Teorema de Baker

Sobre la independencia algebraica de los logaritmos

En la teoría de números trascendentales , una disciplina matemática, el teorema de Baker proporciona un límite inferior para el valor absoluto de las combinaciones lineales de logaritmos de números algebraicos . Casi quince años antes, Alexander Gelfond había considerado que el problema con solo coeficientes enteros era de "significancia extraordinariamente grande". ^[1] El resultado, demostrado por Alan Baker  (1966, 1967a, 1967b), subsumió muchos resultados anteriores en la teoría de números trascendentales. Baker utilizó esto para demostrar la trascendencia de muchos números, para derivar límites efectivos para las soluciones de algunas ecuaciones diofánticas y para resolver el problema del número de clase de encontrar todos los cuerpos cuadráticos imaginarios con número de clase 1.

Historia

Para simplificar la notación, sea el conjunto de logaritmos en base e de números algebraicos distintos de cero , es decir, donde denota el conjunto de números complejos y denota los números algebraicos (la clausura algebraica de los números racionales ). Al utilizar esta notación, varios resultados de la teoría de números trascendentales se vuelven mucho más fáciles de enunciar. Por ejemplo, el teorema de Hermite-Lindemann se convierte en la afirmación de que cualquier elemento distinto de cero de es trascendental. ${\displaystyle \mathbb {L} }$ $${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C} :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$

En 1934, Alexander Gelfond y Theodor Schneider demostraron de forma independiente el teorema de Gelfond-Schneider . Este resultado suele enunciarse como: si es algebraico y no es igual a 0 o 1, y si es algebraico e irracional, entonces es trascendental. La función exponencial es multivaluada para exponentes complejos, y esto se aplica a todos sus valores, que en la mayoría de los casos constituyen una cantidad infinita de números. Sin embargo, de forma equivalente, dice que si son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces son linealmente independientes sobre los números algebraicos. Por lo tanto, si y no es cero, entonces el cociente es un número racional o trascendental. No puede ser un número irracional algebraico como . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Aunque probar este resultado de "la independencia lineal racional implica independencia lineal algebraica" para dos elementos de era suficiente para su resultado y el de Schneider, Gelfond sintió que era crucial extender este resultado a arbitrariamente tantos elementos de De hecho, de Gelfond (1960, p. 177): ${\displaystyle \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \mathbb {L} .}$

...se puede suponer... que el problema más urgente en la teoría de los números trascendentales es la investigación de las medidas de trascendencia de conjuntos finitos de logaritmos de números algebraicos.

Este problema fue resuelto catorce años después por Alan Baker y desde entonces ha tenido numerosas aplicaciones no sólo en la teoría de la trascendencia, sino también en la teoría algebraica de números y en el estudio de las ecuaciones diofánticas . Baker recibió la medalla Fields en 1970 tanto por este trabajo como por sus aplicaciones a las ecuaciones diofánticas.

Declaración

Con la notación anterior, el teorema de Baker es una generalización no homogénea del teorema de Gelfond-Schneider. En concreto, establece lo siguiente:

Teorema de Baker  —  Si son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces para cualquier número algebraico que no sea todo cero, tenemos donde H es el máximo de las alturas de y C es un número efectivamente computable dependiendo de n , y el máximo d de los grados de (Si β ₀ es distinto de cero, entonces se puede descartar el supuesto de que son linealmente independientes). En particular, este número es distinto de cero, por lo que 1 y son linealmente independientes sobre los números algebraicos. ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{n},}$ $${\displaystyle \left|\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}\right|>H^{-C}}$$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}.}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Así como el teorema de Gelfond-Schneider es equivalente al enunciado sobre la trascendencia de los números de la forma a ^b , también el teorema de Baker implica la trascendencia de los números de la forma

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

donde b _i son todos algebraicos, irracionales, y 1, b ₁ , ..., b _n son linealmente independientes sobre los racionales, y a i _son todos algebraicos y no 0 o 1.

Baker (1977) también dio varias versiones con constantes explícitas. Por ejemplo, si tiene altura como máximo y todos los números tienen altura como máximo , entonces la forma lineal ${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\geq 4}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle B\geq 4}$

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

es 0 o satisface

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

dónde

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

y el campo generado por y sobre los racionales tiene grado como máximo d . En el caso especial cuando β ₀ = 0 y todos los son enteros racionales, se puede eliminar el término más a la derecha log Ω. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$

Un resultado explícito de Baker y Wüstholz para una forma lineal Λ con coeficientes enteros produce un límite inferior de la forma

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

dónde

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

y d es el grado del campo numérico generado por el ${\displaystyle \alpha _{i}.}$

El método del panadero

La demostración del teorema de Baker es una extensión del argumento dado por Gelfond (1960, capítulo III, sección 4). Las ideas principales de la demostración se ilustran con la demostración de la siguiente versión cualitativa del teorema de Baker (1966) descrita por Serre (1971):

Si los números son linealmente independientes sobre los números racionales, para los números algebraicos distintos de cero , entonces son linealmente independientes sobre los números algebraicos. ${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$

La versión cuantitativa precisa de la teoría de Baker se puede demostrar reemplazando las condiciones de que las cosas sean cero por condiciones de que las cosas sean suficientemente pequeñas a lo largo de la prueba.

La idea principal de la demostración de Baker es construir una función auxiliar de varias variables que se anule hasta un orden superior en muchos puntos de la forma y luego demostrar repetidamente que se anula hasta un orden inferior en incluso más puntos de esta forma. Finalmente, el hecho de que se anule (hasta un orden 1) en suficientes puntos de esta forma implica, utilizando determinantes de Vandermonde , que existe una relación multiplicativa entre los números a _i . ${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$ ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$

Construcción de la función auxiliar

Supongamos que existe una relación

${\displaystyle \beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

para números algebraicos α ₁ , ..., α _n , β ₁ , ..., β _{n −1} . La función Φ es de la forma

${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

Los coeficientes enteros p se eligen de modo que no sean todos cero y Φ y sus derivadas de orden como máximo alguna constante M se anulen en para enteros con para alguna constante h . Esto es posible porque estas condiciones son ecuaciones lineales homogéneas en los coeficientes p , que tienen una solución distinta de cero siempre que el número de variables desconocidas p sea mayor que el número de ecuaciones. La relación lineal entre los logaritmos de los α es necesaria para reducir el número de ecuaciones lineales que deben satisfacerse. Además, utilizando el lema de Siegel , los tamaños de los coeficientes p pueden elegirse para que no sean demasiado grandes. Las constantes L , h y M deben ajustarse cuidadosamente para que funcione la siguiente parte de la prueba, y están sujetas a algunas restricciones, que son aproximadamente: ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0\leq l\leq h}$

• L debe ser algo menor que M para que el argumento sobre los ceros adicionales a continuación funcione.
• Una pequeña potencia de h debe ser mayor que L para que el paso final de la prueba funcione.
• L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ^{n −1} h para que sea posible resolver los coeficientes p .

Las restricciones se pueden satisfacer tomando h como suficientemente grande, M como una potencia fija de h y L como una potencia ligeramente menor de h . Baker tomó M como aproximadamente h ² y L como aproximadamente h ^{2−1/2 n} .

La relación lineal entre los logaritmos de los α se utiliza para reducir L ligeramente; en términos generales, sin ella la condición L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ^{n −1} h se convertiría en L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ⁿ h , lo cual es incompatible con la condición de que L sea algo menor que M .

Ceros de la función auxiliar

El siguiente paso es mostrar que Φ se desvanece a un orden ligeramente más pequeño en muchos más puntos de la forma para enteros l . Esta idea fue la innovación clave de Baker: el trabajo previo sobre este problema implicaba tratar de aumentar el número de derivadas que se desvanecen mientras se mantenía el número de puntos fijo, lo que no parece funcionar en el caso multivariable. Esto se hace combinando dos ideas; primero, se muestra que las derivadas en estos puntos son bastante pequeñas, utilizando el hecho de que muchas derivadas de Φ se desvanecen en muchos puntos cercanos. Luego, se muestra que las derivadas de Φ en este punto están dadas por enteros algebraicos multiplicados por constantes conocidas. Si un entero algebraico tiene todos sus conjugados acotados por una constante conocida, entonces no puede ser demasiado pequeño a menos que sea cero, porque el producto de todos los conjugados de un entero algebraico distinto de cero es al menos 1 en valor absoluto. La combinación de estas dos ideas implica que Φ se desvanece a un orden ligeramente más pequeño en muchos más puntos. Esta parte del argumento requiere que Φ no aumente demasiado rápido; el crecimiento de Φ depende del tamaño de L , por lo que requiere un límite en el tamaño de L , que resulta ser aproximadamente que L debe ser algo más pequeño que M . Más precisamente, Baker demostró que dado que Φ se desvanece al orden M en h enteros consecutivos, también se desvanece al orden M /2 en h ^{1+1/8 n} enteros consecutivos 1, 2, 3, .... Repetir este argumento J veces muestra que Φ se desvanece al orden M /2 ^J en h ^{1+ J /8 n} puntos, siempre que h sea suficientemente grande y L sea algo más pequeño que M /2 ^J . ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$ ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l.}$

Entonces se toma J lo suficientemente grande como para que:

${\displaystyle h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.}$

( J mayor que aproximadamente 16 n servirá si h ² > L ) de modo que:

${\displaystyle \forall l\in \left\{1,2,\ldots ,(L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots ,l)=0.}$

Finalización de la prueba

Por definición se puede escribir como: ${\displaystyle \Phi (l,\ldots ,l)=0}$

${\displaystyle \sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.}$

Por lo tanto, cuando l varía, tenemos un sistema de ( L + 1) ⁿ ecuaciones lineales homogéneas con ( L + 1) ⁿ incógnitas que, por supuesto, tiene una solución distinta de cero, lo que a su vez implica que el determinante de la matriz de coeficientes debe anularse. Sin embargo, esta matriz es una matriz de Vandermonde y la fórmula para el determinante de dicha matriz fuerza una igualdad entre dos de los valores:

${\displaystyle \alpha _{1}^{\lambda _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}}}$

Por lo tanto, son multiplicativamente dependientes. Al tomar los logaritmos, se observa que son linealmente dependientes respecto de los racionales. ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi i,\log \alpha _{1},\ldots ,\log \alpha _{n}}$

Extensiones y generalizaciones

De hecho, Baker (1966) presentó una versión cuantitativa del teorema, que establece límites inferiores efectivos para la forma lineal en logaritmos. Esto se hace mediante un argumento similar, excepto que las afirmaciones sobre que algo es cero se reemplazan por afirmaciones que establecen un límite superior pequeño para ese valor, y así sucesivamente.

Baker (1967a) mostró cómo eliminar la suposición acerca de 2π i en el teorema. Esto requiere una modificación del paso final de la prueba. Uno muestra que muchas derivadas de la función se anulan en z = 0, mediante un argumento similar al anterior. Pero estas ecuaciones para las primeras ( L +1) ⁿ derivadas nuevamente dan un conjunto homogéneo de ecuaciones lineales para los coeficientes p , por lo que el determinante es cero, y nuevamente es un determinante de Vandermonde, esta vez para los números λ ₁ log α ₁ + ⋯ + λ _n log α _n . Por lo tanto, dos de estas expresiones deben ser las mismas, lo que muestra que log α ₁ ,...,log α _n son linealmente dependientes sobre los racionales. ${\displaystyle \phi (z)=\Phi (z,\ldots ,z)}$

Baker (1967b) dio una versión no homogénea del teorema, mostrando que

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}$

es distinto de cero para números algebraicos distintos de cero β ₀ , ..., β _n , α ₁ , ..., α _n , y además da un límite inferior efectivo para él. La prueba es similar al caso homogéneo: se puede suponer que

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

y se inserta una variable extra z ₀ en Φ de la siguiente manera:

${\displaystyle \Phi (z_{0},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{0}}e^{\lambda _{n}\beta _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

Corolarios

Como se mencionó anteriormente, el teorema incluye numerosos resultados de trascendencia anteriores relacionados con la función exponencial, como el teorema de Hermite-Lindemann y el teorema de Gelfond-Schneider. No es tan abarcador como la conjetura de Schanuel , aún no demostrada , y no implica el teorema de los seis exponenciales ni, claramente, la conjetura de los cuatro exponenciales, aún abierta .

La razón principal por la que Gelfond deseaba una extensión de su resultado no era sólo una serie de nuevos números trascendentales. En 1935 utilizó las herramientas que había desarrollado para demostrar el teorema de Gelfond-Schneider para derivar un límite inferior para la cantidad

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

donde β ₁ y β ₂ son algebraicos y λ ₁ y λ ₂ están en . ^[2] La prueba de Baker dio límites inferiores para cantidades como las anteriores pero con un número arbitrario de términos, y pudo usar estos límites para desarrollar medios efectivos de abordar ecuaciones diofánticas y resolver el problema del número de clase de Gauss . ${\displaystyle \mathbb {L} }$

Extensiones

El teorema de Baker nos garantiza la independencia lineal sobre los números algebraicos de los logaritmos de los números algebraicos. Esto es más débil que probar su independencia algebraica . Hasta ahora no se ha avanzado en absoluto en este problema. Se ha conjeturado ^[3] que si λ ₁ , ..., λ _n son elementos de que son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces también son algebraicamente independientes. Este es un caso especial de la conjetura de Schanuel, pero hasta ahora queda por demostrar que existan incluso dos números algebraicos cuyos logaritmos sean algebraicamente independientes. De hecho, el teorema de Baker descarta relaciones lineales entre logaritmos de números algebraicos a menos que haya razones triviales para ellas; el siguiente caso más simple, el de descartar relaciones cuadráticas homogéneas , es la conjetura de los cuatro exponenciales, todavía abierta . ${\displaystyle \mathbb {L} }$

De manera similar, extender el resultado a la independencia algebraica pero en el contexto p-ádico , y utilizando la función logaritmo p -ádico , sigue siendo un problema abierto. Se sabe que probar la independencia algebraica de logaritmos p -ádicos linealmente independientes de números p -ádicos algebraicos probaría la conjetura de Leopoldt sobre los rangos p -ádicos de las unidades de un cuerpo de números.

Véase también

• Teorema analítico del subgrupo

Notas

1. Véase el párrafo final de Gel'fond (1960).
2. Véase Gel'fond (1960) y Sprindžuk (1993) para más detalles.
3. Waldschmidt (2000), conjetura 1.15.

Referencias

• Baker, Alan (1966), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I", Mathematika , 13 (2): 204–216, doi :10.1112/S0025579300003971, ISSN  0025-5793, MR  0220680
• Baker, Alan (1967a), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. II", Mathematika , 14 : 102–107, doi :10.1112/S0025579300008068, ISSN  0025-5793, MR  0220680
• Baker, Alan (1967b), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. III", Mathematika , 14 (2): 220–228, doi :10.1112/S0025579300003843, ISSN  0025-5793, MR  0220680
• Baker, Alan (1990), Teoría de números trascendentales, Cambridge Mathematical Library (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, Sr.  0422171
• Baker, Alan (1977), "La teoría de formas lineales en logaritmos", Teoría de la trascendencia: avances y aplicaciones (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976) , Boston, MA: Academic Press , pp. 1–27, ISBN 978-0-12-074350-6, Sr.  0498417
• panadero, A.; Wüstholz, G. (1993), "Formas logarítmicas y variedades de grupos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1993 (442): 19–62, doi :10.1515/crll.1993.442.19, MR  1234835, S2CID  118335888.
• Baker, Alan; Wüstholz, G. (2007), Formas logarítmicas y geometría diofántica, New Mathematical Monographs, vol. 9, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, Sr.  2382891
• Gel'fond, AO (1960) [1952], Números trascendentales y algebraicos, Dover Phoenix editions, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, Sr.  0057921
• Serre, Jean-Pierre (1971) [1969], "Travaux de Baker (Exposé 368)", Séminaire Bourbaki. vol. 1969/70: Exposés 364--381, Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 180, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 73–86
• Sprindžuk, Vladimir G. (1993), Ecuaciones diofánticas clásicas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1559, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0073786, ISBN 978-3-540-57359-3, Sr.  1288309
• Waldschmidt, Michel (2000), Aproximación diofántica de grupos algebraicos lineales, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 326, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-11569-5, ISBN 978-3-540-66785-8, Sr.  1756786