La propiedad de Kazhdan (T)

Término matemático

En matemáticas , un grupo topológico localmente compacto G tiene la propiedad (T) si la representación trivial es un punto aislado en su dual unitario equipado con la topología de Fell . De manera informal, esto significa que si G actúa unitariamente en un espacio de Hilbert y tiene "vectores casi invariantes", entonces tiene un vector invariante distinto de cero . La definición formal, introducida por David Kazhdan (1967), le da a esto un significado cuantitativo preciso.

Aunque originalmente se definió en términos de representaciones irreducibles , la propiedad (T) a menudo se puede verificar incluso cuando hay poco o ningún conocimiento explícito del dual unitario. La propiedad (T) tiene aplicaciones importantes en la teoría de representación de grupos , redes en grupos algebraicos sobre cuerpos locales , teoría ergódica , teoría de grupos geométricos , expansores , álgebras de operadores y la teoría de redes .

Definiciones

Sea G un grupo topológico localmente compacto y σ-compacto y π : G → U ( H ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert (complejo) H . Si ε > 0 y K es un subconjunto compacto de G , entonces un vector unitario ξ en H se denomina vector (ε, K )-invariante si

${\displaystyle \forall g\in K\ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .}$

Las siguientes condiciones sobre G son todas equivalentes a que G tenga la propiedad (T) de Kazhdan , y cualquiera de ellas puede usarse como definición de la propiedad (T).

(1) La representación trivial es un punto aislado del dual unitario de G con topología de Fell .

(2) Cualquier secuencia de funciones definidas positivas continuas en G que convergen a 1 uniformemente en subconjuntos compactos , converge a 1 uniformemente en G.

(3) Toda representación unitaria de G que tiene un vector unitario (ε, K )-invariante para cualquier ε > 0 y cualquier subconjunto compacto K , tiene un vector invariante distinto de cero.

(4) Existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que toda representación unitaria de G que tiene un vector unitario (ε, K )-invariante, tiene un vector invariante distinto de cero.

(5) Toda acción isométrica afín continua de G sobre un espacio de Hilbert real tiene un punto fijo ( propiedad (FH) ).

Si H es un subgrupo cerrado de G , se dice que el par ( G , H ) tiene propiedad relativa (T) de Margulis si existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que siempre que una representación unitaria de G tiene un vector unitario (ε, K )-invariante, entonces tiene un vector distinto de cero fijado por H .

Discusión

La definición (4) evidentemente implica la definición (3). Para demostrar lo contrario, sea G un grupo localmente compacto que satisface (3), supongamos por contradicción que para cada K y ε hay una representación unitaria que tiene un vector unitario ( K ​​, ε )-invariante y no tiene un vector invariante. Observe la suma directa de todas esas representaciones y eso negará (4).

La equivalencia de (4) y (5) (Propiedad (FH)) es el teorema de Delorme-Guichardet. El hecho de que (5) implique (4) requiere la suposición de que G es σ-compacto (y localmente compacto) (Bekka et al., Teorema 2.12.4).

Propiedades generales

• La propiedad (T) se conserva bajo cocientes: si G tiene la propiedad (T) y H es un grupo cociente de G , entonces H tiene la propiedad (T). De manera equivalente, si una imagen homomórfica de un grupo G no tiene la propiedad (T), entonces G en sí mismo no tiene la propiedad (T).
• Si G tiene la propiedad (T) entonces G /[ G , G ] es compacto.
• Cualquier grupo discreto contable con la propiedad (T) se genera finitamente.
• Un grupo susceptible que tiene la propiedad (T) es necesariamente compacto . La aptitud y la propiedad (T) son, en un sentido general, opuestas: hacen que sea fácil o difícil encontrar vectores casi invariantes.
• Teorema de Kazhdan : si Γ es una red en un grupo de Lie G, entonces Γ tiene la propiedad (T) si y solo si G tiene la propiedad (T). Por lo tanto, para n ≥ 3, el grupo lineal especial SL( n , Z ) tiene la propiedad (T).

Ejemplos

• Los grupos topológicos compactos tienen la propiedad (T). En particular, el grupo circular , el grupo aditivo Z _p de números enteros p -ádicos, los grupos unitarios especiales compactos SU( n ) y todos los grupos finitos tienen la propiedad (T).
• Los grupos de Lie reales simples de rango real al menos dos tienen la propiedad (T). Esta familia de grupos incluye los grupos lineales especiales SL( n , R ) para n ≥ 3 y los grupos ortogonales especiales SO( p , q ) para p > q ≥ 2 y SO( p , p ) para p ≥ 3. De manera más general, esto se cumple para grupos algebraicos simples de rango al menos dos sobre un cuerpo local .
• Los pares ( R ⁿ ⋊ SL( n , R ), R ⁿ ) y ( Z ⁿ ⋊ SL( n , Z ), Z ⁿ ) tienen propiedad relativa (T) para n ≥ 2.
• Para n ≥ 2, el grupo de Lie no compacto Sp( n , 1) de isometrías de una forma hermítica cuaterniónica de signatura ( n ,1) es un grupo de Lie simple de rango real 1 que tiene la propiedad (T). Por el teorema de Kazhdan, las redes en este grupo tienen la propiedad (T). Esta construcción es significativa porque estas redes son grupos hiperbólicos ; por lo tanto, hay grupos que son hiperbólicos y tienen la propiedad (T). Ejemplos explícitos de grupos en esta categoría son proporcionados por redes aritméticas en Sp( n , 1) y ciertos grupos de reflexión cuaterniónicos .

Ejemplos de grupos que no tienen la propiedad (T) incluyen

• Los grupos aditivos de los números enteros Z , de los números reales R y de los números p -ádicos Q _p .
• Los grupos lineales especiales SL(2, Z ) y SL(2, R ), como resultado de la existencia de representaciones en series complementarias cercanas a la representación trivial, aunque SL(2, Z ) tiene la propiedad (τ) con respecto a los subgrupos de congruencia principal, por el teorema de Selberg.
• Grupos resolubles no compactos .
• Grupos libres no triviales y grupos abelianos libres .

Grupos discretos

Históricamente, la propiedad (T) se estableció para grupos discretos Γ al incorporarlos como redes en grupos de Lie reales o p-ádicos con la propiedad (T). Actualmente, hay varios métodos directos disponibles.

• El método algebraico de Shalom se aplica cuando Γ = SL( n , R ) con R un anillo y n ≥ 3; el método se basa en el hecho de que Γ puede generarse de forma acotada , es decir, puede expresarse como un producto finito de subgrupos más sencillos, como los subgrupos elementales que consisten en matrices que difieren de la matriz identidad en una posición dada fuera de la diagonal.
• El método geométrico tiene su origen en las ideas de Garland, Gromov y Pierre Pansu . Su versión combinatoria más simple se debe a Zuk: sea Γ un grupo discreto generado por un subconjunto finito S , cerrado bajo la forma de inversas y que no contiene la identidad, y definamos un grafo finito con vértices S y una arista entre g y h siempre que g ⁻¹ h se encuentre en S. Si este grafo es conexo y el valor propio más pequeño no nulo del laplaciano del paseo aleatorio simple correspondiente es mayor que ⁠1/2⁠ , entonces Γ tiene la propiedad (T). Una versión geométrica más general, debida a Zuk y Ballmann & Swiatkowski (1997), establece que si un grupo discreto Γ actúa de manera discontinua y cocompacta sobre un complejo simplicial bidimensional contráctil con las mismas condiciones de teoría de grafos colocadas sobre el enlace en cada vértice, entonces Γ tiene la propiedad (T). Se pueden exhibir muchos ejemplos nuevos de grupos hiperbólicos con la propiedad (T) utilizando este método.
• El método asistido por computadora se basa en una sugerencia de Narutaka Ozawa y ha sido implementado con éxito por varios investigadores. Se basa en la caracterización algebraica de la propiedad (T) en términos de una desigualdad en el álgebra de grupos reales , para la cual se puede encontrar una solución resolviendo numéricamente un problema de programación semidefinida en una computadora. Cabe destacar que este método ha confirmado la propiedad (T) para el grupo de automorfismos del grupo libre de rango al menos 5. No se conoce ninguna prueba humana para este resultado.

Aplicaciones

• Grigory Margulis utilizó el hecho de que SL( n , Z ) (para n ≥ 3) tiene la propiedad (T) para construir familias explícitas de grafos en expansión , es decir, grafos con la propiedad de que cada subconjunto tiene un "límite" uniformemente grande. Esta conexión condujo a una serie de estudios recientes que dieron una estimación explícita de las constantes de Kazhdan , cuantificando la propiedad (T) para un grupo particular y un conjunto generador.
• Alain Connes utilizó grupos discretos con propiedad (T) para encontrar ejemplos de factores de tipo II ₁ con grupo fundamental contable , por lo que en particular no todos los reales positivos . Sorin Popa utilizó posteriormente la propiedad relativa (T) para grupos discretos para producir un factor de tipo II ₁ con grupo fundamental trivial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• Los grupos con propiedad (T) también tienen la propiedad de Serre FA . ^[1]
• Toshikazu Sunada observó que la positividad del extremo inferior del espectro de un laplaciano "retorcido" en una variedad cerrada está relacionada con la propiedad (T) del grupo fundamental . ^[2] Esta observación produce el resultado de Brooks que dice que el extremo inferior del espectro del laplaciano en la variedad de recubrimiento universal sobre una variedad riemanniana cerrada M es igual a cero si y solo si el grupo fundamental de M es susceptible . ^[3]

Referencias

1. Watatani, Yasuo (1981). "La propiedad T de Kazhdan implica la propiedad FA de Serre". Matemáticas. Japón . 27 : 97-103. SEÑOR  0649023. Zbl  0489.20022.
2. Sunada, Toshikazu (1989). "Representaciones unitarias de grupos fundamentales y el espectro de laplacianos retorcidos". Topología . 28 (2): 125–132. doi : 10.1016/0040-9383(89)90015-3 .
3. Brooks, Robert (1981). "El grupo fundamental y el espectro del laplaciano". Comentario. Math. Helv. 56 : 581–598. doi :10.1007/bf02566228.

• Ballmann, W.; Swiatkowski, J. (1997), "L ² -cohomología y propiedad (T) para grupos de automorfismo de complejos celulares poliédricos", GAFA , 7 (4): 615–645, CiteSeerX  10.1.1.56.8641 , doi :10.1007/s000390050022
• Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain (2008), Propiedad de Kazhdan (T) (PDF) , Nuevas monografías matemáticas, vol. 11, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-88720-5, Sr.  2415834
• de la Harpe, P.; Valette, A. (1989), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compactes (con un apéndice de M. Burger)", Astérisque , 175.
• Kazhdan, D. (1967), "Sobre la conexión del espacio dual de un grupo con la estructura de sus subgrupos cerrados", Análisis funcional y sus aplicaciones , 1 (1): 63–65, doi :10.1007/BF01075866Sr. 0209390
• Lubotzky , A. (1994), Grupos discretos, expansión de gráficos y medidas invariantes , Progress in Mathematics, vol. 125, Basilea: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
• Lubotzky , A. y A. Zuk, Sobre la propiedad (τ), monografía próxima a aparecer.
• Lubotzky , A. (2005), "¿Qué es la propiedad (τ)?" (PDF) , AMS Notices , 52 (6): 626–627.
• Shalom, Y. (2006), "La algebrización de la propiedad (T)" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos Madrid 2006
• Zuk, A. (1996), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres", CR Acad. Ciencia. París , 323 : 453–458.
• Zuk, A. (2003), "Propiedad (T) y constantes de Kazhdan para grupos discretos", GAFA , 13 (3): 643–670, doi :10.1007/s00039-003-0425-8.