Matemáticas experimentales

Las matemáticas experimentales son un enfoque de las matemáticas en el que la computación se utiliza para investigar objetos matemáticos e identificar propiedades y patrones. ^[1] Se ha definido como "esa rama de las matemáticas que se ocupa en última instancia de la codificación y transmisión de conocimientos dentro de la comunidad matemática mediante el uso de la exploración experimental (en el sentido galileano, baconiano, aristotélico o kantiano) de conjeturas y creencias más informales y un análisis cuidadoso de los datos adquiridos en esta búsqueda". ^[2]

Como lo expresa Paul Halmos : "Las matemáticas no son una ciencia deductiva ; eso es un cliché. Cuando intentas demostrar un teorema, no solo enumeras las hipótesis y luego comienzas a razonar. Lo que haces es prueba y error , experimentación". , conjeturas. Quieres descubrir cuáles son los hechos, y lo que haces es en ese sentido similar a lo que hace un técnico de laboratorio". ^[3]

Historia

Los matemáticos siempre han practicado la matemática experimental. Los registros existentes de las primeras matemáticas, como las matemáticas babilónicas , normalmente consisten en listas de ejemplos numéricos que ilustran identidades algebraicas. Sin embargo, las matemáticas modernas, a partir del siglo XVII, desarrollaron una tradición de publicar los resultados en una presentación final, formal y abstracta. Los ejemplos numéricos que pudieron haber llevado a un matemático a formular originalmente un teorema general no se publicaron y, en general, fueron olvidados.

Las matemáticas experimentales como área de estudio separada resurgieron en el siglo XX, cuando la invención de la computadora electrónica aumentó enormemente la gama de cálculos factibles, con una velocidad y precisión mucho mayores que cualquier cosa disponible para las generaciones anteriores de matemáticos. Un hito y logro significativo de las matemáticas experimentales fue el descubrimiento en 1995 de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para los dígitos binarios de π . Esta fórmula no se descubrió mediante un razonamiento formal, sino mediante búsquedas numéricas en una computadora; sólo después se encontró una prueba rigurosa . ^[4]

Objetivos y usos

Los objetivos de las matemáticas experimentales son "generar comprensión y conocimiento; generar y confirmar o confrontar conjeturas; y, en general, hacer que las matemáticas sean más tangibles, animadas y divertidas tanto para el investigador profesional como para el novato". ^[5]

Los usos de las matemáticas experimentales se han definido de la siguiente manera: ^[6]

Adquirir conocimiento e intuición.
Descubrir nuevos patrones y relaciones.
Usar presentaciones gráficas para sugerir principios matemáticos subyacentes.
Probar y especialmente falsar conjeturas.
Explorar un posible resultado para ver si vale la pena una prueba formal.
Sugerir enfoques para la prueba formal.
Reemplazar largas derivaciones manuales con derivaciones basadas en computadora.
Confirmar los resultados obtenidos analíticamente.

Herramientas y técnicas

Las matemáticas experimentales utilizan métodos numéricos para calcular valores aproximados de integrales y series infinitas . A menudo se utiliza aritmética de precisión arbitraria para establecer estos valores con un alto grado de precisión, normalmente 100 cifras significativas o más. Luego se utilizan algoritmos de relación de enteros para buscar relaciones entre estos valores y constantes matemáticas . Trabajar con valores de alta precisión reduce la posibilidad de confundir una coincidencia matemática con una relación verdadera. Entonces se buscará una prueba formal de una relación conjeturada; a menudo es más fácil encontrar una prueba formal una vez que se conoce la forma de una relación conjeturada.

Si se busca un contraejemplo o se intenta una prueba por agotamiento a gran escala, se pueden utilizar técnicas de computación distribuida para dividir los cálculos entre varias computadoras.

Se hace un uso frecuente de software matemático general o software de dominio específico escrito para atacar problemas que requieren alta eficiencia. El software matemático experimental suele incluir mecanismos de detección y corrección de errores , comprobaciones de integridad y cálculos redundantes diseñados para minimizar la posibilidad de que los resultados sean invalidados por un error de hardware o software.

Aplicaciones y ejemplos

Las aplicaciones y ejemplos de matemáticas experimentales incluyen:

Buscando un contraejemplo a una conjetura
- Roger Frye utilizó técnicas matemáticas experimentales para encontrar el contraejemplo más pequeño de la conjetura de la suma de potencias de Euler .
- El proyecto ZetaGrid se creó para buscar un contraejemplo a la hipótesis de Riemann .
- Tomás Oliveira e Silva ^[7] buscó un contraejemplo a la conjetura de Collatz .
Encontrar nuevos ejemplos de números u objetos con propiedades particulares.
- La gran búsqueda de Mersenne Prime en Internet busca nuevos números primos de Mersenne .
- La Gran Búsqueda de Caminos Periódicos busca nuevos caminos periódicos.
- El proyecto OGR de Distributed.net buscó gobernantes Golomb óptimos .
- El proyecto PrimeGrid busca los números más pequeños de Riesel y Sierpiński .
Encontrar patrones numéricos fortuitos
- Edward Lorenz encontró el atractor de Lorenz , un ejemplo temprano de un sistema dinámico caótico , investigando comportamientos anómalos en un modelo meteorológico numérico.
- La espiral de Ulam fue descubierta por accidente.
- El patrón en los números de Ulam fue descubierto por accidente.
- El descubrimiento de Mitchell Feigenbaum de la constante de Feigenbaum se basó inicialmente en observaciones numéricas, seguidas de una prueba rigurosa.
Uso de programas informáticos para comprobar un número grande pero finito de casos para completar una prueba por agotamiento asistida por ordenador.
- La prueba de Thomas Hales de la conjetura de Kepler .
- Varias pruebas del teorema de los cuatro colores .
- La prueba de Clement Lam de la inexistencia de un plano proyectivo finito de orden 10. ^[8]
- Gary McGuire demostró que un Sudoku mínimo con solución única requiere 17 pistas. ^[9]
Validación simbólica (mediante álgebra informática ) de conjeturas para motivar la búsqueda de una prueba analítica.
- Se encontraron soluciones a un caso especial del problema cuántico de los tres cuerpos conocido como ion-molécula de hidrógeno en conjuntos de bases estándar de química cuántica antes de darse cuenta de que todos conducen a la misma solución analítica única en términos de una generalización de la función W de Lambert . Relacionado con este trabajo está el aislamiento de un vínculo previamente desconocido entre la teoría de la gravedad y la mecánica cuántica en dimensiones inferiores (ver gravedad cuántica y las referencias allí).
- En el ámbito de la mecánica relativista de muchos cuerpos , concretamente en la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo : se demostró la equivalencia entre un potencial avanzado de Liénard-Wiechert de la partícula j que actúa sobre la partícula i y el potencial correspondiente de la partícula i que actúa sobre la partícula j. ordenar exhaustivamente antes de ser demostrado matemáticamente. La teoría de Wheeler-Feynman ha recuperado interés debido a la no localidad cuántica . $1/c^{10}$
- En el ámbito de la óptica lineal, verificación de la expansión en serie de la envolvente del campo eléctrico para pulsos de luz ultracortos que viajan en medios no isotrópicos . Las ampliaciones anteriores habían sido incompletas: el resultado reveló un término adicional justificado mediante experimentos.
Evaluación de series infinitas , productos infinitos e integrales (ver también integración simbólica ), típicamente realizando un cálculo numérico de alta precisión y luego usando un algoritmo de relación de enteros (como la Calculadora Simbólica Inversa ) para encontrar una combinación lineal de constantes matemáticas que coincide con este valor. Por ejemplo, Enrico Au-Yeung, un estudiante de Jonathan Borwein , redescubrió la siguiente identidad utilizando búsqueda por computadora y algoritmo PSLQ en 1993: ^[10]^[11]

{\begin{aligned}\sum _ {k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2} }+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}} .\end{alineado}}

Investigaciones visuales
- En Las Perlas de Indra , David Mumford y otros investigaron varias propiedades de la transformación de Möbius y el grupo Schottky utilizando imágenes de los grupos generadas por computadora que: proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y señuelos para una mayor exploración . ^[12]

Ejemplos plausibles pero falsos

Algunas relaciones plausibles tienen un alto grado de precisión, pero aún no son ciertas. Un ejemplo es:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right) \mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.

Los dos lados de esta expresión en realidad difieren después del 42º decimal. ^[13]

Otro ejemplo es que la altura máxima (valor absoluto máximo de los coeficientes) de todos los factores de x ⁿ − 1 parece ser la misma que la altura del enésimo polinomio ciclotómico . La computadora demostró que esto era cierto para n < 10000 y se esperaba que fuera cierto para todos los n . Sin embargo, una búsqueda por computadora más amplia mostró que esta igualdad no se cumple para n = 14235, cuando la altura del n -ésimo polinomio ciclotómico es 2, pero la altura máxima de los factores es 3. ^[14]

Practicantes

Los siguientes matemáticos e informáticos han hecho contribuciones significativas al campo de las matemáticas experimentales:

Ver también

Referencias

^ Weisstein, Eric W. "Matemáticas experimentales". MundoMatemático .
^ Matemáticas experimentales: una discusión archivada el 21 de enero de 2008 en Wayback Machine por J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn y S. Parnes
^ Quiero ser matemático: una automatización (1985), p. 321 (en reimpresión de 2013)
↑ La búsqueda de Pi Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine por David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Peter B. Borwein y Simon Plouffe .
^ Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matemáticas por experimento: razonamiento plausible en el siglo XXI . AK Peters. págs. vii. ISBN 978-1-56881-211-3.
^ Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matemáticas por experimento: razonamiento plausible en el siglo XXI . AK Peters. pag. 2.ISBN 978-1-56881-211-3.
^ Silva, Tomás (28 de diciembre de 2015). "Verificación computacional de la conjetura 3x+1". Instituto de Ingeniería Electrónica e Informática de Aveiro . Archivado desde el original el 18 de marzo de 2013.
^ Clemente WH Lam (1991). "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10". Mensual Matemático Estadounidense . 98 (4): 305–318. doi :10.2307/2323798. JSTOR 2323798.
^ arXiv, Tecnología emergente del. "Los matemáticos resuelven el problema mínimo del Sudoku". Revisión de tecnología del MIT . Consultado el 27 de noviembre de 2017 .
^ Bailey, David (1997). "Nuevas fórmulas matemáticas descubiertas con supercomputadoras" (PDF) . Noticias de la NAS . 2 (24).
^ HF Sandham y Martin Kneser, The American Math Monthly, Problema avanzado 4305, vol. 57, núm. 4 (abril de 1950), págs. 267-268
^ Mumford, David; Serie, Carolina; Wright, David (2002). Las perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Cambridge. págs. viii. ISBN 978-0-521-35253-6.
^ David H. Bailey y Jonathan M. Borwein, Perspectivas futuras de las matemáticas asistidas por computadora Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine , diciembre de 2005
^ La altura de Φ ₄₇₄₅ es 3 y 14235 = 3 x 4745. Ver secuencias de Sloane OEIS : A137979 y OEIS : A160338 .

enlaces externos

Matemáticas experimentales (revista)
Centro de Matemáticas Experimentales y Constructivas (CECM) de la Universidad Simon Fraser
Grupo Colaborativo de Investigación en Educación Matemática de la Universidad de Southampton
Reconocimiento de constantes numéricas por David H. Bailey y Simon Plouffe
Psicología de la Matemática Experimental
Sitio web de Matemática Experimental (Enlaces y recursos)
Sitio web de la Gran Búsqueda del Camino Periódico (Enlaces y recursos)
Un algoritmo para todas las épocas: PSLQ, una mejor manera de encontrar relaciones enteras (enlace alternativo archivado el 13 de febrero de 2021 en Wayback Machine )
Teoría de la información algorítmica experimental
Problemas de muestra de matemáticas experimentales por David H. Bailey y Jonathan M. Borwein
Diez problemas en matemáticas experimentales Archivado el 10 de junio de 2011 en Wayback Machine por David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Vishaal Kapoor y Eric W. Weisstein.
Instituto de Matemáticas Experimentales Archivado el 10 de febrero de 2015 en la Wayback Machine de la Universidad de Duisburg-Essen.