Curva convexa

Tipo de curva plana

Una curva convexa (negra) forma un subconjunto conectado del límite de un conjunto convexo (azul) y tiene una línea de soporte (roja) que pasa por cada uno de sus puntos.

Una parábola , una curva convexa que es la gráfica de la función convexa ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

En geometría , una curva convexa es una curva plana que tiene una línea de apoyo a través de cada uno de sus puntos. Hay muchas otras definiciones equivalentes de estas curvas, que se remontan a Arquímedes . Los ejemplos de curvas convexas incluyen los polígonos convexos , los límites de conjuntos convexos y los gráficos de funciones convexas . Las subclases importantes de curvas convexas incluyen las curvas convexas cerradas (los límites de conjuntos convexos acotados), las curvas suaves que son convexas y las curvas estrictamente convexas, que tienen la propiedad adicional de que cada línea de apoyo pasa a través de un punto único de la curva.

Las curvas convexas acotadas tienen una longitud bien definida, que se puede obtener aproximándolas con polígonos, o a partir de la longitud promedio de sus proyecciones sobre una línea. El número máximo de puntos de cuadrícula que pueden pertenecer a una sola curva está controlado por su longitud. Los puntos en los que una curva convexa tiene una línea de soporte única son densos dentro de la curva, y la distancia de estas líneas desde el origen define una función de soporte continua . Una curva cerrada simple y suave es convexa si y solo si su curvatura tiene un signo consistente, lo que sucede si y solo si su curvatura total es igual a su curvatura absoluta total .

Definiciones

Arquímedes , en su obra Sobre la esfera y el cilindro , define los arcos convexos como las curvas planas que se encuentran en un lado de la línea que pasa por sus dos puntos finales, y para las cuales todas las cuerdas tocan el mismo lado de la curva. ^[1] Esta puede haber sido la primera definición formal de cualquier noción de convexidad, aunque los polígonos convexos y los poliedros convexos ya eran conocidos mucho antes de Arquímedes. ^[2] Durante los siguientes dos milenios, hubo poco estudio de la convexidad: ^[2] su investigación en profundidad comenzó de nuevo solo en el siglo XIX, ^[3] cuando Augustin-Louis Cauchy y otros comenzaron a usar el análisis matemático en lugar de métodos algebraicos para poner el cálculo sobre una base más rigurosa. ^{[1] [2]}

Son posibles muchas otras definiciones equivalentes para las curvas convexas, como se detalla a continuación. Las curvas convexas también se han definido por sus líneas de apoyo, por los conjuntos de los que forman límites y por sus intersecciones con líneas. Para distinguir las curvas convexas cerradas de las curvas que no están cerradas, las curvas convexas cerradas a veces también se han llamado bucles convexos , y las curvas convexas que no están cerradas también se han llamado arcos convexos . ^[4]

Conceptos de fondo

Una curva plana es la imagen de cualquier función continua desde un intervalo hasta el plano euclidiano . Intuitivamente, es un conjunto de puntos que podrían ser trazados por un punto en movimiento. Más específicamente, las curvas suaves generalmente requieren al menos que la función desde el intervalo hasta el plano sea continuamente diferenciable , y en algunos contextos se definen para requerir derivadas más altas. La función que parametriza una curva suave a menudo se supone que es regular , lo que significa que su derivada se mantiene alejada de cero; intuitivamente, el punto en movimiento nunca se detiene ni invierte la dirección. Cada punto interior de una curva suave tiene una línea tangente . Si, además, la segunda derivada existe en todas partes, entonces cada uno de estos puntos tiene una curvatura bien definida . ^[5]

Una curva plana es cerrada si los dos puntos finales del intervalo se asignan al mismo punto en el plano, y es simple si no coinciden otros dos puntos. ^[5] Con menos frecuencia, se puede decir que una curva plana simple es abierta si es topológicamente equivalente a una línea, que no tiene un punto final ni forma ningún punto límite que no le pertenece, y que divide el plano en dos regiones ilimitadas. ^[6] Sin embargo, esta terminología es ambigua ya que otras fuentes se refieren a una curva con dos puntos finales distintos como una curva abierta. ^[7] Aquí, utilizamos el significado de línea topológica de una curva abierta.

Líneas de apoyo

Una línea de apoyo es una línea que contiene al menos un punto de la curva, para el cual la curva está contenida en uno de los dos semiplanos limitados por la línea. Una curva plana se llama convexa si tiene una línea de apoyo que pasa por cada uno de sus puntos. ^{[8] [9]} Por ejemplo, el gráfico de una función convexa tiene una línea de apoyo debajo del gráfico que pasa por cada uno de sus puntos. Más fuertemente, en los puntos donde la función tiene una derivada, hay exactamente una línea de apoyo, la línea tangente . ^[10]

Las líneas de apoyo y las líneas tangentes no son lo mismo, ^[11] pero para las curvas convexas, cada línea tangente es una línea de apoyo. ^[8] En un punto de una curva donde existe una línea tangente, solo puede haber una línea de apoyo, la línea tangente. ^[12] Por lo tanto, una curva suave es convexa si se encuentra en un lado de cada una de sus líneas tangentes. Esto puede usarse como una definición equivalente de convexidad para curvas suaves o, de manera más general, para curvas suaves por partes . ^{[13] [a]}

Límites de conjuntos convexos

Una curva convexa puede definirse alternativamente como un subconjunto conectado del límite de un conjunto convexo en el plano euclidiano . ^{[8] [9]} No todo conjunto convexo tiene un límite conectado, ^[b] pero cuando lo tiene, todo el límite es un ejemplo de una curva convexa. Cuando un conjunto convexo acotado en el plano no es un segmento de línea, su límite forma una curva convexa cerrada simple. ^[16] Por el teorema de la curva de Jordan , una curva cerrada simple divide el plano en regiones interiores y exteriores, y otra definición equivalente de una curva convexa cerrada es que es una curva cerrada simple cuya unión con su interior es un conjunto convexo. ^{[9] [17]} Los ejemplos de curvas convexas abiertas e ilimitadas incluyen los gráficos de funciones convexas. Nuevamente, estos son límites de conjuntos convexos, los epígrafes de las mismas funciones. ^[18]

Esta definición es equivalente a la definición de curvas convexas a partir de líneas de apoyo. Toda curva convexa, definida como una curva con una línea de apoyo que pasa por cada punto, es un subconjunto del límite de su propia envoltura convexa . Todo subconjunto conexo del límite de un conjunto convexo tiene una línea de apoyo que pasa por cada uno de sus puntos. ^{[8] [9] [19]}

Intersección con líneas

Cuatro intersecciones de una línea y una curva convexa (aquí, un pentágono), arriba-abajo: el conjunto vacío, un punto, dos puntos y un intervalo.

En el caso de una curva convexa, cada línea en el plano interseca la curva de una de cuatro maneras: su intersección puede ser el conjunto vacío, un único punto, un par de puntos o un intervalo. En los casos en que una curva cerrada interseca en un único punto o en un intervalo, la línea es una línea de apoyo. Esto se puede utilizar como una definición alternativa de las curvas convexas: son las curvas de Jordan (curvas simples conectadas) para las que cada intersección con una línea tiene uno de estos cuatro tipos. Esta definición se puede utilizar para generalizar las curvas convexas del plano euclidiano a ciertos otros espacios lineales como el plano proyectivo real . En estos espacios, como en el plano euclidiano, cualquier curva con solo estas intersecciones de líneas restringidas tiene una línea de apoyo para cada punto. ^[20]

Convexidad estricta

Las curvas estrictamente convexas tienen muchas definiciones equivalentes. Son las curvas convexas que no contienen ningún segmento de línea . ^[21] Son las curvas para las cuales cada intersección de la curva con una línea consta de como máximo dos puntos. ^[20] Son las curvas que se pueden formar como un subconjunto conexo del límite de un conjunto estrictamente convexo . ^[22] Aquí, un conjunto es estrictamente convexo si cada punto de su límite es un punto extremo del conjunto, el único maximizador de alguna función lineal. ^[23] Como límites de conjuntos estrictamente convexos, estas son las curvas que se encuentran en posición convexa , lo que significa que ninguno de sus puntos puede ser una combinación convexa de ningún otro subconjunto de sus puntos. ^[24]

Las curvas cerradas estrictamente convexas pueden definirse como las curvas cerradas simples que son localmente equivalentes (bajo una transformación de coordenadas apropiada) a los gráficos de funciones estrictamente convexas. Esto significa que, en cada punto de la curva, existe un entorno de los puntos y un sistema de coordenadas cartesianas dentro de ese entorno tal que, dentro de ese entorno, la curva coincide con el gráfico de una función estrictamente convexa. ^{[25] [c]}

Simetría

Un óvalo con un eje de simetría horizontal.

Las curvas cerradas y convexas suaves con un eje de simetría , como una elipse o un huevo de Moss , a veces pueden llamarse óvalos . ^[28] Sin embargo, la misma palabra también se ha utilizado para describir los conjuntos para los que cada punto tiene una línea única disjunta del resto del conjunto, especialmente en el contexto de los óvalos en geometría proyectiva finita . En geometría euclidiana, estas son las curvas cerradas estrictamente convexas suaves, sin ningún requisito de simetría. ^[20]

Propiedades

Longitud y área

Toda curva convexa acotada es una curva rectificable , lo que significa que tiene una longitud de arco finita bien definida y se puede aproximar en longitud mediante una secuencia de cadenas poligonales inscritas . Para curvas convexas cerradas, la longitud puede darse mediante una forma de la fórmula de Crofton como veces la longitud promedio de sus proyecciones sobre líneas. ^[8] También es posible aproximar el área de la envoltura convexa de una curva convexa mediante una secuencia de polígonos convexos inscritos . Para cualquier entero , el -gono de aproximación más preciso tiene la propiedad de que cada vértice tiene una línea de apoyo paralela a la línea que pasa por sus dos vértices vecinos. ^[29] Como ya sabía Arquímedes, si dos curvas convexas tienen el mismo punto final, y una de las dos curvas se encuentra entre la otra y la línea que pasa por sus puntos finales, entonces la curva interna es más corta que la externa. ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Según el teorema de Newton sobre los óvalos , el área cortada de una curva convexa infinitamente diferenciable por una línea no puede ser una función algebraica de los coeficientes de la línea. ^[30]

Una curva convexa suave a través de 13 puntos de red enteros

No es posible que una curva estrictamente convexa pase por muchos puntos de la red de números enteros . Si la curva tiene longitud , entonces, según un teorema de Vojtěch Jarník , el número de puntos de la red por los que puede pasar es como máximo Debido a que esta estimación utiliza la notación O grande , es precisa solo en el caso límite de longitudes grandes. Ni la constante principal ni el exponente en el término de error se pueden mejorar. ^[31] ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3}).}$$

Líneas de soporte y función de soporte

Una curva convexa puede tener como máximo un conjunto contable de puntos singulares , donde tiene más de una línea de apoyo. Todos los puntos restantes deben ser no singulares, y la única línea de apoyo en estos puntos es necesariamente una línea tangente. Esto implica que los puntos no singulares forman un conjunto denso en la curva. ^{[10] [32]} También es posible construir curvas convexas para las cuales los puntos singulares son densos. ^[19]

Una curva cerrada estrictamente convexa tiene una función de soporte continua , que asigna cada dirección de las líneas de soporte a su distancia con signo desde el origen. Es un ejemplo de erizo , un tipo de curva determinada como la envolvente de un sistema de líneas con una función de soporte continua. Los erizos también incluyen curvas no convexas, como la astroide , e incluso curvas autocruzadas, pero las curvas suaves estrictamente convexas son los únicos erizos que no tienen puntos singulares. ^[33]

Es imposible que una curva convexa tenga tres líneas tangentes paralelas. Más fuertemente, una curva cerrada suave es convexa si y sólo si no tiene tres líneas tangentes paralelas. En una dirección, el punto medio de tres líneas tangentes paralelas separaría los puntos de tangencia de las otras dos líneas, por lo que no podría ser una línea de apoyo. No podría haber otra línea de apoyo a través de su punto de tangencia, por lo que una curva tangente a estas tres líneas no podría ser convexa. En la otra dirección, una curva cerrada suave no convexa tiene al menos un punto sin línea de apoyo. La línea tangente a través de ese punto, y las dos líneas de apoyo tangentes paralelas a él, forman un conjunto de tres líneas tangentes paralelas. ^{[13] [d]}

Curvatura

Una elipse (roja) y su evoluta (azul), lugar geométrico de sus centros de curvatura. Los cuatro vértices marcados de la elipse corresponden a las cuatro cúspides de la evoluta.

Según el teorema de los cuatro vértices , toda curva cerrada suave tiene al menos cuatro vértices , puntos que son mínimos locales o máximos locales de curvatura . ^[36] La prueba original del teorema, realizada por Syamadas Mukhopadhyaya en 1909, consideraba solo curvas convexas ; ^[37] posteriormente se extendió a todas las curvas cerradas suaves. ^[36]

La curvatura se puede utilizar para caracterizar las curvas cerradas suaves que son convexas. ^[13] La curvatura depende de manera trivial de la parametrización de la curva: si se invierte una parametrización regular de una curva, resulta el mismo conjunto de puntos, pero su curvatura se niega. ^[5] Una curva cerrada simple suave, con una parametrización regular, es convexa si y solo si su curvatura tiene un signo consistente: siempre no negativo, o siempre no positivo. ^{[13] [e]} Toda curva cerrada simple suave con curvatura estrictamente positiva (o estrictamente negativa) es estrictamente convexa, pero algunas curvas estrictamente convexas pueden tener puntos con curvatura cero. ^[39]

La curvatura absoluta total de una curva convexa suave es como máximo . Es exactamente igual para curvas convexas cerradas, igual a la curvatura total de estas curvas, y de cualquier curva cerrada simple. Para curvas convexas, la igualdad de la curvatura absoluta total y la curvatura total se deduce del hecho de que la curvatura tiene un signo consistente. Para curvas cerradas que no son convexas, la curvatura absoluta total es siempre mayor que , y su exceso puede usarse como una medida de qué tan lejos de ser convexa está la curva. De manera más general, por el teorema de Fenchel , la curvatura absoluta total de una curva espacial suave cerrada es al menos , con igualdad solo para curvas planas convexas. ^{[40] [41]} $${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Por el teorema de Alexandrov , una curva convexa no suave tiene una segunda derivada, y por lo tanto una curvatura bien definida, casi en todas partes . Esto significa que el subconjunto de puntos sin una segunda derivada tiene medida cero en la curva. Sin embargo, en otros sentidos, el conjunto de puntos con una segunda derivada puede ser pequeño. En particular, para los gráficos de funciones convexas no suaves genéricas, es un conjunto exiguo , es decir, una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte . ^[42]

Polígonos inscritos

El límite de cualquier polígono convexo forma una curva convexa (que es una curva lineal por partes y no estrictamente convexa). Un polígono que está inscrito en cualquier curva estrictamente convexa, con sus vértices en orden a lo largo de la curva, debe ser un polígono convexo. ^[43]

El problema del cuadrado inscrito es el problema de demostrar que toda curva cerrada simple en el plano contiene los cuatro vértices de un cuadrado. Aunque todavía no se ha resuelto en general, sus casos resueltos incluyen las curvas convexas. ^[44] En relación con este problema, se han estudiado problemas relacionados con la búsqueda de cuadriláteros inscritos para curvas convexas. Una copia escalada y rotada de cualquier rectángulo o trapezoide se puede inscribir en cualquier curva convexa cerrada dada. Cuando la curva es suave, se puede inscribir en ella una copia escalada y rotada de cualquier cuadrilátero cíclico . Sin embargo, la suposición de suavidad es necesaria para este resultado, porque algunas cometas rectas no se pueden inscribir en algunos triángulos isósceles obtusos . ^{[45] [46]} Los polígonos regulares con más de cuatro lados no se pueden inscribir en todas las curvas convexas cerradas, porque la curva formada por un semicírculo y su diámetro no contiene ninguno de estos polígonos. ^[47]

Véase también

• Superficie convexa , la generalización de mayor dimensión de las curvas convexas
• Lista de temas sobre convexidad

Notas

1. El supuesto de suavidad es necesario al definir curvas convexas utilizando líneas tangentes. Existen curvas fractales , e incluso gráficos de funciones continuas , que no tienen líneas tangentes, ni siquiera tangentes verticales o unilaterales. ^[14] Para estas curvas es vacuamente cierto que se encuentran en un lado de cada línea tangente, pero no son convexas.
2. Para una losa , la región entre dos líneas paralelas, el límite son sus dos líneas definitorias. ^[15]
3. Muchas espirales también son localmente convexas pero no forman curvas cerradas. ^{[9] [26]} Los polígonos no convexos son curvas cerradas que son localmente equivalentes a los gráficos de funciones convexas lineales por partes, pero estas funciones no son estrictamente convexas. ^[27]
4. Existen curvas abiertas suaves que no tienen tres tangentes paralelas pero que no son convexas; el gráfico de cualquier polinomio cúbico es un ejemplo. Para el gráfico de una función, la pendiente de cualquier recta tangente es la derivada de la función en ese punto, ^[34] y como la derivada de un polinomio cúbico es un polinomio cuadrático, produce cualquier pendiente dada como máximo dos veces. ^[35]
5. Algunas curvas cerradas no simples, como las curvas en forma de rosa, también tienen curvaturas con signo consistente. ^[38]

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