Funciones elípticas de Jacobi

Función matemática

En matemáticas , las funciones elípticas de Jacobi son un conjunto de funciones elípticas básicas . Se encuentran en la descripción del movimiento de un péndulo , así como en el diseño de filtros elípticos electrónicos . Mientras que las funciones trigonométricas se definen con referencia a un círculo, las funciones elípticas de Jacobi son una generalización que se refiere a otras secciones cónicas , la elipse en particular. La relación con las funciones trigonométricas está contenida en la notación, por ejemplo, por la notación correspondiente para . Las funciones elípticas de Jacobi se utilizan con más frecuencia en problemas prácticos que las funciones elípticas de Weierstrass , ya que no requieren nociones de análisis complejo para ser definidas y/o entendidas. Fueron introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi  (1829). Carl Friedrich Gauss ya había estudiado funciones elípticas especiales de Jacobi en 1797, las funciones elípticas lemniscatas en particular, ^[1] pero su trabajo fue publicado mucho más tarde. ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \sin }$

Descripción general

El rectángulo fundamental en el plano complejo de ${\displaystyle u}$

Hay doce funciones elípticas de Jacobi denotadas por , donde y son cualquiera de las letras , , y . (Las funciones de la forma se establecen trivialmente en la unidad para completar la notación). es el argumento y es el parámetro, los cuales pueden ser complejos. De hecho, las funciones elípticas de Jacobi son meromórficas tanto en como en . ^[2] La distribución de los ceros y polos en el plano es bien conocida. Sin embargo, quedan por investigar cuestiones de la distribución de los ceros y polos en el plano . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

En el plano complejo del argumento , las doce funciones forman una red repetitiva de polos y ceros simples . ^[3] Dependiendo de la función, un paralelogramo repetitivo, o celda unitaria, tendrá lados de longitud o en el eje real, y o en el eje imaginario, donde y se conocen como los cuartos de período con siendo la integral elíptica de primer tipo. La naturaleza de la celda unitaria se puede determinar inspeccionando el "rectángulo auxiliar" (generalmente un paralelogramo), que es un rectángulo formado por el origen en una esquina, y como la esquina diagonalmente opuesta. Como en el diagrama, las cuatro esquinas del rectángulo auxiliar se denominan , , y , yendo en sentido antihorario desde el origen. La función tendrá un cero en la esquina y un polo en la esquina. Las doce funciones corresponden a las doce formas de organizar estos polos y ceros en las esquinas del rectángulo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 2K'}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle K(\cdot )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (K,K')}$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$

Cuando el argumento y el parámetro son reales, con , y serán reales y el paralelogramo auxiliar será de hecho un rectángulo, y las funciones elípticas de Jacobi serán todas de valor real en la línea real. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

Como las funciones elípticas jacobianas son doblemente periódicas en , se factorizan a través de un toro ; en efecto, su dominio puede tomarse como un toro, tal como el coseno y el seno están definidos en un círculo. En lugar de tener solo un círculo, ahora tenemos el producto de dos círculos, uno real y el otro imaginario. El plano complejo puede reemplazarse por un toro complejo . La circunferencia del primer círculo es y la del segundo , donde y son los cuartos de período . Cada función tiene dos ceros y dos polos en posiciones opuestas en el toro. Entre los puntos , , , hay un cero y un polo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K+iK'}$ ${\displaystyle iK'}$

Las funciones elípticas jacobianas son entonces funciones meromórficas doblemente periódicas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Hay un simple cero en la esquina y un simple polo en la esquina  . ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$
• El número complejo es igual a la mitad del período de la función ; es decir, la función es periódica en la dirección , siendo el período . La función también es periódica en las otras dos direcciones y , con períodos tales que y son cuartos de período. ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} }$ ${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \mathrm {pp} '}$ ${\displaystyle \mathrm {pq} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

Gráficos de cuatro funciones elípticas de Jacobi en el plano complejo de , que ilustran su comportamiento periódico doble. Imágenes generadas utilizando una versión del método de coloración de dominios . ^[4] Todos tienen valores iguales a . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0.8}$

Notación

Las funciones elípticas se pueden expresar en diversas notaciones, lo que puede hacer que el tema resulte innecesariamente confuso. Las funciones elípticas son funciones de dos variables. La primera variable se puede expresar en términos de la amplitud , o más comúnmente, en términos de , que se indica a continuación. La segunda variable se puede expresar en términos del parámetro , o como el módulo elíptico , donde , o en términos del ángulo modular , donde . Los complementos de y se definen como y . Estos cuatro términos se utilizan a continuación sin comentarios para simplificar varias expresiones. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'=1-m}$ ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

Las doce funciones elípticas de Jacobi se escriben generalmente como donde y son cualquiera de las letras , , y . Las funciones de la forma se establecen trivialmente en la unidad para completar la notación. Las funciones "principales" generalmente se toman como , y de las cuales se pueden derivar todas las demás funciones y las expresiones a menudo se escriben únicamente en términos de estas tres funciones; sin embargo, varias simetrías y generalizaciones a menudo se expresan de manera más conveniente utilizando el conjunto completo. (Esta notación se debe a Gudermann y Glaisher y no es la notación original de Jacobi). ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

A lo largo de este artículo, . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

Las funciones están relacionadas entre sí mediante la regla de multiplicación: (argumentos suprimidos)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

de donde se pueden derivar otras relaciones de uso común:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

La regla de multiplicación se desprende inmediatamente de la identificación de las funciones elípticas con las funciones theta de Neville ^[5]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Tenga en cuenta también que:

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

Definición en términos de inversas de integrales elípticas

Modelo de la amplitud de Jacobi (medida a lo largo del eje vertical) en función de las variables independientes u y el módulo k

Existe una definición que relaciona las funciones elípticas con la inversa de la integral elíptica incompleta de primera especie . Estas funciones toman como entradas los parámetros y . La que satisface ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

se llama amplitud de Jacobi :

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

En este marco, el seno elíptico sn  u (del latín: sinus amplitudinis ) viene dado por

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

y el coseno elíptico cn  u (del latín: cosinus amplitudinis ) viene dado por

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

y la amplitud delta dn  u (latín: delta amplitudinis ) ^{[nota 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

En lo anterior, el valor es un parámetro libre, que generalmente se toma como real, de modo que (pero puede ser complejo en general), por lo que se puede pensar que las funciones elípticas están dadas por dos variables y el parámetro  . Las nueve funciones elípticas restantes se construyen fácilmente a partir de las tres anteriores ( , , ), y se dan en una sección a continuación. Tenga en cuenta que cuando , entonces es igual al período del trimestre . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ ${\displaystyle u}$  ${\displaystyle K}$

En el contexto más general, es una función multivaluada (en ) con infinitos puntos de ramificación logarítmicos (las ramas difieren en múltiplos enteros de ), a saber, los puntos y donde . ^[6] Esta función multivaluada se puede hacer univaluada cortando el plano complejo a lo largo de los segmentos de línea que unen estos puntos de ramificación (el corte se puede hacer de formas no equivalentes, dando funciones univaluadas no equivalentes), haciendo así analítica en todas partes excepto en los cortes de rama . Por el contrario, y otras funciones elípticas no tienen puntos de ramificación, dan valores consistentes para cada rama de , y son meromórficas en todo el plano complejo. Dado que cada función elíptica es meromórfica en todo el plano complejo (por definición), (cuando se considera como una función univaluada) no es una función elíptica. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

Sin embargo, se puede hacer un corte particular para en el plano - por segmentos de línea desde a con ; entonces solo queda definir en los cortes de rama por continuidad desde alguna dirección. Entonces se vuelve univaluado y uniperiódico en con el período mínimo y tiene singularidades en los puntos de ramificación logarítmicos mencionados anteriormente. Si y , es continua en en la línea real. Cuando , los cortes de rama de en el plano - cruzan la línea real en para ; por lo tanto para , no es continua en en la línea real y salta por en las discontinuidades. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4iK(1-m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Pero definir de esta manera da lugar a cortes de ramas muy complicados en el plano ( no el plano ); aún no han sido descritos completamente. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$

Dejar

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

sea ​​la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro . ${\displaystyle m}$

Entonces la función épsilon de Jacobi se puede definir como

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

para y y por continuación analítica en cada una de las variables de lo contrario: la función épsilon de Jacobi es meromórfica en todo el plano complejo (tanto en como ). Alternativamente, en todo el plano y en el plano , ^[7] ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$está bien definida de esta manera porque todos los residuos de son cero, por lo que la integral es independiente de la trayectoria. Por lo tanto, la épsilon de Jacobi relaciona la integral elíptica incompleta de primera clase con la integral elíptica incompleta de segunda clase: ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

La función épsilon de Jacobi no es una función elíptica, pero aparece al diferenciar las funciones elípticas de Jacobi con respecto al parámetro.

La función zn de Jacobi está definida por

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

Es una función uniperiódica que es meromórfica en , pero no en (debido a los cortes de rama de y ). Su período mínimo en es . Está relacionada con la función zeta de Jacobi por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K(m)}$ ${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

Históricamente, las funciones elípticas de Jacobi se definieron por primera vez utilizando la amplitud. En textos más modernos sobre funciones elípticas, las funciones elípticas de Jacobi se definen por otros medios, por ejemplo, mediante cocientes de funciones theta (ver más abajo), y se ignora la amplitud.

En términos modernos, la relación con las integrales elípticas se expresaría por (o ) en lugar de . ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi }$

Definición de trigonometría: la elipse de Jacobi

Gráfico de la elipse de Jacobi ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  real) y las doce funciones elípticas de Jacobi pq ( u , m ) para valores particulares del ángulo φ y parámetro  b . La curva sólida es la elipse, con m  = 1 − 1/ b ² y u  =  F ( φ , m ) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primera clase (con parámetro ). La curva punteada es el círculo unitario. Las líneas tangentes desde el círculo y la elipse en x  = cd que cruzan el eje x en dc se muestran en gris claro. ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$se definen en el círculo unitario, con radio r  = 1 y longitud de arco angular del círculo unitario medida desde el eje x positivo . De manera similar, las funciones elípticas de Jacobi se definen en la elipse unitaria, ^{[ cita requerida ]} con a  = 1. Sea ${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

entonces:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Para cada ángulo el parámetro ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

(la integral elíptica incompleta de primera especie) se calcula. En el círculo unitario ( ), sería una longitud de arco. Sin embargo, la relación de con la longitud de arco de una elipse es más complicada. ^[8] ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Sea un punto en la elipse y sea el punto donde el círculo unitario interseca la línea entre y el origen . Entonces, las relaciones conocidas del círculo unitario: ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

leer para la elipse:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Por lo tanto, las proyecciones del punto de intersección de la línea con el círculo unitario en los ejes x e y son simplemente y . Estas proyecciones pueden interpretarse como "definición de trigonometría". En resumen: ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

Para el valor y del punto con parámetro y obtenemos, después de insertar la relación: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

en: que: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Las últimas relaciones para las coordenadas x e y de los puntos de la elipse unitaria pueden considerarse como una generalización de las relaciones para las coordenadas de los puntos del círculo unitario. ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

La siguiente tabla resume las expresiones para todas las funciones elípticas de Jacobi pq(u,m) en las variables ( x , y , r ) y ( φ ,dn) con ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Definición en términos de las funciones theta de Jacobi

Utilizando integrales elípticas

De manera equivalente, las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir en términos de las funciones theta . ^[9] Con tal que , sea ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$

y , , . Luego con , , y , ${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$ ${\displaystyle \tau =iK'/K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$

La función zn de Jacobi también se puede expresar mediante funciones theta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$

donde denota la derivada parcial con respecto a la primera variable. ${\displaystyle '}$

Utilizando la inversión modular

De hecho, la definición de las funciones elípticas de Jacobi en Whittaker y Watson se enuncia de forma un poco diferente a la dada anteriormente (pero es equivalente a ella) y se basa en la inversión modular: La función , definida por ${\displaystyle \lambda }$

Región en el plano complejo. Está limitada por dos semicírculos desde abajo, por un rayo desde la izquierda y por un rayo desde la derecha. ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$

asume cada valor una vez y sólo una vez ^[10] en ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$

${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$

¿Dónde está el semiplano superior en el plano complejo, es el límite de y ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \partial F_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$

De esta manera, cada una puede asociarse con una y sólo una . Luego, Whittaker y Watson definen las funciones elípticas de Jacobi mediante ${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$

donde . En el libro, imponen una restricción adicional sobre (que ), pero de hecho no es una restricción necesaria (ver la referencia de Cox). Además, si o , las funciones elípticas de Jacobi degeneran en funciones no elípticas, lo cual se describe a continuación. ${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Definición en términos de funciones theta de Neville

Las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir de forma muy sencilla utilizando las funciones theta de Neville : ^[11]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Las simplificaciones de productos complicados de las funciones elípticas de Jacobi a menudo se hacen más fáciles utilizando estas identidades.

Transformaciones de Jacobi

Las transformaciones imaginarias de Jacobi

Representación gráfica de la curva degenerada de Jacobi ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  = ∞) y de las doce funciones elípticas de Jacobi pq( u ,1) para un valor particular del ángulo  φ . La curva continua es la elipse degenerada ( x ²  = 1) con m  = 1 y u  =  F ( φ ,1) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primera especie. La curva punteada es el círculo unitario. Puesto que éstas son las funciones de Jacobi para m  = 0 (funciones trigonométricas circulares) pero con argumentos imaginarios, corresponden a las seis funciones trigonométricas hiperbólicas.

Las transformaciones imaginarias de Jacobi relacionan varias funciones de la variable imaginaria iu o, equivalentemente, relaciones entre varios valores del parámetro m . En términos de las funciones principales: ^{[12] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Usando la regla de multiplicación, todas las demás funciones pueden expresarse en términos de las tres anteriores. Las transformaciones pueden escribirse generalmente como . La siguiente tabla muestra para el pq( u,m ) especificado. ^[11] ( Se suprimen los argumentos ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

Dado que las funciones trigonométricas hiperbólicas son proporcionales a las funciones trigonométricas circulares con argumentos imaginarios, se deduce que las funciones de Jacobi producirán las funciones hiperbólicas para m = 1. ^{[5] : 249} En la figura, la curva de Jacobi se ha degenerado en dos líneas verticales en x  = 1 y x  = −1.

Las verdaderas transformaciones de Jacobi

Las transformaciones reales de Jacobi ^{[5] : 308} producen expresiones para las funciones elípticas en términos con valores alternos de m . Las transformaciones pueden escribirse generalmente como . La siguiente tabla proporciona las para el pq( u,m ) especificado. ^[11] ( Se suprimen los argumentos ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

Otras transformaciones de Jacobi

Las transformaciones reales e imaginarias de Jacobi se pueden combinar de varias maneras para producir tres transformaciones más simples. ^{[5] : 214} Las transformaciones reales e imaginarias son dos transformaciones en un grupo ( D 3 o grupo anarmónico ) de seis transformaciones. Si

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

es la transformación para el parámetro m en la transformación real, y

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

es la transformación de m en la transformación imaginaria, entonces las otras transformaciones se pueden construir mediante la aplicación sucesiva de estas dos transformaciones básicas, obteniéndose solo tres posibilidades más:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Estas cinco transformaciones, junto con la transformación identidad ( μ _U ( m ) =  m ) dan como resultado el grupo de seis elementos. Con respecto a las funciones elípticas de Jacobi, la transformación general se puede expresar utilizando solo tres funciones:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

donde i = U, I, IR, R, RI o RIR, que identifica la transformación, γ _i es un factor de multiplicación común a estas tres funciones y la prima indica la función transformada. Las otras nueve funciones transformadas se pueden construir a partir de las tres anteriores. La razón por la que se eligieron las funciones cs, ns y ds para representar la transformación es que las otras funciones serán cocientes de estas tres (excepto sus inversas) y los factores de multiplicación se cancelarán.

La siguiente tabla enumera los factores de multiplicación para las tres funciones ps, las m transformadas y los nombres de las funciones transformadas para cada una de las seis transformaciones. ^{[5] : 214} (Como es habitual, k ²  =  m , 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ y se suprimen los argumentos ( )) ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

Así, por ejemplo, podemos construir la siguiente tabla para la transformación RIR. ^[11] La transformación generalmente se escribe ( se suprimen los argumentos ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

El valor de las transformaciones de Jacobi es que cualquier conjunto de funciones elípticas de Jacobi con cualquier parámetro de valor real m se puede convertir en otro conjunto para el cual y, para valores reales de u , los valores de la función serán reales. ^{[5] : p. 215} ${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

Transformaciones de amplitud

A continuación se suprime la segunda variable y es igual a : ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$

donde ambas identidades son válidas para todos de modo que ambos lados estén bien definidos. ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

Con

${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$

tenemos

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$

donde todas las identidades son válidas para todos de modo que ambos lados estén bien definidos. ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

La hipérbola de Jacobi

Gráfico de la hipérbola de Jacobi ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b imaginario) y las doce funciones elípticas de Jacobi pq( u , m ) para valores particulares del ángulo φ y el parámetro b . La curva sólida es la hipérbola, con m  = 1 − 1/ b ² y u  =  F ( φ , m ) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primera clase. La curva punteada es el círculo unitario. Para el triángulo ds-dc, σ  = sin( φ )cos( φ ).

Introduciendo números complejos, nuestra elipse tiene una hipérbola asociada:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

de la aplicación de la transformación imaginaria de Jacobi ^[11] a las funciones elípticas en la ecuación anterior para x e  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

De ello se deduce que podemos poner . Por lo tanto, nuestra elipse tiene una elipse dual con m reemplazada por 1-m. Esto conduce al toro complejo mencionado en la Introducción. ^[13] Generalmente, m puede ser un número complejo, pero cuando m es real y m<0, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección x. En m=0 la curva es un círculo, y para 0<m<1, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección y. En m  = 1, la curva degenera en dos líneas verticales en x  = ±1. Para m  > 1, la curva es una hipérbola. Cuando m es complejo pero no real, x o y o ambos son complejos y la curva no se puede describir en un diagrama x - y real. ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

Funciones menores

Invertir el orden de las dos letras del nombre de la función da como resultado los recíprocos de las tres funciones anteriores:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

De manera similar, las razones de las tres funciones primarias corresponden a la primera letra del numerador seguida de la primera letra del denominador:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

De manera más compacta, tenemos

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

donde p y q son cualquiera de las letras s, c, d.

Periodicidad, polos y residuos

Gráficos de la fase para las doce funciones elípticas de Jacobi pq(u,m) como un argumento complejo de función u, con polos y ceros indicados. Los gráficos son sobre un ciclo completo en las direcciones real e imaginaria con la porción coloreada indicando la fase de acuerdo con la rueda de color en la parte inferior derecha (que reemplaza la función trivial dd). Las regiones con valor absoluto por debajo de 1/3 están coloreadas en negro, indicando aproximadamente la ubicación de un cero, mientras que las regiones con valor absoluto por encima de 3 están coloreadas en blanco, indicando aproximadamente la posición de un polo. Todos los gráficos utilizan m  = 2/3 con K  =  K ( m ), K ′ =  K (1 −  m ), K (⋅) siendo la integral elíptica completa de la primera clase. Las flechas en los polos apuntan en la dirección de la fase cero. Las flechas derecha e izquierda implican residuos reales positivos y negativos respectivamente. Las flechas arriba y abajo implican residuos imaginarios positivos y negativos respectivamente.

En el plano complejo del argumento u , las funciones elípticas de Jacobi forman un patrón repetitivo de polos (y ceros). Los residuos de los polos tienen todos el mismo valor absoluto, diferenciándose solo en el signo. Cada función pq( u , m ) tiene una "función inversa" (en sentido multiplicativo) qp( u , m ) en la que las posiciones de los polos y los ceros se intercambian. Los períodos de repetición son generalmente diferentes en las direcciones real e imaginaria, de ahí el uso del término "doblemente periódica" para describirlas.

Para la amplitud de Jacobi y la función épsilon de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

donde es la integral elíptica completa de segundo tipo con parámetro . ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle m}$

La doble periodicidad de las funciones elípticas de Jacobi se puede expresar como:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

donde α y β son cualquier par de números enteros. K (⋅) es la integral elíptica completa de primera especie, también conocida como cuarto de período . La potencia de la unidad negativa ( γ ) se da en la siguiente tabla:

Cuando el factor (−1) ^γ es igual a −1, la ecuación expresa cuasi-periodicidad. Cuando es igual a la unidad, expresa periodicidad completa. Se puede ver, por ejemplo, que para las entradas que contienen solo α cuando α es par, la periodicidad completa se expresa mediante la ecuación anterior, y la función tiene períodos completos de 4 K ( m ) y 2 iK (1 −  m ). Del mismo modo, las funciones con entradas que contienen solo β tienen períodos completos de 2K(m) y 4 iK (1 −  m ), mientras que aquellas con α + β tienen períodos completos de 4 K ( m ) y 4 iK (1 −  m ).

En el diagrama de la derecha, que traza una unidad repetitiva para cada función, indicando la fase junto con la ubicación de los polos y ceros, se pueden observar varias regularidades: La inversa de cada función está opuesta a la diagonal y tiene la celda unitaria del mismo tamaño, con polos y ceros intercambiados. La disposición de polos y ceros en el rectángulo auxiliar formado por (0,0), ( K ,0), (0, K ′) y ( K , K ′) están de acuerdo con la descripción de la ubicación de polos y ceros descrita en la introducción anterior. Además, el tamaño de los óvalos blancos que indican polos son una medida aproximada del valor absoluto del residuo para ese polo. Los residuos de los polos más cercanos al origen en la figura (es decir, en el rectángulo auxiliar) se enumeran en la siguiente tabla:

Cuando corresponda, los polos desplazados hacia arriba 2 K o desplazados hacia la derecha 2 K ′ tienen el mismo valor pero con signos invertidos, mientras que los que están en diagonal tienen el mismo valor. Nótese que los polos y ceros en los bordes izquierdo e inferior se consideran parte de la celda unitaria, mientras que los que están en los bordes superior y derecho no.

La información sobre los polos se puede utilizar de hecho para caracterizar las funciones elípticas de Jacobi: ^[14]

La función es la única función elíptica que tiene polos simples en (con ) con residuos que toman el valor en . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

La función es la única función elíptica que tiene polos simples en (con ) con residuos que toman el valor en . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

La función es la única función elíptica que tiene polos simples en (con ) con residuos que toman el valor en . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Valores especiales

La configuración proporciona las funciones elípticas de la lemniscata y : ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

Cuando o , las funciones elípticas de Jacobi se reducen a funciones no elípticas: ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Para la amplitud de Jacobi, y donde es la función Gudermanniana . ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} }$

En general, si ninguno de p,q es d entonces . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

Identidades

Fórmula del medio ángulo

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

Fórmulas K

Fórmula de la mitad de K

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

Tercera fórmula K

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

Para obtener x ³ , tomamos la tangente del doble de la arcotangente del módulo.

Además, esta ecuación conduce al valor sn del tercio de K :

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

Estas ecuaciones conducen a los otros valores de las funciones de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

Quinta fórmula K

La siguiente ecuación tiene la siguiente solución:

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

Para obtener los valores sn, ponemos la solución x en las siguientes expresiones:

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

Relaciones entre los cuadrados de las funciones

Las relaciones entre los cuadrados de las funciones se pueden derivar de dos relaciones básicas (argumentos ( u , m ) suprimidos): donde m + m'  = 1. Multiplicando por cualquier función de la forma nq se obtienen ecuaciones más generales: $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

Con q  =  d , estas corresponden trigonométricamente a las ecuaciones para el círculo unitario ( ) y la elipse unitaria ( ), con x  =  cd , y  =  sd y r  =  nd . Utilizando la regla de multiplicación, se pueden derivar otras relaciones. Por ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

Teoremas de adición

Las funciones satisfacen las dos relaciones cuadradas (se suprime la dependencia de m ) $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

De esto se desprende que (cn, sn, dn) parametriza una curva elíptica que es la intersección de las dos cuádricas definidas por las dos ecuaciones anteriores. Ahora podemos definir una ley de grupo para los puntos de esta curva mediante las fórmulas de adición de las funciones de Jacobi ^[3].

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones épsilon y zn de Jacobi satisfacen un teorema de cuasi-adición: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

Las fórmulas de ángulos dobles se pueden derivar fácilmente de las ecuaciones anteriores estableciendo x  =  y . ^[3] Las fórmulas de medio ángulo ^{[11] [3]} son ​​todas de la forma:

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

dónde: $${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

Funciones elípticas de Jacobi como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

Derivadas respecto a la primera variable

Las derivadas de las tres funciones elípticas básicas de Jacobi (con respecto a la primera variable, con fijo) son: ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

Estos se pueden utilizar para derivar las derivadas de todas las demás funciones como se muestra en la siguiente tabla (argumentos (u,m) suprimidos):

También

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

Con los teoremas de adición anteriores y para un m dado con 0 <  m  < 1 las funciones principales son por lo tanto soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales :

• ${\displaystyle \operatorname {am} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}$(para no estar en una rama cortada) ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

La función que resuelve exactamente la ecuación diferencial del péndulo ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

con ángulo inicial y velocidad angular inicial cero es ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

donde , y . ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Derivadas respecto a la segunda variable

Con el primer argumento fijo, las derivadas con respecto a la segunda variable son las siguientes: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

Expansión en términos del nomo

Sea el nombre , , y sea . Entonces las funciones tienen expansiones como series de Lambert ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

cuando ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

Schett ha publicado expansiones de series de potencia bivariadas. ^[15]

Computación rápida

Las relaciones de funciones theta proporcionan una manera eficiente de calcular las funciones elípticas de Jacobi. Existe un método alternativo, basado en la media aritmético-geométrica y las transformaciones de Landen : ^[6]

Inicializar

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

donde . Definir ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

donde . Luego define ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

para y un fijo . Si ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

para , entonces ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

como . Esto es notable por su rápida convergencia. Entonces es trivial calcular todas las funciones elípticas de Jacobi a partir de la amplitud de Jacobi en la línea real. ^{[nota 2]} ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$

Junto con los teoremas de adición para funciones elípticas (que son válidos para números complejos en general) y las transformaciones de Jacobi, el método de cálculo descrito anteriormente se puede utilizar para calcular todas las funciones elípticas de Jacobi en todo el plano complejo.

Otro método de cálculo rápido de las funciones elípticas de Jacobi a través de la media aritmético-geométrica, evitando el cálculo de la amplitud de Jacobi, se debe a Herbert E. Salzer: ^[16]

Dejar

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

Colocar

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

como . ${\displaystyle N\to \infty }$

A continuación se muestra otro método para un cálculo rápido y convergente de la función seno elíptico de Jacobi que se encuentra en la literatura. ^[17]

Dejar:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

A continuación configure:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}$

Entonces:

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$.

Aproximación en términos de funciones hiperbólicas

Las funciones elípticas de Jacobi se pueden desarrollar en términos de las funciones hiperbólicas. Cuando es cercana a la unidad, de modo que y las potencias superiores de se pueden despreciar, tenemos: ^{[18] [19]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'^{2}}$ ${\displaystyle m'}$

• sn( u ): $${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• cn( u ): $${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• dn( u ): $${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

Para la amplitud de Jacobi, $${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

Fracciones continuas

Suponiendo números reales con y el nombre , con módulo elíptico . Si , donde es la integral elíptica completa de primera especie , entonces se cumple la siguiente expansión de fracción continua ^[20] ${\displaystyle a,p}$ ${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$ ${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$ ${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

Las fracciones continuas conocidas que involucran y con módulo elíptico son ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$ ${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$ ${\displaystyle k}$

Para , : ^[21] pág. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Para , : ^[22] pág. 220 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Funciones inversas

Las inversas de las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir de manera similar a las funciones trigonométricas inversas ; si , . Se pueden representar como integrales elípticas, ^{[23] [24] [25]} y se han encontrado representaciones en series de potencias. ^{[26] [3]} ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

Proyección de mapas

La proyección quincuncial de Peirce es una proyección cartográfica basada en funciones elípticas jacobianas.

Véase también

• Curva elíptica
• Mapeo de Schwarz-Christoffel
• Forma simétrica de Carlson
• Función theta de Jacobi
• Función theta de Ramanujan
• Funciones elípticas de Dixon
• Funciones elípticas de Abel
• Función elíptica de Weierstrass
• Funciones elípticas lemniscatas

Notas

1. Si y está restringido a , entonces también puede escribirse como ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.}$
2. Para la función, se puede utilizar. ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}}$

Citas

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Referencias

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Enlaces externos

• "Funciones elípticas de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Funciones elípticas de Jacobi". MathWorld .