Función de Feigenbaum

Concepto en sistemas dinámicos

En el estudio de sistemas dinámicos , el término función de Feigenbaum se ha utilizado para describir dos funciones diferentes introducidas por el físico Mitchell Feigenbaum : ^[1]

• la solución de la ecuación funcional de Feigenbaum-Cvitanović ; y
• La función de escala que describe las cubiertas del atractor del mapa logístico.

Idea

La ruta de la duplicación de períodos hacia el caos

En el mapa logístico,

Tenemos una función y queremos estudiar qué sucede cuando iteramos el mapa muchas veces. El mapa puede caer en un punto fijo , un ciclo fijo o caos. Cuando el mapa cae en un ciclo fijo estable de longitud , encontraríamos que el gráfico de y el gráfico de se interseca en puntos, y la pendiente del gráfico de está acotada en esas intersecciones. ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

Por ejemplo, cuando , tenemos una única intersección, con pendiente acotada en , lo que indica que es un único punto fijo estable. ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

A medida que aumenta más allá de , el punto de intersección se divide en dos, lo que es una duplicación del período. Por ejemplo, cuando , hay tres puntos de intersección, con el del medio inestable y los otros dos estables. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle r=3.4}$

A medida que se acerca a , se produce otra duplicación del período de la misma manera. Las duplicaciones del período se producen cada vez con mayor frecuencia, hasta que en un cierto , las duplicaciones del período se vuelven infinitas y el mapa se vuelve caótico. Esta es la ruta de duplicación del período hacia el caos . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.45}$ ${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

Límite de escala

Aproximación al límite de escala a medida que se acerca desde abajo. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

En el punto de caos , a medida que repetimos las duplicaciones de períodos , los gráficos parecen asemejarse entre sí, excepto que se encogen hacia el medio y giran 180 grados, convergiendo en un fractal. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Al observar las imágenes, se puede observar que en el punto de caos , la curva de parece un fractal. Además, a medida que repetimos las duplicaciones de períodos , los gráficos parecen parecerse entre sí, excepto que se encogen hacia el medio y se rotan 180 grados. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Esto nos sugiere un límite de escala: si duplicamos repetidamente la función y luego la ampliamos para una cierta constante : entonces, en el límite, terminaríamos con una función que satisface . Además, a medida que los intervalos de duplicación de períodos se hacen cada vez más cortos, la relación entre dos intervalos de duplicación de períodos converge a un límite, la primera constante de Feigenbaum . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

Para los valores incorrectos del factor de escala , el mapa no converge a un límite, pero cuando , converge. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

En el punto de caos , a medida que repetimos la iteración de la ecuación funcional con , encontramos que el mapa converge a un límite. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

La constante se puede encontrar numéricamente probando muchos valores posibles. Para los valores incorrectos, la función no converge a un límite, pero cuando es , converge. Esta es la segunda constante de Feigenbaum. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Régimen caótico

En el régimen caótico, , el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

En el régimen caótico, , el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

Otros límites de escala

Cuando se acerca a , tenemos otro enfoque de duplicación de período para el caos, pero esta vez con períodos 3, 6, 12, ... Esto nuevamente tiene las mismas constantes de Feigenbaum . El límite de también es la misma función. Este es un ejemplo de universalidad . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.8494344}$ ${\displaystyle \delta ,\alpha }$ ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$

Mapa logístico que se acerca al límite de escala del caos que duplica el período desde abajo. En el límite, tiene la misma forma que la de , ya que todas las rutas de duplicación del período hacia el caos son las mismas (universalidad). ${\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

También podemos considerar la ruta de triplicación de períodos hacia el caos al elegir una secuencia de tal que sea el valor más bajo en la ventana de períodos del diagrama de bifurcación. Por ejemplo, tenemos , con el límite . Esto tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum . ^[2] Y converge al punto fijo a Como otro ejemplo, el período-4-pling tiene un par de constantes de Feigenbaum distintas de las de la duplicación de períodos, aunque el período-4-pling se alcanza mediante dos duplicaciones de períodos. En detalle, defina tal que sea el valor más bajo en la ventana de períodos del diagrama de bifurcación. Entonces tenemos , con el límite . Esto tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum . ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 3^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$ ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 4^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }$ ${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$

En general, cada ruta de multiplicación de períodos hacia el caos tiene su propio par de constantes de Feigenbaum. De hecho, normalmente hay más de una. Por ejemplo, para la multiplicación de períodos, hay al menos 9 pares diferentes de constantes de Feigenbaum. ^[2]

Generalmente, , y la relación se vuelve exacta a medida que ambos números aumentan hasta el infinito: . ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$

Ecuación funcional de Feigenbaum-Cvitanović

Esta ecuación funcional surge en el estudio de aplicaciones unidimensionales que, en función de un parámetro, pasan por una cascada de duplicación de período. Descubierta por Mitchell Feigenbaum y Predrag Cvitanović ^[3] , la ecuación es la expresión matemática de la universalidad de la duplicación de período. Especifica una función g y un parámetro α mediante la relación

${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$

con las condiciones iniciales Para una forma particular de solución con una dependencia cuadrática de la solución cerca de x = 0, α = 2.5029... es una de las constantes de Feigenbaum . $${\displaystyle {\begin{cases}g(0)=1,\\g'(0)=0,\\g''(0)<0.\end{cases}}}$$

La serie de potencias de es aproximadamente ^[4] ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x)=1-1.52763x^{2}+0.104815x^{4}+0.026705x^{6}+O(x^{8})}$$

Renormalización

La función de Feigenbaum se puede derivar mediante un argumento de renormalización . ^[5]

La función de Feigenbaum satisface ^[6] para cualquier mapa en la línea real al inicio del caos. $${\displaystyle g(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{F^{\left(2^{n}\right)}(0)}}F^{\left(2^{n}\right)}\left(xF^{\left(2^{n}\right)}(0)\right)}$$ ${\displaystyle F}$

Función de escala

La función de escala de Feigenbaum proporciona una descripción completa del atractor del mapa logístico al final de la cascada de duplicación de períodos. El atractor es un conjunto de Cantor y, al igual que el conjunto de Cantor de tercio medio, puede estar cubierto por un conjunto finito de segmentos, todos mayores que un tamaño mínimo d _n . Para un d _n fijo, el conjunto de segmentos forma una cubierta Δ _n del atractor. La relación de segmentos de dos cubiertas consecutivas, Δ _n y Δ _{n +1,} se puede organizar para aproximar una función σ , la función de escala de Feigenbaum.

Véase también

• Mapa logístico
• Función de presentación

Notas

1. Feigenbaum, MJ (1976) "Universalidad en dinámica discreta compleja", Informe anual de la División teórica de Los Álamos 1975-1976
2. Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1985-01-01). "Dependencia de constantes universales sobre el período de multiplicación en aplicaciones no lineales". Physical Review A . 31 (1): 514–516. Bibcode :1985PhRvA..31..514D. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791.
3. La nota a pie de página en la pág. 46 de Feigenbaum (1978) afirma: "Esta ecuación exacta fue descubierta por P. Cvitanović durante una discusión y en colaboración con el autor".
4. Iii, Oscar E. Lanford (mayo de 1982). "Una prueba asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum". Boletín (Nueva Serie) de la American Mathematical Society . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . ISSN  0273-0979.
5. Feldman, David P. (2019). Caos y sistemas dinámicos. Princeton. ISBN 978-0-691-18939-0.OCLC 1103440222  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
6. Weisstein, Eric W. "Función Feigenbaum". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de mayo de 2023 .

Bibliografía

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