Ampliación de Friedrichs

En el análisis funcional , la extensión de Friedrichs es una extensión autoadjunta canónica de un operador simétrico densamente definido y no negativo . Recibe su nombre en honor al matemático Kurt Friedrichs . Esta extensión es particularmente útil en situaciones en las que un operador puede no ser esencialmente autoadjunto o cuya autoadjunción esencial es difícil de demostrar.

Un operador T no es negativo si

${\displaystyle \langle \xi \mid T\xi \rangle \geq 0\quad \xi \in \operatorname {dom} \ T}$

Ejemplos

Ejemplo . La multiplicación por una función no negativa en un espacio L ² es un operador autoadjunto no negativo.

Ejemplo . Sea U un conjunto abierto en R ⁿ . En L ² ( U ) consideramos operadores diferenciales de la forma

${\displaystyle [T\phi ](x)=-\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\}\quad x\in U,\phi \in \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U),}$

donde las funciones a _{i j} son funciones de valor real infinitamente diferenciables en U . Consideramos T actuando sobre el subespacio denso de funciones de valor complejo infinitamente diferenciables de soporte compacto, en símbolos

${\displaystyle \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).}$

Si para cada x ∈ U la matriz n × n

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

es semidefinida no negativa, entonces T es un operador no negativo. Esto significa (a) que la matriz es hermítica y

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0}$

para cada elección de números complejos c ₁ , ..., c _n . Esto se demuestra mediante integración por partes .

Estos operadores son elípticos , aunque en general los operadores elípticos pueden no ser no negativos. Sin embargo, están acotados desde abajo.

Definición de extensión de Friedrichs

La definición de la extensión de Friedrichs se basa en la teoría de formas positivas cerradas en espacios de Hilbert. Si T es no negativo, entonces

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle }$

es una forma sesquilínea en dom T y

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2}.}$

Por lo tanto, Q define un producto interno en dom T . Sea H ₁ la completitud de dom T con respecto a Q. H ₁ es un espacio definido de manera abstracta; por ejemplo, sus elementos pueden representarse como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de elementos de dom T . No es obvio que todos los elementos en H ₁ puedan identificarse con elementos de H . Sin embargo, se puede demostrar lo siguiente:

La inclusión canónica

${\displaystyle \operatorname {dom} T\rightarrow H}$

se extiende a una función continua inyectiva H ₁ → H . Consideramos a H ₁ como un subespacio de H .

Defina un operador A mediante

${\displaystyle \operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ is bounded linear.}}\}}$

En la fórmula anterior, acotado es relativo a la topología en H ₁ heredada de H . Por el teorema de representación de Riesz aplicado a la funcional lineal φ _ξ extendida a H , existe un único A ξ ∈ H tal que

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_{1}}$

Teorema . A es un operador autoadjunto no negativo tal que T ₁ = A - I extiende T .

T ₁ es la extensión de Friedrichs de T .

Otra forma de obtener esta extensión es la siguiente. Sea : el operador de inclusión acotado. La inclusión es un inyectivo acotado con imagen densa. Por lo tanto es un operador inyectivo acotado con imagen densa, donde es el adjunto de como operador entre espacios de Hilbert abstractos. Por lo tanto, el operador es un operador autoadjunto no negativo cuyo dominio es la imagen de . Entonces extiende T. ${\displaystyle L:H_{1}\rightarrow H}$ ${\displaystyle LL^{*}:H\rightarrow H}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A:=(LL^{*})^{-1}}$ ${\displaystyle LL^{*}}$ ${\displaystyle A-I}$

Teorema de Kerin sobre extensiones autoadjuntas no negativas

MG Krein ha dado una caracterización elegante de todas las extensiones autoadjuntas no negativas de un operador simétrico no negativo T.

Si T , S son operadores autoadjuntos no negativos, escribe

${\displaystyle T\leq S}$

Si, y sólo si,

• ${\displaystyle \operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})}$
• ${\displaystyle \langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})}$

Teorema . Existen extensiones autoadjuntas únicas T _min y T _max de cualquier operador simétrico no negativo T tales que

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq T_{\mathrm {max} },}$

y cada extensión autoadjunta no negativa S de T está entre T _min y T _max , es decir

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.}$

Véase también

• Extensión energética
• Extensiones de operadores simétricos

Notas

Referencias

• NI Akhiezer e IM Glazman, Teoría de operadores lineales en el espacio de Hilbert , Pitman, 1981.