misma velocidad. Feigenbaum hizo este descubrimiento en 1975, ^{[2] [3]} y lo publicó oficialmente en 1978. ^[4]

La primera constante

La primera constante de Feigenbaum o simplemente constante de Feigenbaum ^[5] δ es la relación límite de cada intervalo de bifurcación con el siguiente entre cada duplicación del período de un mapa de un parámetro .

${\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}$

donde f  ( x ) es una función parametrizada por el parámetro de bifurcación a .

Viene dado por el límite : ^[6]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}}$

donde a _n son valores discretos de a en el n -ésimo período de duplicación.

Esto da su valor numérico: (secuencia A006890 en la OEIS )

${\displaystyle \delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466...,}$

• Una aproximación racional simple es :621/133⁠ , que es correcto hasta 5 valores significativos (al redondear). Para mayor precisión, use ⁠1228/263⁠ , lo cual es correcto hasta 7 valores significativos.
• Es aproximadamente igual a ⁠10/π − 1⁠ , con un error del 0,0047%

Ilustración

Mapas no lineales

Para ver cómo surge este número, considere el mapa real de un parámetro

${\displaystyle f(x)=a-x^{2}.}$

Aquí a es el parámetro de bifurcación, x es la variable. Los valores de a para los cuales el período se duplica (por ejemplo, el valor más grande para a sin órbita de período 2 , o el valor más grande para a sin órbita de período 4 ), son a ₁ , a ₂ , etc. Estos se tabulan a continuación: ^[7]

La relación de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum. El mismo número surge para el mapa logístico

${\displaystyle f(x)=ax(1-x)}$

con parámetro real a y variable x . Tabulando nuevamente los valores de bifurcación: ^[8]

Fractales

Autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot que se muestra al hacer zoom sobre una característica circular mientras se desplaza en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza de (−1, 0) a (−1,31, 0) mientras que la vista se amplía de 0,5 × 0,5 a 0,12 × 0,12 para aproximarse al coeficiente de Feigenbaum.

En el caso del conjunto de Mandelbrot para polinomios cuadráticos complejos

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

La constante de Feigenbaum es la relación límite entre los diámetros de círculos sucesivos en el eje real en el plano complejo (ver animación a la derecha).

El parámetro de bifurcación es un punto raíz del componente de período 2 ⁿ . Esta serie converge al punto de Feigenbaum c = −1,401155... La relación en la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum.

Julia se prepara para el punto Feigenbaum

Otros mapas también reproducen esta relación; en este sentido, la constante de Feigenbaum en la teoría de la bifurcación es análoga a π en geometría y a e en cálculo .

La segunda constante

La segunda constante de Feigenbaum o parámetro de reducción de Feigenbaum ^[5] α viene dada por: (secuencia A006891 en la OEIS )

${\displaystyle \alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,}$

Es la relación entre el ancho de una púa y el ancho de una de sus dos subpúas (excepto la púa más cercana al pliegue). Se aplica un signo negativo a α cuando se mide la relación entre la subpúa inferior y el ancho de la púa. ^[9]

Estas cifras se aplican a una amplia clase de sistemas dinámicos (por ejemplo, desde grifos que gotean hasta el crecimiento de la población). ^[9]

Una aproximación racional simple es13/11×​​17/11×​​37/27⁠ = ⁠8177/3267⁠ .

Propiedades

Se cree que ambos números son trascendentales , aunque no se ha demostrado que lo sean. ^[10] De hecho, no se conoce ninguna prueba de que alguna de las constantes sea siquiera irracional .

La primera prueba de la universalidad de las constantes de Feigenbaum fue realizada por Oscar Lanford —con ayuda de una computadora— en 1982 ^[11] (con una pequeña corrección de Jean-Pierre Eckmann y Peter Wittwer de la Universidad de Ginebra en 1987 ^[12] ). Con el paso de los años, se descubrieron métodos no numéricos para diferentes partes de la prueba, lo que ayudó a Mikhail Lyubich a producir la primera prueba no numérica completa. ^[13]

Otros valores

La ventana del período 3 en el mapa logístico también tiene una ruta de duplicación de período hacia el caos, alcanzando el caos en , y tiene sus propias dos constantes de Feigenbaum: . ^{[14] [15] : Apéndice F.2} ${\displaystyle r=3.854077963591\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26,\alpha =9.277}$

Véase también

• Diagrama de bifurcación
• Teoría de la bifurcación
• Fallo en cascada
• Función de Feigenbaum
• Lista de mapas caóticos

Notas

1. La constante de Feigenbaum (4.669) – Numberphile, 16 de enero de 2017 , consultado el 7 de febrero de 2023
2. Feigenbaum, MJ (1976). "Universalidad en dinámica discreta compleja" (PDF) . Informe anual de la División teórica de Los Álamos 1975-1976 .
3. Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. ISBN 0-387-94677-2.
4. Feigenbaum, Mitchell J. (1978). "Universalidad cuantitativa para una clase de transformaciones no lineales". Journal of Statistical Physics . 19 (1): 25–52. Bibcode :1978JSP....19...25F. doi :10.1007/BF01020332. S2CID  124498882.
5. Weisstein, Eric W. "Constante de Feigenbaum". mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de octubre de 2024 .
6. Jordan, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
7. Alligood, pág. 503.
8. Alligood, pág. 504.
9. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Estudios sobre no linealidad. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.
10. Briggs, Keith (1997). Escalamiento de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne .
11. Lanford III, Oscar (1982). "Una prueba asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum". Bull. Amer. Math. Soc . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
12. Eckmann, JP; Wittwer, P. (1987). "Una prueba completa de las conjeturas de Feigenbaum". Journal of Statistical Physics . 46 (3–4): 455. Bibcode :1987JSP....46..455E. doi :10.1007/BF01013368. S2CID  121353606.
13. Lyubich, Mikhail (1999). "Universalidad de Feigenbaum-Coullet-Tresser y conjetura de vellosidad de Milnor". Anales de Matemáticas . 149 (2): 319–420. arXiv : math/9903201 . Bibcode :1999math......3201L. doi :10.2307/120968. JSTOR  120968. S2CID  119594350.
14. Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1 de enero de 1985). "Dependencia de constantes universales sobre el período de multiplicación en aplicaciones no lineales". Physical Review A . 31 (1): 514–516. Bibcode :1985PhRvA..31..514D. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791. PMID  9895509.
15. Hilborn, Robert C. (2000). Caos y dinámica no lineal: una introducción para científicos e ingenieros (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pág. 578. ISBN 0-19-850723-2.OCLC 44737300  .

Referencias

• Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Caos: Introducción a los sistemas dinámicos, Libros de texto de ciencias matemáticas Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1 
• Briggs, Keith (julio de 1991). "Un cálculo preciso de las constantes de Feigenbaum" (PDF) . Matemáticas de la computación . 57 (195): 435–439. Bibcode :1991MaCom..57..435B. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
• Briggs, Keith (1997). Escalamiento de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne.
• Broadhurst, David (22 de marzo de 1999). "Constantes de Feigenbaum hasta 1018 decimales".

• Weisstein, Eric W. "Constante de Feigenbaum". MundoMatemático .

Enlaces externos

• Constante de Feigenbaum - de Wolfram MathWorld
• Secuencia OEIS A006890 (Expansión decimal de la velocidad de bifurcación de Feigenbaum)

Secuencia OEIS A006891 (expansión decimal del parámetro de reducción de Feigenbaum)

Secuencia OEIS A195102 (Expansión decimal del parámetro para la solución bicuadrática de la ecuación de Feigenbaum-Cvitanovic)

• Constante de Feigenbaum – PlanetMath
• Cuaderno de Julia para calcular la constante de Feigenbaum ^[1]
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "δ – Feigenbaum Constant". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Thurlby, Judi (2021). Cálculos rigurosos de puntos fijos de renormalización y atractores (PhD). Universidad de Portsmouth.

1. Hofstätter, Harald (25 de octubre de 2015). «Cálculo de las constantes de Feigenbaum». www.harald-hofstaetter.at . Consultado el 7 de abril de 2024 .