Modus ponens

Regla de inferencia lógica

En lógica proposicional , modus ponens ( / ˈmoʊdəsˈpoʊnɛnz / ; MP ) , también conocido como modus ponendo ponens ( del latín '  método de poner colocando'), [ ^1] eliminación de implicación , o afirmación del antecedente , ^[2] es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia . ^[3] Se puede resumir como " P implica Q. P es verdadera . Por lo tanto, Q también debe ser verdadera".

El modus ponens es un silogismo hipotético mixto y está estrechamente relacionado con otra forma válida de argumentación, el modus tollens . Ambos tienen formas aparentemente similares pero inválidas: afirmar el consecuente y negar el antecedente . El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens .

La historia del modus ponens se remonta a la antigüedad . ^[4] El primero en describir explícitamente la forma argumental modus ponens fue Teofrasto . ^[5] Junto con el modus tollens , es uno de los patrones estándar de inferencia que se pueden aplicar para derivar cadenas de conclusiones que conduzcan al objetivo deseado.

Explicación

La forma de un argumento modus ponens es un silogismo hipotético mixto , con dos premisas y una conclusión:

1. Si P , entonces Q .
2. PAG .
3. Por lo tanto, Q .

La primera premisa es una afirmación condicional ("si-entonces"), a saber, que P implica Q . La segunda premisa es una afirmación de que P , el antecedente de la afirmación condicional, es el caso. De estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q , el consecuente de la afirmación condicional, también debe ser el caso.

Un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma modus ponens :

1. Si hoy es martes, entonces Juan irá a trabajar.
2. Hoy es martes.
3. Por lo tanto, Juan irá a trabajar.

Este argumento es válido , pero esto no tiene relación con si alguna de las afirmaciones en el argumento es realmente verdadera ; para que el modus ponens sea un argumento sólido , las premisas deben ser verdaderas para cualquier instancia verdadera de la conclusión. Un argumento puede ser válido pero, sin embargo, incorrecto si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. Por ejemplo, John podría ir a trabajar el miércoles. En este caso, el razonamiento para que John vaya a trabajar (porque es miércoles) es incorrecto. El argumento solo es sólido los martes (cuando John va a trabajar), pero válido todos los días de la semana. Un argumento proposicional que utiliza el modus ponens se dice que es deductivo .

En los cálculos secuenciales de conclusión simple , el modus ponens es la regla de Corte. El teorema de eliminación de corte para un cálculo dice que toda prueba que involucre Corte puede transformarse (generalmente, mediante un método constructivo) en una prueba sin Corte y, por lo tanto, que Corte es admisible .

La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens con la aplicación de funciones : si f es una función de tipo P → Q y x es de tipo P , entonces fx es de tipo Q .

En inteligencia artificial , el modus ponens a menudo se denomina encadenamiento hacia adelante .

Notación formal

La regla del modus ponens puede escribirse en notación secuencial como

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

donde P , Q y P → Q son enunciados (o proposiciones) en un lenguaje formal y ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P y P → Q en algún sistema lógico .

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente mediante el uso de una tabla de verdad .

En los casos de modus ponens asumimos como premisas que p → q es verdadero y p es verdadero. Solo una línea de la tabla de verdad, la primera, satisface estas dos condiciones ( p y p → q ). En esta línea, q también es verdadero. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadero y p sea verdadero, q también debe ser verdadero.

Estado

Aunque el modus ponens es una de las formas de argumentación más utilizadas en lógica, no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución". ^[6] El modus ponens permite eliminar un enunciado condicional de una prueba o argumento lógico (los antecedentes) y, por lo tanto, no llevar estos antecedentes hacia adelante en una cadena de símbolos cada vez más larga; por esta razón, el modus ponens a veces se denomina la regla de desprendimiento ^[7] o la ley del desprendimiento . ^[8] Enderton, por ejemplo, observa que "el modus ponens puede producir fórmulas más cortas a partir de fórmulas más largas", ^[9] y Russell observa que "el proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de ⊦q [el consecuente] ... una inferencia es la eliminación de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación". ^[10]

Una justificación para la “confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores [los antecedentes] no son erróneas, la afirmación final [el consecuente] no es errónea”. ^[10] En otras palabras: si una afirmación o proposición implica una segunda, y la primera afirmación o proposición es verdadera, entonces la segunda también es verdadera. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera. ^[11]

Correspondencia con otros marcos matemáticos

Semántica algebraica

En lógica matemática, la semántica algebraica trata cada oración como un nombre para un elemento en un conjunto ordenado. Normalmente, el conjunto puede visualizarse como una estructura en forma de red con un solo elemento (el "siempre verdadero") en la parte superior y otro solo elemento (el "siempre falso") en la parte inferior. La equivalencia lógica se convierte en identidad, de modo que cuando y , por ejemplo, son equivalentes (como es estándar), entonces . La implicación lógica se convierte en una cuestión de posición relativa: implica lógicamente solo en caso de que , es decir, cuando o bien se encuentra debajo y está conectado a él por un camino ascendente. ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}}$ ${\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leq Q}$ ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

En este contexto, decir que y juntos implican —es decir, afirmar que el modus ponens es válido— es decir que el punto más alto que se encuentra por debajo de ambos y se encuentra por debajo de , es decir, que . ^[a] En la semántica para la lógica proposicional básica, el álgebra es booleana , con interpretada como el condicional material : . Confirmar que es entonces sencillo, porque y . Con otros tratamientos de , la semántica se vuelve más compleja, el álgebra puede no ser booleana y la validez del modus ponens no se puede dar por sentada. ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q}$ ${\displaystyle P\wedge Q\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Cálculo de probabilidad

Si y , entonces debe estar en el intervalo . ^{[b] [12]} Para el caso especial , debe ser igual a . ${\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x}$ ${\displaystyle \Pr(P)=y}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle [x+y-1,x]}$ ${\displaystyle x=y=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle 1}$

Lógica subjetiva

El modus ponens representa una instancia del operador de deducción binomial en lógica subjetiva expresado como:

$${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}$$

donde denota la opinión subjetiva sobre tal como se expresa en la fuente , y la opinión condicional generaliza la implicación lógica . La opinión marginal deducida sobre se denota por . El caso donde es una opinión absolutamente VERDADERA sobre es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERA, y el caso donde es una opinión absolutamente FALSA sobre es equivalente a que la fuente diga que es FALSA. El operador de deducción de la lógica subjetiva produce una opinión deducida absolutamente VERDADERA cuando la opinión condicional es absolutamente VERDADERA y la opinión antecedente es absolutamente VERDADERA. Por lo tanto, la deducción de la lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus ponens como de la Ley de probabilidad total . ^[13] ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circledcirc }$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$

Presuntos casos de fracaso

Los filósofos y lingüistas han identificado una variedad de casos en los que el modus ponens parece fallar. Vann McGee, por ejemplo, sostuvo que el modus ponens puede fallar en el caso de condicionales cuyos consecuentes son en sí mismos condicionales. ^[14] El siguiente es un ejemplo:

1. Hamlet fue escrito por Shakespeare o por Hobbes .
2. Si Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet , entonces si Shakespeare no lo hizo, lo hizo Hobbes.
3. Por lo tanto, si Shakespeare no escribió Hamlet , lo hizo Hobbes.

Dado que Shakespeare escribió Hamlet , la primera premisa es verdadera. La segunda premisa también es verdadera, ya que al comenzar con un conjunto de posibles autores limitado a Shakespeare y Hobbes y eliminar uno de ellos, queda solo el otro. Sin embargo, la conclusión es dudosa, ya que descartar a Shakespeare como autor de Hamlet dejaría numerosos candidatos posibles, muchos de ellos alternativas más plausibles que Hobbes (si los si-entonces en la inferencia se leen como condicionales materiales, la conclusión resulta verdadera simplemente en virtud del antecedente falso. Esta es una de las paradojas de la implicación material ).

La forma general de los contraejemplos del tipo McGee al modus ponens es simplemente ; por lo tanto, ; no es esencial que sea una disyunción, como en el ejemplo dado. Que este tipo de casos constituyen fallas del modus ponens sigue siendo una opinión controvertida entre los lógicos, pero las opiniones varían sobre cómo se deben resolver los casos. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$ ${\displaystyle Q\rightarrow R}$ ${\displaystyle P}$

En la lógica deóntica , algunos ejemplos de obligación condicional también plantean la posibilidad de un fallo del modus ponens . Se trata de casos en los que la premisa condicional describe una obligación basada en una acción inmoral o imprudente, por ejemplo, "Si Doe asesina a su madre, debe hacerlo con delicadeza", para lo cual la dudosa conclusión incondicional sería "Doe debe asesinar con delicadeza a su madre". ^[18] Parecería seguir que si Doe está de hecho asesinando con delicadeza a su madre, entonces, por modus ponens, está haciendo exactamente lo que debería, incondicionalmente, estar haciendo. Aquí también, el fallo del modus ponens no es un diagnóstico popular, pero a veces se argumenta a favor. ^[19]

Posibles falacias

La falacia de afirmar el consecuente es una interpretación errónea común del modus ponens . ^[20]

Véase también

• Desprendimiento condensado
• Importación-exportación (lógica)  – Principio de la lógica clásicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Frases en latín
• Modus tollens  – Regla de inferencia lógica
• Modus vivendi  – Acuerdo que permite a las partes en conflicto coexistir en paz
• Lógica estoica  – Sistema de lógica proposicional desarrollado por los filósofos estoicos
• Lo que la tortuga le dijo a Aquiles  – Diálogo alegórico de Lewis Carroll, 1895

Notas

1. El punto más alto que se encuentra debajo de ambos y es el " encuentro " de y , denotado por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$
2. Dado que implica , siempre debe ser mayor o igual que , y por lo tanto será mayor o igual que . Y dado que siempre debe ser menor o igual que , siempre debe ser menor o igual que . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-y}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle x}$

Referencias

1. Stone, Jon R. (1996). Latín para analfabetos: exorcizar los fantasmas de una lengua muerta . Londres: Routledge. pág. 60. ISBN. 0-415-91775-1.
2. "Referencia de Oxford: afirmando el antecedente". Referencia de Oxford .
3. Enderton 2001:110
4. Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad", Phronesis 47, No. 4, 2002.
5. "Lógica antigua: precursores del modus ponens y del modus tollens". Stanford Encyclopedia of Philosophy .
6. Alfred Tarski 1946:47. También Enderton 2001:110 y siguientes.
7. Tarski 1946:47
8. "Modus ponens - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 5 de abril de 2018 .
9. Enderton 2001:111
10. Whitehead y Russell 1927:9
11. Jago, Mark (2007). Lógica formal . Humanities-Ebooks LLP. ISBN 978-1-84760-041-7.
12. Hailperin, Theodore (1996). Lógica de probabilidad oracional: orígenes, desarrollo, estado actual y aplicaciones técnicas . Londres: Associated University Press. pág. 203. ISBN. 0934223459.
13. Audun Jøsang 2016:92
14. Vann McGee (1985). "Un contraejemplo del modus ponens", The Journal of Philosophy 82, 462–471.
15. Sinnott-Armstrong, Moor y Fogelin (1986). "Una defensa del Modus Ponens", The Journal of Philosophy 83, 296–300.
16. DE Over (1987). "Supuestos contraejemplos del modus ponens", Análisis 47, 142-146.
17. Bledin (2015). "Defensa del modus ponens", The Journal of Philosophy 112, 462–471.
18. "Lógica deóntica". 21 de abril de 2010. Consultado el 30 de enero de 2020 . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
19. Por ejemplo, Kolodny y MacFarlane (2010). "Ifs and Oughts", The Journal of Philosophy 107, 115-143.
20. "Falacias | Enciclopedia de Filosofía en Internet". iep.utm.edu . Consultado el 6 de marzo de 2020 .

Fuentes

• Herbert B. Enderton, 2001, Una introducción matemática a la lógica segunda edición , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3 . 
• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva: un formalismo para razonar bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Second Edition) edición de bolsillo 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Reino Unido. Sin ISBN, sin LCCCN.
• Alfred Tarski 1946 Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas 2.ª edición, reimpreso por Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). 

Enlaces externos

• "Modus ponens", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Modus ponens en PhilPapers
• Modus ponens en Wolfram MathWorld