En matemáticas , específicamente en el campo de la teoría de números trascendentales , la conjetura de los cuatro exponentes es una conjetura que, dadas las condiciones adecuadas en los exponentes, garantizaría la trascendencia de al menos uno de los cuatro exponentes. La conjetura, junto con dos conjeturas más sólidas relacionadas, se encuentra en la cima de una jerarquía de conjeturas y teoremas relacionados con la naturaleza aritmética de un cierto número de valores de la función exponencial .
Si x 1 , x 2 e y 1 , y 2 son dos pares de números complejos , y cada par es linealmente independiente sobre los números racionales , entonces al menos uno de los siguientes cuatro números es trascendental :
Una forma alternativa de enunciar la conjetura en términos de logaritmos es la siguiente. Para 1 ≤ i , j ≤ 2 sean λ ij números complejos tales que exp(λ ij ) son todos algebraicos . Supóngase que λ 11 y λ 12 son linealmente independientes sobre los números racionales, y λ 11 y λ 21 también son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces
Una formulación equivalente en términos de álgebra lineal es la siguiente. Sea M la matriz 2×2
donde exp(λ ij ) es algebraico para 1 ≤ i , j ≤ 2. Supóngase que las dos filas de M son linealmente independientes entre los números racionales, y las dos columnas de M son linealmente independientes entre los números racionales. Entonces el rango de M es 2.
Si bien una matriz 2×2 que tiene filas y columnas linealmente independientes generalmente significa que tiene rango 2, en este caso requerimos independencia lineal sobre un campo más pequeño para que el rango no se vea obligado a ser 2. Por ejemplo, la matriz
tiene filas y columnas que son linealmente independientes sobre los números racionales, ya que π es irracional . Pero el rango de la matriz es 1. Por lo tanto, en este caso, la conjetura implicaría que al menos uno de e , e π y e π 2 es trascendental (lo que en este caso ya se conoce ya que e es trascendental).
La conjetura fue considerada a principios de la década de 1940 por Atle Selberg, quien nunca la formuló formalmente. [1] Un caso especial de la conjetura se menciona en un artículo de 1944 de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős , quienes sugieren que había sido considerada por Carl Ludwig Siegel . [2] Una declaración equivalente fue mencionada por primera vez en forma impresa por Theodor Schneider , quien la estableció como el primero de ocho problemas importantes y abiertos en la teoría de números trascendentales en 1957. [3]
El teorema de los seis exponentes relacionado fue mencionado explícitamente por primera vez en la década de 1960 por Serge Lang [4] y Kanakanahalli Ramachandra [5] , y ambos también conjeturan explícitamente el resultado anterior. [6] De hecho, después de demostrar el teorema de los seis exponentes, Lang menciona la dificultad de reducir el número de exponentes de seis a cuatro: la prueba utilizada para los seis exponentes "simplemente falla" cuando uno intenta aplicarla a cuatro.
Usando la identidad de Euler, esta conjetura implica la trascendencia de muchos números que involucran a e y π . Por ejemplo, tomando x 1 = 1, x 2 = √ 2 , y 1 = iπ e y 2 = iπ √ 2 , la conjetura, si es verdadera, implica que uno de los siguientes cuatro números es trascendental:
El primero de ellos es simplemente −1, y el cuarto es 1, por lo que la conjetura implica que e iπ √ 2 es trascendental (lo cual ya se sabe, por consecuencia del teorema de Gelfond-Schneider ).
Un problema abierto en la teoría de números que se resuelve con la conjetura es la cuestión de si existe un número real no entero t tal que tanto 2 t como 3 t sean enteros, o de hecho tal que a t y b t sean ambos enteros para algún par de enteros a y b que sean multiplicativamente independientes sobre los enteros. Los valores de t tales que 2 t es un entero son todos de la forma t = log 2 m para algún entero m , mientras que para que 3 t sea un entero, t debe ser de la forma t = log 3 n para algún entero n . Al establecer x 1 = 1, x 2 = t , y 1 = log(2), e y 2 = log(3), la conjetura de los cuatro exponenciales implica que si t es irracional, entonces uno de los siguientes cuatro números es trascendental:
Así, si 2 t y 3 t son ambos números enteros, la conjetura implica que t debe ser un número racional. Puesto que los únicos números racionales t para los que 2 t también es racional son los números enteros, esto implica que no hay ningún número real no entero t tal que tanto 2 t como 3 t sean números enteros. Esta es la consecuencia, para dos primos cualesquiera (no solo 2 y 3), que Alaoglu y Erdős deseaban en su artículo, ya que implicaría la conjetura de que el cociente de dos números consecutivos colosalmente abundantes es primo, extendiendo los resultados de Ramanujan sobre los cocientes de números consecutivos superiores altamente compuestos . [7]
La conjetura de los cuatro exponentes reduce el par y el triplete de números complejos en las hipótesis del teorema de los seis exponentes a dos pares. Se conjetura que esto también es posible con el teorema de los seis exponentes agudos, y esta es la conjetura de los cuatro exponentes agudos . [8] Específicamente, esta conjetura afirma que si x 1 , x 2 e y 1 , y 2 son dos pares de números complejos y cada par es linealmente independiente sobre los números racionales, y si β ij son cuatro números algebraicos para 1 ≤ i , j ≤ 2 tales que los siguientes cuatro números son algebraicos:
entonces x i y j = β ij para 1 ≤ i , j ≤ 2. Por lo tanto, las cuatro exponenciales son de hecho 1.
Esta conjetura implica tanto el teorema de los seis exponentes agudos, que requiere un tercer valor de x , como la conjetura de los cinco exponentes agudos, aún no probada, que requiere que otro exponente sea algebraico en sus hipótesis.
El resultado más fuerte que se ha conjeturado en este círculo de problemas es la conjetura fuerte de los cuatro exponenciales . [9] Este resultado implicaría ambas conjeturas antes mencionadas sobre los cuatro exponenciales, así como todas las conjeturas y teoremas de cinco y seis exponenciales, como se ilustra a la derecha, y todas las conjeturas de tres exponenciales detalladas a continuación. El enunciado de esta conjetura trata del espacio vectorial sobre los números algebraicos generados por 1 y todos los logaritmos de números algebraicos distintos de cero, denotados aquí como L ∗ . Por lo tanto, L ∗ es el conjunto de todos los números complejos de la forma
para algún n ≥ 0, donde todos los β i y α i son algebraicos y se considera cada rama del logaritmo . El enunciado de la conjetura de los cuatro exponenciales fuertes es entonces el siguiente. Sean x 1 , x 2 , e y 1 , y 2 dos pares de números complejos con cada par siendo linealmente independiente sobre los números algebraicos, entonces al menos uno de los cuatro números x i y j para 1 ≤ i , j ≤ 2 no está en L ∗ .
La conjetura de los cuatro exponenciales descarta un caso especial de relaciones cuadráticas no triviales y homogéneas entre logaritmos de números algebraicos. Pero una extensión conjetural del teorema de Baker implica que no debería haber relaciones algebraicas no triviales entre logaritmos de números algebraicos, homogéneos o no. Un caso de relaciones cuadráticas no homogéneas está cubierto por la conjetura de los tres exponenciales , aún abierta . [10] En su forma logarítmica es la siguiente conjetura. Sean λ 1 , λ 2 y λ 3 cualesquiera tres logaritmos de números algebraicos y γ un número algebraico distinto de cero, y supongamos que λ 1 λ 2 = γλ 3 . Entonces λ 1 λ 2 = γλ 3 = 0.
La forma exponencial de esta conjetura es la siguiente. Sean x 1 , x 2 e y números complejos distintos de cero y sea γ un número algebraico distinto de cero. Entonces al menos uno de los tres números siguientes es trascendental:
También existe una conjetura de tres exponenciales aguda que afirma que si x 1 , x 2 e y son números complejos distintos de cero y α, β 1 , β 2 y γ son números algebraicos tales que los siguientes tres números son algebraicos
entonces o bien x 2 y = β 2 o bien γ x 1 = α x 2 .
Mientras tanto, la conjetura de los tres exponenciales fuertes establece que si x 1 , x 2 e y son números complejos distintos de cero, siendo x 1 y , x 2 y y x 1 / x 2 todos trascendentales, entonces al menos uno de los tres números x 1 y , x 2 y , x 1 / x 2 no está en L ∗ .
Al igual que con los demás resultados de esta familia, la conjetura de los tres exponentes fuertes implica la conjetura de los tres exponentes aguda, que implica la conjetura de los tres exponentes. Sin embargo, las conjeturas de los tres exponentes fuertes y agudas están implícitas en sus contrapartes de los cuatro exponentes, lo que va en contra de la tendencia habitual. Y la conjetura de los tres exponentes no está implícita en la conjetura de los cuatro exponentes ni la implica.
La conjetura de las tres exponenciales, al igual que la conjetura de las cinco exponenciales agudas, implicaría la trascendencia de e π 2 al dejar (en la versión logarítmica) λ 1 = i π, λ 2 = − i π, y γ = 1.
Muchos de los teoremas y resultados en la teoría de números trascendentales concernientes a la función exponencial tienen análogos que involucran la función modular j . Escribiendo q = e 2π i τ para el nombre y j ( τ ) = J ( q ), Daniel Bertrand conjeturó que si q 1 y q 2 son números algebraicos distintos de cero en el disco unitario complejo que son multiplicativamente independientes, entonces J ( q 1 ) y J ( q 2 ) son algebraicamente independientes sobre los números racionales. [11] Aunque no está obviamente relacionada con la conjetura de los cuatro exponenciales, la conjetura de Bertrand de hecho implica un caso especial conocido como la conjetura de los cuatro exponenciales débiles . [12] Esta conjetura establece que si x 1 y x 2 son dos números algebraicos reales positivos, ninguno de ellos igual a 1, entonces π 2 y el producto log( x 1 )log( x 2 ) son linealmente independientes sobre los números racionales. Esto corresponde al caso especial de la conjetura de las cuatro exponenciales, según la cual y 1 = i π, y 2 = − i π, y x 1 y x 2 son reales. Sin embargo, aunque tal vez resulte sorprendente, también es un corolario de la conjetura de Bertrand, lo que sugiere que puede haber una aproximación a la conjetura de las cuatro exponenciales completas a través de la función modular j .
