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Conjetura de Leopoldt

En la teoría algebraica de números , la conjetura de Leopoldt , introducida por H.-W. Leopoldt  (1962, 1975), establece que el regulador p-ádico de un cuerpo de números no se anula. El regulador p-ádico es un análogo del regulador habitual definido utilizando logaritmos p-ádicos en lugar de los logaritmos habituales, introducido por H.-W. Leopoldt  (1962).

Formulación

Sea K un cuerpo de números y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U P las unidades locales en P y sea U 1, P el subgrupo de unidades principales en U P .

Entonces, sea E 1 el conjunto de unidades globales ε que se asignan a U 1 a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en  E .

Dado que es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango , donde es el número de incrustaciones reales de y el número de pares de incrustaciones complejas. La conjetura de Leopoldt establece que el rango de módulo del cierre de incrustado diagonalmente en es también

La conjetura de Leopoldt se conoce en el caso especial donde es una extensión abeliana de o una extensión abeliana de un cuerpo de números cuadráticos imaginarios : Ax (1965) redujo el caso abeliano a una versión p-ádica del teorema de Baker , que fue demostrado poco después por Brumer (1967). Mihăilescu  (2009, 2011) ha anunciado una prueba de la conjetura de Leopoldt para todas las extensiones CM de .

Colmez  (1988) expresó el residuo de la función zeta de Dedekind p -ádica de un campo totalmente real en s  = 1 en términos del regulador p -ádico. En consecuencia, la conjetura de Leopoldt para esos campos es equivalente a que sus funciones zeta de Dedekind p -ádicas tengan un polo simple en s  = 1.

Referencias