En la teoría algebraica de números , la conjetura de Leopoldt , introducida por H.-W. Leopoldt (1962, 1975), establece que el regulador p-ádico de un cuerpo de números no se anula. El regulador p-ádico es un análogo del regulador habitual definido utilizando logaritmos p-ádicos en lugar de los logaritmos habituales, introducido por H.-W. Leopoldt (1962).
Formulación
Sea K un cuerpo de números y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U P las unidades locales en P y sea U 1, P el subgrupo de unidades principales en U P .
Entonces, sea E 1 el conjunto de unidades globales ε que se asignan a U 1 a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en E .
Dado que es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango , donde es el número de incrustaciones reales de y el número de pares de incrustaciones complejas. La conjetura de Leopoldt establece que el rango de módulo del cierre de incrustado diagonalmente en es también
La conjetura de Leopoldt se conoce en el caso especial donde es una extensión abeliana de o una extensión abeliana de un cuerpo de números cuadráticos imaginarios : Ax (1965) redujo el caso abeliano a una versión p-ádica del teorema de Baker , que fue demostrado poco después por Brumer (1967). Mihăilescu (2009, 2011) ha anunciado una prueba de la conjetura de Leopoldt para todas las extensiones CM de .
Colmez (1988) expresó el residuo de la función zeta de Dedekind p -ádica de un campo totalmente real en s = 1 en términos del regulador p -ádico. En consecuencia, la conjetura de Leopoldt para esos campos es equivalente a que sus funciones zeta de Dedekind p -ádicas tengan un polo simple en s = 1.
Referencias
- Ax, James (1965), "Sobre las unidades de un cuerpo numérico algebraico", Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN 0019-2082, MR 0181630, Zbl 0132.28303
- Brumer, Armand (1967), "Sobre las unidades de los cuerpos numéricos algebraicos", Mathematika , 14 (2): 121–124, doi :10.1112/S0025579300003703, ISSN 0025-5793, MR 0220694, Zbl 0171.01105
- Colmez, Pierre (1988), "Résidu en s=1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode :1988InMat..91..371C, doi :10.1007/BF01389373, ISSN 0020-9910, señor 0922806, S2CID 118434651, Zbl 0651.12010
- Kolster, M. (2001) [1994], "La conjetura de Leopoldt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1962), "Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1962 (209): 54–71, doi :10.1515/crll.1962.209.54, ISSN 0075-4102, SEÑOR 0139602, S2CID 117123955, Zbl 0204.07101
- Leopoldt, HW (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224–239, doi :10.1515/crll.1975.274-275.224, S2CID 118013793, Zbl 0309.12009.
- Mihăilescu, Preda (2009), Los componentes T y T* de los módulos Λ y la conjetura de Leopoldt , arXiv : 0905.1274 , Bibcode :2009arXiv0905.1274M
- Mihăilescu, Preda (2011), Conjetura de Leopoldt para campos CM , arXiv : 1105.4544 , Bibcode :2011arXiv1105.4544M
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