En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendentales , el teorema de los seis exponentes es un resultado que, dadas las condiciones adecuadas en los exponentes, garantiza la trascendencia de al menos uno de un conjunto de seis exponentes.
El teorema puede enunciarse en términos de logaritmos introduciendo el conjunto L de logaritmos de números algebraicos :
El teorema dice entonces que si son elementos de L para tales que son linealmente independientes sobre los números racionales, y λ 11 y λ 21 también son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces la matriz
tiene rango 2.
Un caso especial del resultado donde x 1 , x 2 y x 3 son logaritmos de números enteros positivos , y 1 = 1 e y 2 es real , fue mencionado por primera vez en un artículo de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős de 1944 en el que intentan demostrar que la razón de números colosalmente abundantes consecutivos es siempre primo . Afirmaron que Carl Ludwig Siegel conocía una prueba de este caso especial, pero no está registrada. [1] Usando el caso especial logran demostrar que la razón de números colosalmente abundantes consecutivos es siempre primo o semiprimo .
El teorema fue enunciado explícitamente por primera vez y demostrado en su forma completa de forma independiente por Serge Lang [2] y Kanakanahalli Ramachandra [3] en la década de 1960.
Un resultado más fuerte y relacionado es el teorema de los cinco exponentes , [4] que es el siguiente. Sean x 1 , x 2 e y 1 , y 2 dos pares de números complejos, cada par linealmente independiente sobre los números racionales, y sea γ un número algebraico distinto de cero. Entonces al menos uno de los siguientes cinco números es trascendental:
Este teorema implica el teorema de los seis exponentes y, a su vez, está implícito en la conjetura de los cuatro exponentes, aún no probada, que dice que, de hecho, uno de los primeros cuatro números de esta lista debe ser trascendental.
Otro resultado relacionado que implica tanto el teorema de los seis exponentes como el teorema de los cinco exponentes es el teorema de los seis exponentes agudos . [5] Este teorema es el siguiente. Sean x 1 , x 2 y x 3 números complejos que son linealmente independientes sobre los números racionales, y sean y 1 e y 2 un par de números complejos que son linealmente independientes sobre los números racionales, y supongamos que β ij son seis números algebraicos para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2 tales que los siguientes seis números son algebraicos:
Entonces x i y j = β ij para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2. Luego sigue el teorema de los seis exponenciales al establecer β ij = 0 para cada i y j , mientras que sigue el teorema de los cinco exponenciales al establecer x 3 = γ/ x 1 y usar el teorema de Baker para asegurar que las x i sean linealmente independientes.
También existe una versión aguda del teorema de los cinco exponentes, aunque todavía no se ha demostrado, por lo que se la conoce como la conjetura aguda de los cinco exponentes . [6] Esta conjetura implica tanto el teorema agudo de los seis exponentes como el teorema agudo de los cinco exponentes, y se enuncia de la siguiente manera. Sean x 1 , x 2 e y 1 , y 2 dos pares de números complejos, siendo cada par linealmente independiente sobre los números racionales, y sean α, β 11 , β 12 , β 21 , β 22 y γ seis números algebraicos con γ ≠ 0 tales que los siguientes cinco números son algebraicos:
Entonces x i y j = β ij para 1 ≤ i , j ≤ 2 y γ x 2 = α x 1 .
Una consecuencia de esta conjetura que actualmente no se conoce sería la trascendencia de e π² , al establecer x 1 = y 1 = β 11 = 1, x 2 = y 2 = i π, y todos los demás valores del enunciado como cero.
Un refuerzo adicional de los teoremas y conjeturas en esta área son las versiones fuertes. El teorema fuerte de los seis exponentes es un resultado demostrado por Damien Roy que implica el teorema agudo de los seis exponentes. [7] Este resultado concierne al espacio vectorial sobre los números algebraicos generados por 1 y todos los logaritmos de números algebraicos, denotados aquí como L ∗ . Por lo tanto, L ∗ es el conjunto de todos los números complejos de la forma
para algún n ≥ 0, donde todos los β i y α i son algebraicos y se considera cada rama del logaritmo . El teorema fuerte de los seis exponenciales dice entonces que si x 1 , x 2 y x 3 son números complejos que son linealmente independientes sobre los números algebraicos, y si y 1 e y 2 son un par de números complejos que también son linealmente independientes sobre los números algebraicos, entonces al menos uno de los seis números x i y j para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2 no está en L ∗ . Esto es más fuerte que el teorema estándar de los seis exponenciales que dice que uno de estos seis números no es simplemente el logaritmo de un número algebraico.
También existe una conjetura de cinco exponenciales fuertes formulada por Michel Waldschmidt [8] . Implicaría tanto el teorema de seis exponenciales fuertes como la conjetura de cinco exponenciales aguda. Esta conjetura afirma que si x 1 , x 2 e y 1 , y 2 son dos pares de números complejos, y cada par es linealmente independiente sobre los números algebraicos, entonces al menos uno de los siguientes cinco números no está en L ∗ :
Todas las conjeturas y teoremas anteriores son consecuencias de la extensión no demostrada del teorema de Baker , según la cual los logaritmos de números algebraicos que son linealmente independientes respecto de los números racionales son automáticamente también algebraicamente independientes. El diagrama de la derecha muestra las implicaciones lógicas entre todos estos resultados.
La función exponencial e z uniformiza la función exponencial del grupo multiplicativo G m . Por lo tanto, podemos reformular el teorema de las seis exponenciales de forma más abstracta de la siguiente manera:
(Para derivar el enunciado clásico, establezca u ( z ) = (e y 1 z ; e y 2 z ) y observe que Q x 1 + Q x 2 + Q x 3 es un subconjunto de L ).
De esta manera, el enunciado del teorema de los seis exponentes se puede generalizar a una variedad arbitraria de grupo conmutativo G sobre el campo de los números algebraicos. Sin embargo, esta conjetura generalizada de los seis exponentes parece fuera de alcance en el estado actual de la teoría de números trascendentales .
Para los casos especiales pero interesantes G = G m × E y G = E × E′ , donde E , E′ son curvas elípticas sobre el campo de números algebraicos, Aleksander Momot demostró resultados hacia la conjetura exponencial generalizada de seis exponentes. [9] Estos resultados involucran la función exponencial e z y una función de Weierstrass respectivamente dos funciones de Weierstrass con invariantes algebraicos , en lugar de las dos funciones exponenciales en el enunciado clásico.
Sea G = G m × E y supongamos que E no es isógeno a una curva sobre un cuerpo real y que u ( C ) no es un subgrupo algebraico de G ( C ) . Entonces L es generado sobre Q ya sea por dos elementos x 1 , x 2 , o tres elementos x 1 , x 2 , x 3 que no están todos contenidos en una línea real R c , donde c es un número complejo distinto de cero. Se muestra un resultado similar para G = E × E′ . [10]
