En matemáticas , el problema del número de clase de Gauss ( para cuerpos cuadráticos imaginarios ), como se entiende habitualmente, consiste en proporcionar para cada n ≥ 1 una lista completa de cuerpos cuadráticos imaginarios (para números enteros negativos d ) que tengan el número de clase n . Recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss . También se puede plantear en términos de discriminantes . Existen preguntas relacionadas para cuerpos cuadráticos reales y para el comportamiento como .
La dificultad está en el cálculo efectivo de los límites: para un discriminante dado, es fácil calcular el número de clase, y hay varios límites inferiores ineficaces para el número de clase (lo que significa que involucran una constante que no se calcula), pero los límites efectivos (y las pruebas explícitas de completitud de las listas) son más difíciles.
Los problemas se plantean en las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801 (Sección V, Artículos 303 y 304). [1]
Gauss analiza los campos cuadráticos imaginarios en el artículo 303, enunciando las dos primeras conjeturas, y analiza los campos cuadráticos reales en el artículo 304, enunciando la tercera conjetura.
El problema original del número de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios es significativamente diferente y más fácil que el enunciado moderno: lo restringió a discriminantes pares y permitió discriminantes no fundamentales.
Para cuerpos de números cuadráticos imaginarios, los discriminantes (fundamentales) de la clase número 1 son:
Los discriminantes no fundamentales de la clase número 1 son:
Así, los discriminantes pares de la clase número 1, fundamental y no fundamental (pregunta original de Gauss) son:
En 1934, Hans Heilbronn demostró la conjetura de Gauss. De manera equivalente, para cualquier número de clase dado, solo hay un número finito de cuerpos de números cuadráticos imaginarios con ese número de clase.
También en 1934, Heilbronn y Edward Linfoot demostraron que existían como máximo 10 cuerpos de números cuadráticos imaginarios con número de clase 1 (los 9 conocidos y, como máximo, uno más). El resultado era ineficaz (véase resultados efectivos en teoría de números ): no proporcionaba límites al tamaño del cuerpo restante.
En desarrollos posteriores, el caso n = 1 fue discutido por primera vez por Kurt Heegner , usando formas modulares y ecuaciones modulares para demostrar que no podía existir un campo de este tipo. Este trabajo no fue aceptado inicialmente; solo con trabajos posteriores de Harold Stark y Bryan Birch (por ejemplo, sobre el teorema de Stark-Heegner y el número de Heegner ) se aclaró la posición y se entendió el trabajo de Heegner. Prácticamente simultáneamente, Alan Baker demostró lo que ahora conocemos como el teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos , que resolvió el problema con un método completamente diferente. El caso n = 2 fue abordado poco después, al menos en principio, como una aplicación del trabajo de Baker. [4]
La lista completa de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 es donde d es uno de
El caso general aguardaba el descubrimiento de Dorian Goldfeld en 1976 de que el problema del número de clase podía conectarse a las funciones L de las curvas elípticas . [5] Esto redujo efectivamente la cuestión de la determinación efectiva a una sobre el establecimiento de la existencia de un múltiplo cero de tal función L. [5] Con la prueba del teorema de Gross-Zagier en 1986, una lista completa de cuerpos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado podía especificarse mediante un cálculo finito. Todos los casos hasta n = 100 fueron calculados por Watkins en 2004. [3] El número de clase de para d = 1, 2, 3, ... es
El caso opuesto de los cuerpos cuadráticos reales es muy diferente y se sabe mucho menos. Esto se debe a que lo que entra en la fórmula analítica para el número de clase no es h , el número de clase, por sí solo, sino h log ε , donde ε es una unidad fundamental . Este factor adicional es difícil de controlar. Bien podría darse el caso de que el número de clase 1 para los cuerpos cuadráticos reales aparezca con una frecuencia infinita.
Las heurísticas de Cohen-Lenstra [6] son un conjunto de conjeturas más precisas sobre la estructura de los grupos de clases de los cuerpos cuadráticos. Para los cuerpos reales, predicen que aproximadamente el 75,45 % de los cuerpos obtenidos mediante la adición de la raíz cuadrada de un primo tendrán el número de clase 1, un resultado que concuerda con los cálculos. [7]
