En teoría de números , el teorema de Heegner [1] establece la lista completa de los cuerpos de números cuadráticos imaginarios cuyos anillos de números enteros son dominios ideales principales. Resuelve un caso especial del problema de número de clase de Gauss de determinar el número de cuerpos cuadráticos imaginarios que tienen un número de clase fijo dado .
Sea Q el conjunto de números racionales y sea d un entero sin cuadrados . El cuerpo Q ( √ d ) es una extensión cuadrática de Q . El número de clase de Q ( √ d ) es uno si y solo si el anillo de números enteros de Q ( √ d ) es un dominio ideal principal . El teorema de Baker-Heegner-Stark puede entonces enunciarse de la siguiente manera:
Estos se conocen como números de Heegner .
Reemplazando d por el discriminante D de Q ( √ d ) esta lista a menudo se escribe como: [2]
Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss en la Sección 303 de sus Disquisitiones Arithmeticae (1798). Fue esencialmente demostrado por Kurt Heegner en 1952, pero la prueba de Heegner no fue aceptada hasta que un matemático del establishment, Harold Stark, reescribió la prueba en 1967, que tenía muchos puntos en común con el trabajo de Heegner, pero suficientes diferencias como para que Stark considere que las pruebas son diferentes. [3] Heegner "murió antes de que alguien entendiera realmente lo que había hecho". [4] Stark parafrasea formalmente la prueba de Heegner en 1969 (otros artículos contemporáneos produjeron varias pruebas similares mediante funciones modulares). [5]
Alan Baker dio una prueba completamente diferente un poco antes (1966) que el trabajo de Stark (o más precisamente, Baker redujo el resultado a una cantidad finita de cálculo, con el trabajo de Stark en su tesis de 1963/4 ya proporcionando este cálculo), y ganó la Medalla Fields por sus métodos. Stark señaló más tarde que la prueba de Baker, que involucra formas lineales en 3 logaritmos, podía reducirse a solo 2 logaritmos, cuando el resultado ya era conocido desde 1949 por Gelfond y Linnik. [6]
El artículo de Stark de 1969 (Stark 1969a) también citó el texto de 1895 de Heinrich Martin Weber y señaló que si Weber hubiera "sólo hecho la observación de que la reducibilidad de [una cierta ecuación] llevaría a una ecuación diofántica , el problema de la clase número uno se habría resuelto hace 60 años". Bryan Birch señala que el libro de Weber, y esencialmente todo el campo de las funciones modulares, cayó en desuso durante medio siglo: "Desafortunadamente, en 1952 no quedaba nadie que fuera lo suficientemente experto en el Álgebra de Weber como para apreciar el logro de Heegner". [7]
Deuring, Siegel y Chowla dieron demostraciones ligeramente variantes mediante funciones modulares en los años inmediatamente posteriores a Stark. [8] Otras versiones de este género también han surgido a lo largo de los años. Por ejemplo, en 1985, Monsur Kenku dio una demostración utilizando la ecuación cuártica de Klein (aunque nuevamente utilizando funciones modulares). [9] Y nuevamente, en 1999, Imin Chen dio otra demostración variante mediante funciones modulares (siguiendo el esquema de Siegel). [10]
El trabajo de Gross y Zagier (1986) (Gross & Zagier 1986) combinado con el de Goldfeld (1976) también proporciona una prueba alternativa. [11]
Por otra parte, se desconoce si hay una cantidad infinita de d > 0 para los cuales Q ( √ d ) tiene la clase número 1. Los resultados computacionales indican que hay muchos de esos campos. Campos numéricos con la clase número uno proporciona una lista de algunos de ellos.
