Teoría p-ádica de Hodge

En matemáticas , la teoría de Hodge p -ádica es una teoría que proporciona una forma de clasificar y estudiar representaciones de Galois p -ádicas de cuerpos locales de característica 0 ^[1] con característica residual p (como Q p ). La teoría tiene sus inicios en el estudio de Jean-Pierre Serre y John Tate de los módulos de Tate de variedades abelianas y la noción de representación de Hodge-Tate . Las representaciones de Hodge-Tate están relacionadas con ciertas descomposiciones de teorías de cohomología p -ádica análogas a la descomposición de Hodge , de ahí el nombre de teoría de Hodge p -ádica. Los desarrollos posteriores se inspiraron en las propiedades de las representaciones de Galois p -ádicas que surgen de la cohomología étale de variedades . Jean-Marc Fontaine introdujo muchos de los conceptos básicos del campo.

Clasificación general de pag {\estilo de visualización p} -representaciones ádicas

Sea un cuerpo local con cuerpo de residuos de característica . En este artículo, una representación -ádica de (o de , el grupo de Galois absoluto de ) será una representación continua , donde es un espacio vectorial de dimensión finita sobre . La colección de todas las representaciones -ádicas de forman una categoría abeliana denotada en este artículo. La teoría de Hodge -ádica proporciona subcolecciones de representaciones -ádicas basadas en lo agradables que sean, y también proporciona funtores fieles a categorías de objetos algebraicos lineales que son más fáciles de estudiar. La clasificación básica es la siguiente: ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho :G_{K}\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{ss}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$

donde cada conjunto es una subcategoría completa contenida adecuadamente en el siguiente. En orden, estas son las categorías de representaciones cristalinas, representaciones semiestables, representaciones de De Rham, representaciones de Hodge–Tate y todas las representaciones p -ádicas. Además, se pueden introducir otras dos categorías de representaciones, las representaciones potencialmente cristalinas y las representaciones potencialmente semiestables . La última contiene estrictamente a la primera, que a su vez generalmente contiene estrictamente a ; además, generalmente contiene estrictamente a , y está contenida en (con igualdad cuando el cuerpo de residuos de es finito, un enunciado llamado teorema de monodromía p-ádica). ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pcrys} }(K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {ss} }(K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{dR}(K)}$ ${\displaystyle K}$

Anillos de períodos e isomorfismos de comparación en geometría aritmética

La estrategia general de la teoría de Hodge p -ádica, introducida por Fontaine, es construir ciertos llamados anillos de período ^[3] como B dR , Bst, Bcris y BHT que tienen tanto una acción de G _K como alguna estructura algebraica lineal y considerar los llamados módulos de Dieudonné.

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}$

(donde B es un anillo de períodos, y V es una representación p -ádica) que ya no tienen una G _K -acción, sino que están dotadas de estructuras algebraicas lineales heredadas del anillo B . En particular, son espacios vectoriales sobre el cuerpo fijo . ^[4] Esta construcción encaja en el formalismo de representaciones B -admisibles introducido por Fontaine. Para un anillo de períodos como los antes mencionados B _∗ (para ∗ = HT, dR, st, cris), la categoría de representaciones p -ádicas Rep _∗ ( K ) mencionada anteriormente es la categoría de B ∗ -admisibles , es decir, aquellas representaciones p -ádicas V para las que ${\displaystyle E:=B^{G_{K}}}$

${\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

o, equivalentemente, el morfismo de comparación

${\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

es un isomorfismo .

Este formalismo (y el nombre de anillo de período) surgió de algunos resultados y conjeturas sobre isomorfismos de comparación en aritmética y geometría compleja :

• Si X es un esquema suave adecuado sobre C , existe un isomorfismo de comparación clásico entre la cohomología algebraica de Rham de X sobre C y la cohomología singular de X ( C )

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .}$

Este isomorfismo se puede obtener considerando un emparejamiento obtenido al integrar formas diferenciales en la cohomología de Rham algebraica sobre ciclos en la cohomología singular. El resultado de tal integración se llama período y generalmente es un número complejo. Esto explica por qué la cohomología singular debe tensarse a C , y desde este punto de vista, se puede decir que C contiene todos los períodos necesarios para comparar la cohomología de Rham algebraica con la cohomología singular y, por lo tanto, podría llamarse un anillo de períodos en esta situación.

• A mediados de los sesenta, Tate conjeturó ^[5] que un isomorfismo similar debería cumplirse para esquemas suaves propios X sobre K entre la cohomología de de Rham algebraica y la cohomología étale p -ádica (la conjetura de Hodge–Tate, también llamada C _HT ). Específicamente, sea C _K la compleción de un cierre algebraico de K , sea C _K ( i ) denotar C _K donde la acción de G _K es a través de g · z = χ( g ) ⁱ g · z (donde χ es el carácter ciclotómico p -ádico , e i es un entero), y sea . Entonces hay un isomorfismo funcional ${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

de espacios vectoriales graduados con G _K -acción (la cohomología de De Rham está dotada de la filtración de Hodge y es su asociada graduada). Esta conjetura fue demostrada por Gerd Faltings a finales de los años ochenta ^[6] después de resultados parciales de varios otros matemáticos (incluido el propio Tate). ${\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }}$

• Para una variedad abeliana X con buena reducción sobre un cuerpo p -ádico K , Alexander Grothendieck reformuló un teorema de Tate para decir que la cohomología cristalina H ¹ ( X / W ( k )) ⊗ Q _p de la fibra especial (con el endomorfismo de Frobenius en este grupo y la filtración de Hodge en este grupo tensada con K ) y la cohomología étale p -ádica H ¹ ( X , Q _p ) (con la acción del grupo de Galois de K ) contenían la misma información. Ambas son equivalentes al grupo p -divisible asociado a X , hasta la isogenia. Grothendieck conjeturó que debería haber una manera de ir directamente de la cohomología étale p -ádica a la cohomología cristalina (y viceversa), para todas las variedades con buena reducción sobre cuerpos p -ádicos. ^[7] Esta relación sugerida se conoció como el funtor misterioso .

Para mejorar la conjetura de Hodge-Tate a una que involucre la cohomología de De Rham (no solo su grado asociado), Fontaine construyó ^[8] un anillo filtrado B _dR cuyo grado asociado es B _HT y conjeturó ^[9] lo siguiente (llamado C _dR ) para cualquier esquema propio suave X sobre K

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales filtrados con G _K -acción. De esta manera, se podría decir que B _dR contiene todos los períodos ( p -ádicos) necesarios para comparar la cohomología de Rham algebraica con la cohomología étale p -ádica, tal como se usaron los números complejos anteriores con la comparación con la cohomología singular. De aquí es de donde B _dR obtiene su nombre de anillo de períodos p-ádicos .

De manera similar, para formular una conjetura que explicara el misterioso funtor de Grothendieck, Fontaine introdujo un anillo B _cris con G _K -acción, un φ "Frobenius" y una filtración después de extender escalares desde K ₀ hasta K . Conjeturó ^[10] lo siguiente (llamado C _cris ) para cualquier esquema propio suave X sobre K con buena reducción

${\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales con φ-acción, G _K -acción y filtración después de extender escalares a K (aquí se da su estructura como un espacio vectorial K ₀ con φ-acción dada por su comparación con la cohomología cristalina). Tanto la conjetura C _dR como la C _cris fueron demostradas por Faltings. ^[11] ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)}$

Al comparar estas dos conjeturas con la noción de representaciones B _∗ -admisibles anterior, se ve que si X es un esquema suave adecuado sobre K (con buena reducción) y V es la representación de Galois p -ádica obtenida como su i -ésimo grupo de cohomología étale p -ádico, entonces

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

En otras palabras, los módulos de Dieudonné deben considerarse como los que proporcionan las otras cohomologías relacionadas con V.

A finales de los años ochenta, Fontaine y Uwe Jannsen formularon otra conjetura de isomorfismo de comparación, C _st , esta vez permitiendo que X tuviera una reducción semiestable. Fontaine construyó ^[12] un anillo B _st con G _K -acción, un φ "Frobenius", una filtración después de extender escalares de K ₀ a K (y fijar una extensión del logaritmo p -ádico ), y un "operador de monodromía" N . Cuando X tiene una reducción semiestable, la cohomología de De Rham puede equiparse con la φ-acción y un operador de monodromía por su comparación con la cohomología log-cristalina introducida por primera vez por Osamu Hyodo. ^[13] La conjetura establece entonces que

${\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {log-cris} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

como espacios vectoriales con φ-acción, G _K -acción, filtración después de extender escalares a K y operador de monodromía N. Esta conjetura fue demostrada a finales de los noventa por Takeshi Tsuji. ^[14]

Notas

1. En este artículo, un campo local es un campo de valoración discreto completo cuyo campo de residuo es perfecto .
2. Fontaine 1994, pág. 114
3. Estos anillos dependen del campo local K en cuestión, pero esta relación normalmente se omite en la notación.
4. Para B = B _HT , B _dR , B _st y B _cris , son K , K , K ₀ y K ₀ , respectivamente, donde K ₀ = Frac( W ( k )), el campo de fracciones de los vectores de Witt de k . ${\displaystyle B^{G_{K}}}$
5. Véase Serre 1967
6. Fallecimientos 1988
7. Grothendieck 1971, pág. 435
8. Fuente 1982
9. Fontaine 1982, Conjetura A.6
10. Fontaine 1982, Conjetura A.11
11. Fallecimientos 1989
12. Fontaine 1994, Exposé II, sección 3
13. Hyodo 1991
14. Tsuji 1999

Véase también

• Teoría de Hodge
• Teoría de Arakelov
• Teoría de Hodge-Arakelov
• Teoría p-ádica de Teichmüller

Referencias

Fuentes primarias

• Tate, John (1967), " Grupos p -divisibles"", Actas de una conferencia sobre campos locales , Springer, págs. 158-183, doi :10.1007/978-3-642-87942-5_12, ISBN 978-3-642-87942-5
• Faltings, Gerd (1988), " Teoría de Hodge p -ádica", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 255–299, doi :10.2307/1990970, JSTOR  1990970, MR  0924705
• Faltings, Gerd (1989), "Cohomología cristalina y representaciones de Galois p -ádicas", en Igusa, Jun-Ichi (ed.), Análisis algebraico, geometría y teoría de números , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, págs. 25–80, ISBN 978-0-8018-3841-5, Sr.  1463696
• Fontaine, Jean-Marc (1982), "Sur ciertos tipos de représentations p -adiques du groupe de Galois d'un corps local; construcción de un anillo de Barsotti – Tate", Annals of Mathematics , 115 (3): 529– 577, doi : 10.2307/2007012, JSTOR  2007012, SEÑOR  0657238
• Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti – Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, págs. 431–436, SEÑOR  0578496
• Hyodo, Osamu (1991), "Sobre el complejo de De Rham–Witt unido a una familia semiestable", Compositio Mathematica , 78 (3): 241–260, MR  1106296
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Résumé des cours, 1965–66", Annuaire du Collège de France , París, págs. 49–58{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Tsuji, Takeshi (1999), " Cohomología étale p -ádica y cohomología cristalina en el caso de reducción semiestable", Inventiones Mathematicae , 137 (2): 233–411, Bibcode :1999InMat.137..233T, doi :10.1007/s002220050330, MR  1705837, S2CID  121547567

Fuentes secundarias

• Berger, Laurent (2004), "Introducción a la teoría de representaciones p -ádicas", Aspectos geométricos de la teoría de Dwork , vol. I, Berlín: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math/0210184 , Bibcode :2002math.....10184B, ISBN 978-3-11-017478-6, Sr.  2023292
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), Notas de la Escuela de Verano del CMI sobre la teoría p-ádica de Hodge (PDF) , consultado el 5 de febrero de 2010
• Fontaine, Jean-Marc , ed. (1994), Périodes p-adiques , Astérisque, vol. 223, París: Société Mathématique de France, MR  1293969
• Illusie, Luc (1990), "Cohomologie de de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. vol. 1989/90. Exposiciones 715–729 , Astérisque, vol. 189–190, París: Société Mathématique de France, págs. 325–374, MR  1099881