Extensiones de operadores simétricos

Operación en operadores autoadjuntos

En análisis funcional , uno está interesado en extensiones de operadores simétricos que actúan sobre un espacio de Hilbert . De particular importancia es la existencia, y a veces construcciones explícitas, de extensiones autoadjuntas . Este problema surge, por ejemplo, cuando es necesario especificar dominios de autoadjunción para expresiones formales de observables en mecánica cuántica . Otras aplicaciones de soluciones a este problema se pueden ver en varios problemas de momentos .

Este artículo analiza algunos problemas relacionados de este tipo. El tema unificador es que cada problema tiene una caracterización teórica del operador que proporciona una parametrización correspondiente de las soluciones. Más específicamente, encontrar extensiones autoadjuntas, con diversos requisitos, de operadores simétricos equivale a encontrar extensiones unitarias de isometrías parciales adecuadas .

Operadores simétricos

Sea un espacio de Hilbert. Un operador lineal que actúa con dominio denso es simétrico si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {dom} (A).}$

Si , el teorema de Hellinger-Toeplitz dice que es un operador acotado , en cuyo caso es autoadjunto y el problema de extensión es trivial. En general, un operador simétrico es autoadjunto si el dominio de su adjunto, se encuentra en . ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

Cuando se trata de operadores ilimitados , a menudo es deseable poder suponer que el operador en cuestión está cerrado . En el contexto actual, es un hecho conveniente que todo operador simétrico se puede cerrar . Es decir, tiene la extensión cerrada más pequeña, llamada cierre de . Esto se puede demostrar invocando el supuesto simétrico y el teorema de representación de Riesz . Dado que y su cierre tienen las mismas extensiones cerradas, siempre se puede suponer que el operador simétrico de interés está cerrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En la siguiente sección, se supondrá que un operador simétrico está densamente definido y es cerrado.

Extensiones autoadjuntas de operadores simétricos.

Si un operador en el espacio de Hilbert es simétrico, ¿cuándo tiene extensiones autoadjuntas? Se dice que un operador que tiene una extensión autoadjunta única es esencialmente autoadjunto ; de manera equivalente, un operador es esencialmente autoadjunto si su cierre (el operador cuyo gráfico es el cierre del gráfico de ) es autoadjunto. En general, un operador simétrico podría tener muchas extensiones autoadjuntas o ninguna. Por tanto, nos gustaría una clasificación de sus extensiones autoadjuntas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$

El primer criterio básico para la autoadjunción esencial es el siguiente: ^[1]

Teorema  :  si es un operador simétrico en , entonces es esencialmente autoadjunto si y solo si el rango de los operadores y son densos en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-i}$ ${\displaystyle A+i}$ ${\displaystyle H}$

De manera equivalente, es esencialmente autoadjunto si y sólo si los operadores tienen núcleos triviales . ^[2] Es decir, no puede ser autoadjunto si y solo si tiene un vector propio con valores propios complejos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}\pm i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \pm i}$

Otra forma de ver el problema la proporciona la transformada de Cayley de un operador autoadjunto y los índices de deficiencia. ^[3]

Teorema  :  supongamos que es un operador simétrico. Entonces existe un único operador lineal densamente definido tal que ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle W(A):\operatorname {ran} (A+i)\to \operatorname {ran} (A-i)}$$ $${\displaystyle W(A)(Ax+ix)=Ax-ix,\quad x\in \operatorname {dom} (A).}$$

${\displaystyle W(A)}$es isométrica en su dominio. Además, es denso en . ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-W(A))}$ ${\displaystyle A}$

Por el contrario, dado cualquier operador densamente definido que sea isométrico en su dominio (no necesariamente cerrado) y que sea denso, entonces existe un operador simétrico densamente definido (único) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1-U}$

${\displaystyle S(U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$

tal que

${\displaystyle S(U)(x-Ux)=i(x+Ux),\quad x\in \operatorname {dom} (U).}$

Las asignaciones y son inversas entre sí, es decir, . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(W(A))=A}$

El mapeo se llama transformada de Cayley . Asocia una isometría parcialmente definida a cualquier operador simétrico densamente definido. Tenga en cuenta que las asignaciones y son monótonas : esto significa que if es un operador simétrico que extiende el operador simétrico densamente definido , luego extiende , y de manera similar for . ${\displaystyle A\mapsto W(A)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(B)}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle S}$

Teorema  :  una condición necesaria y suficiente para ser autoadjunto es que su transformada de Cayley sea unitaria en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle H}$

Esto inmediatamente nos da una condición necesaria y suficiente para tener una extensión autoadjunta, de la siguiente manera: ${\displaystyle A}$

Teorema  :  una condición necesaria y suficiente para tener una extensión autoadjunta es que tenga una extensión unitaria . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle H}$

Un operador isométrico parcialmente definido en un espacio de Hilbert tiene una extensión isométrica única al cierre de normas de . Un operador isométrico parcialmente definido con dominio cerrado se llama isometría parcial . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (V)}$

Defina los subespacios de deficiencia de A mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {ran} (A+i)^{\perp }\\K_{-}&=\operatorname {ran} (A-i)^{\perp }\end{aligned}}}$

En este lenguaje, la descripción del problema de extensión autoadjunta dada por el teorema se puede reformular de la siguiente manera: un operador simétrico tiene extensiones autoadjuntas si y sólo si los subespacios de deficiencia y tienen la misma dimensión. ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K_{+}}$ ${\displaystyle K_{-}}$

Los índices de deficiencia de una isometría parcial se definen como la dimensión de los complementos ortogonales del dominio y rango: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}}$

Teorema  :  una isometría parcial tiene una extensión unitaria si y sólo si los índices de deficiencia son idénticos. Además, tiene una extensión unitaria única si y sólo si los índices de deficiencia son ambos cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Vemos que existe una biyección entre extensiones simétricas de un operador y extensiones isométricas de su transformada de Cayley. La extensión simétrica es autojunta si y sólo si la extensión isométrica correspondiente es unitaria.

Un operador simétrico tiene una extensión autoadjunta única si y sólo si ambos índices de deficiencia son cero. Se dice que un operador de este tipo es esencialmente autoadjunto . Los operadores simétricos que no son esencialmente autoadjuntos aún pueden tener una extensión canónica autoadjunta. Tal es el caso de los operadores simétricos no negativos (o más generalmente, los operadores que están acotados por debajo). Estos operadores siempre tienen una extensión de Friedrichs definida canónicamente y para estos operadores podemos definir un cálculo funcional canónico. Muchos operadores que ocurren en el análisis están acotados por debajo (como el negativo del operador laplaciano ), por lo que la cuestión de la adjunción esencial para estos operadores es menos crítica.

Supongamos que es simétrico densamente definido. Entonces cualquier extensión simétrica de es una restricción de . De hecho, y simétrico produce al aplicar la definición de . Esta noción conduce a las fórmulas de von Neumann : ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

Teorema  :  supongamos que es un operador simétrico densamente definido, con dominio . Sea cualquier par de sus subespacios de deficiencia. Entonces y donde la descomposición es ortogonal con respecto al producto interno del gráfico de : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$ $${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ran} (A\pm i)^{\perp },}$$ $${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ker} (A^{*}\mp i),}$$ $${\displaystyle \operatorname {dom} \left(A^{*}\right)=\operatorname {dom} \left({\overline {A}}\right)\oplus N_{+}\oplus N_{-},}$$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ $${\displaystyle \langle \xi \mid \eta \rangle _{\text{graph}}=\langle \xi \mid \eta \rangle +\left\langle A^{*}\xi \mid A^{*}\eta \right\rangle .}$$

Ejemplo

Considere el espacio de Hilbert . En el subespacio de una función absolutamente continua que desaparece en el límite, defina el operador por ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Af=i{\frac {d}{dx}}f.}$

La integración por partes muestra que es simétrica. Su adjunto es el mismo operador siendo funciones absolutamente continuas sin condición de frontera. Veremos que extender A equivale a modificar las condiciones de frontera, aumentando y reduciendo así , hasta que ambas coincidan. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

El cálculo directo muestra que y son subespacios unidimensionales dados por ${\displaystyle K_{+}}$ ${\displaystyle K_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {span} \{\phi _{+}=c\cdot e^{x}\}\\K_{-}&=\operatorname {span} \{\phi _{-}=c\cdot e^{-x}\}\end{aligned}}}$

donde es una constante de normalización. Las extensiones autoadjuntas de están parametrizadas por el grupo circular . Para cada transformación unitaria definida por ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{\alpha \in \mathbb {C} :|\alpha |=1\}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }:K_{-}\to K_{+}}$

${\displaystyle U_{\alpha }(\phi _{-})=\alpha \phi _{+}}$

corresponde una extensión con dominio ${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (A_{\alpha })=\{f+\beta (\alpha \phi _{-}-\phi _{+})|f\in \operatorname {dom} (A),\;\beta \in \mathbb {C} \}.}$

Si , entonces es absolutamente continua y ${\displaystyle f\in \operatorname {dom} (A_{\alpha })}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(0)}{f(1)}}\right|=\left|{\frac {e\alpha -1}{\alpha -e}}\right|=1.}$

Por el contrario, si es absolutamente continuo y para algunos , entonces se encuentra en el dominio anterior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=\gamma f(1)}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$

Los operadores autoadjuntos son ejemplos del operador de momento en mecánica cuántica. ${\displaystyle A_{\alpha }}$

Ampliación autoadjunta en un espacio más grande

Cada isometría parcial se puede extender, en un espacio posiblemente mayor, a un operador unitario. En consecuencia, cada operador simétrico tiene una extensión autoadjunta, en un espacio posiblemente mayor.

Operadores simétricos positivos

Un operador simétrico se llama positivo si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in \operatorname {dom} (A).}$

Se sabe que por cada uno de ellos , uno tiene . Por tanto, todo operador simétrico positivo tiene extensiones autoadjuntas. La pregunta más interesante en esta dirección es si tiene extensiones autoadjuntas positivas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} K_{+}=\operatorname {dim} K_{-}}$ ${\displaystyle A}$

Para dos operadores positivos y , ponemos if ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\leq B}$

${\displaystyle (A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}}$

en el sentido de operadores acotados.

Estructura de contracciones matriciales 2 × 2

Mientras que el problema de extensión para los operadores simétricos generales es esencialmente el de extender isometrías parciales a unitarias, para los operadores simétricos positivos la cuestión pasa a ser la de extender las contracciones : al "rellenar" ciertas entradas desconocidas de una contracción autoadjunta de 2 × 2, obtenemos las extensiones positivas autoadjuntas de un operador simétrico positivo.

Antes de exponer el resultado relevante, primero arreglamos algo de terminología. Para una contracción que actúa sobre , definimos sus operadores de defecto por ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D_{\Gamma }\;=(1-\Gamma ^{*}\Gamma )^{\frac {1}{2}}\\&D_{\Gamma ^{*}}=(1-\Gamma \Gamma ^{*})^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Los espacios defectuosos de son ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;=\operatorname {ran} (D_{\Gamma })\\&{\mathcal {D}}_{\Gamma ^{*}}=\operatorname {ran} (D_{\Gamma ^{*}})\end{aligned}}}$

Los operadores de defecto indican la no unitaridad de , mientras que los espacios de defecto aseguran la unicidad en algunas parametrizaciones. Utilizando esta maquinaria, se puede describir explícitamente la estructura de las contracciones matriciales generales. Sólo necesitaremos la funda de 2×2. Cada contracción 2 × 2 se puede expresar de forma única como ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}}$

donde cada uno es una contracción. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

Extensiones de operadores simétricos positivos

La transformada de Cayley para operadores simétricos generales se puede adaptar a este caso especial. Por cada número no negativo , ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left|{\frac {a-1}{a+1}}\right|\leq 1.}$

Esto sugiere que asignemos a cada operador simétrico positivo una contracción ${\displaystyle A}$

${\displaystyle C_{A}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow \operatorname {ran} (A-1)\subset H}$

definido por

${\displaystyle C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\quad {\mbox{i.e.}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}.\,}$

que tienen representación matricial ^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}\end{bmatrix}}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {ran} (A+1)\\\oplus \\\operatorname {ran} (A+1)^{\perp }\end{matrix}}.}$

Se comprueba fácilmente que la entrada proyectada sobre , es autoadjunta. El operador se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle C_{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=\operatorname {dom} (C_{A})}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(1+C_{A})(1-C_{A})^{-1}\,}$

con . Si es una contracción que se extiende y su proyección sobre su dominio es autoadjunta, entonces está claro que su transformada de Cayley inversa ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=\operatorname {ran} (C_{A}-1)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=(1+{\tilde {C}})(1-{\tilde {C}})^{-1}}$

definido en es una extensión simétrica positiva de . La propiedad simétrica se deriva de que su proyección sobre su propio dominio es autoadjunta y la positividad se deriva de la contractividad. Lo contrario también es cierto: dada una extensión simétrica positiva de , su transformada de Cayley es una contracción que satisface la propiedad autoadjunta "parcial" declarada. ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-{\tilde {C}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Teorema  :  las extensiones simétricas positivas de están en correspondencia uno a uno con las extensiones de su transformada de Cayley donde, si es tal extensión, debemos proyectarla para que sea autoadjunta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (C)}$

El criterio de unitaridad de la transformada de Cayley se reemplaza por la autoadjunción para operadores positivos.

Teorema  :  un operador positivo simétrico es autoadjunto si y solo si su transformada de Cayley es una contracción autoadjunta definida en todos , es decir, cuando . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=H}$

Por lo tanto, encontrar una extensión autoadjunta para un operador simétrico positivo se convierte en un " problema de compleción de matrices ". Específicamente, necesitamos incrustar la contracción de la columna en una contracción autojunta de 2 × 2. Esto siempre se puede hacer y la estructura de tales contracciones proporciona una parametrización de todas las extensiones posibles. ${\displaystyle C_{A}}$

Por el inciso anterior, todas las extensiones autoadjuntas de toman la forma ${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.}$

Entonces, las extensiones positivas autoadjuntas de están en correspondencia biyectiva con las contracciones autoadjuntas en el espacio del defecto de . Las contracciones y dan lugar a extensiones positivas y respectivamente. Estas son las extensiones positivas más pequeñas y más grandes de en el sentido de que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\Gamma _{3}^{*}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(-1)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(1)}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{0}\leq B\leq A_{\infty }}$

para cualquier extensión autoadjunta positiva de . El operador es la extensión de Friedrichs y es la extensión de von Neumann-Krein . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A}$

Se pueden obtener resultados similares para los operadores acretivos .

Notas

1. Teorema 9.21 de Hall 2013
2. Salón 2013 Corolario 9.22
3. Rudin 1991, pag. 356-357 §13.17.
4. Jørgensen, Kornelson y Shuman 2011, pág. 85.
5. Akhiezer 1981, pag. 354.

Referencias

• Akhiezer, Naum Ilich (1981). Teoría de Operadores Lineales en el Espacio de Hilbert . Boston: Pitman. ISBN 0-273-08496-8.
• A. Alonso y B. Simon, La teoría Birman-Krein-Vishik de extensiones autoadjuntas de operadores semiacotados. J. Teoría del operador 4 (1980), 251-270.
• Gramo. Arsene y A. Gheondea, Completar contracciones matriciales, J. Operador Theory 7 (1982), 179-189.
• N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales , Parte II, Interscience, 1958.
• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158
• Jørgensen, Palle et al; Kornelson, Keri A.; Shuman, Karen L. (2011). Sistemas de funciones iteradas, momentos y transformaciones de matrices infinitas . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-5248-4.
• Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: Vol 1: Análisis funcional . Prensa académica. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Caña, M .; Simon, B. (1972), Métodos de física matemática: volumen 2: análisis de Fourier, autoadjunción , Academic Press
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Boston, Mass.: McGraw-Hill Ciencias, Ingeniería y Matemáticas. ISBN 978-0-07-054236-5.