En matemáticas, el teorema del subgrupo analítico es un resultado significativo de la teoría moderna de números trascendentales . Puede considerarse como una generalización del teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos. Gisbert Wüstholz lo demostró en la década de 1980. [1] [2] Marcó un gran avance en la teoría de números trascendentales. Muchos problemas abiertos desde hace mucho tiempo se pueden deducir como consecuencias directas.
Si es un grupo algebraico conmutativo definido sobre un cuerpo numérico algebraico y es un subgrupo de Lie de con álgebra de Lie definida sobre el cuerpo numérico, entonces no contiene ningún punto algebraico distinto de cero de a menos que contenga un subgrupo algebraico propio .
Uno de los nuevos ingredientes centrales de la prueba fue la teoría de estimaciones de multiplicidad de variedades de grupos desarrollada por David Masser y Gisbert Wüstholz en casos especiales y establecida por Wüstholz en el caso general, que era necesaria para la prueba del teorema analítico del subgrupo.
Una de las consecuencias espectaculares del teorema analítico de subgrupos fue el teorema de isogenia publicado por Masser y Wüstholz. Una consecuencia directa es la conjetura de Tate para variedades abelianas que Gerd Faltings había demostrado con métodos totalmente diferentes y que tiene muchas aplicaciones en la geometría aritmética moderna.
Utilizando las estimaciones de multiplicidad para las variedades de grupo, Wüstholz logró obtener la forma final esperada para el límite inferior de las formas lineales en logaritmos. Esto se plasmó en una forma efectiva en un trabajo conjunto entre él y Alan Baker que marca el estado actual del arte. Además de las estimaciones de multiplicidad, otro ingrediente nuevo fue un uso muy sofisticado de la geometría de los números para obtener límites inferiores muy precisos.
