La fórmula de Faulhaber

Expresión para sumas de potencias

En matemáticas , la fórmula de Faulhaber , llamada así por el matemático de principios del siglo XVII Johann Faulhaber , expresa la suma de las potencias p -ésimas de los primeros n números enteros positivos como un polinomio en  n . En notación moderna, la fórmula de Faulhaber es Aquí, es el coeficiente binomial " p  + 1 choose r ", y los B _j son los números de Bernoulli con la convención de que . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{r=0}^{p}{\binom {p+1}{r}}B_{r}n^{p-r+1}.}$$ ${\textstyle {\binom {p+1}{r}}}$ ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$

El resultado: la fórmula de Faulhaber

La fórmula de Faulhaber trata de expresar la suma de las p -ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos como una función  polinomial de ( p  + 1)ésimo grado de n . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$

Los primeros ejemplos son bien conocidos. Para p  = 0, tenemos Para p  = 1, tenemos los números triangulares Para p  = 2, tenemos los números piramidales cuadrados $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{0}=\sum _{k=1}^{n}1=n.}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}(n^{2}+n).}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {1}{3}}(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n).}$$

Los coeficientes de la fórmula de Faulhaber en su forma general involucran los números de Bernoulli B _j . Los números de Bernoulli comienzan donde aquí usamos la convención de que . Los números de Bernoulli tienen varias definiciones (ver Número de Bernoulli#Definiciones ), como que son los coeficientes de la función generadora exponencial $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1&B_{1}&={\tfrac {1}{2}}&B_{2}&={\tfrac {1}{6}}&B_{3}&=0\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{30}}&B_{5}&=0&B_{6}&={\tfrac {1}{42}}&B_{7}&=0,\end{aligned}}}$$ ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {t}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Entonces la fórmula de Faulhaber es que Aquí, los B _j son los números de Bernoulli como arriba, y es el coeficiente binomial " p  + 1 elija k ". $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}n^{p-k+1}.}$$ $${\displaystyle {\binom {p+1}{k}}={\frac {(p+1)!}{(p+1-k)!\,k!}}={\frac {(p+1)p(p-1)\cdots (p-k+3)(p-k+2)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}}$$

Ejemplos

Así, por ejemplo, se tiene para p = 4 , $${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {1}{5}}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}\\&={\frac {1}{5}}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {5}{3}}n^{3}-{\tfrac {1}{6}}n\right).\end{aligned}}}$$

Los primeros siete ejemplos de la fórmula de Faulhaber son $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\frac {1}{1}}\,{\big (}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\frac {1}{2}}\,{\big (}n^{2}+{\tfrac {2}{2}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {1}{3}}\,{\big (}n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {3}{6}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\frac {1}{4}}\,{\big (}n^{4}+{\tfrac {4}{2}}n^{3}+{\tfrac {6}{6}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&={\frac {1}{5}}\,{\big (}n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {10}{6}}n^{3}+0n^{2}-{\tfrac {5}{30}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {1}{6}}\,{\big (}n^{6}+{\tfrac {6}{2}}n^{5}+{\tfrac {15}{6}}n^{4}+0n^{3}-{\tfrac {15}{30}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\frac {1}{7}}\,{\big (}n^{7}+{\tfrac {7}{2}}n^{6}+{\tfrac {21}{6}}n^{5}+0n^{4}-{\tfrac {35}{30}}n^{3}+0n^{2}+{\tfrac {7}{42}}n{\big )}.\end{aligned}}}$$

Historia

Periodo antiguo

La historia del problema comienza en la antigüedad y coincide con la de algunos de sus casos especiales. El caso coincide con el del cálculo de la serie aritmética, la suma de los primeros valores de una progresión aritmética . Este problema es bastante sencillo pero resulta históricamente interesante el caso ya conocido por la escuela pitagórica por su conexión con los números triangulares : ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n,}$  polinomio que calcula la suma de los primeros números naturales. ${\displaystyle S_{1,1}^{1}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Los primeros casos encontrados en la historia de las matemáticas son: ${\displaystyle m>1,}$

${\displaystyle 1+3+\dots +2n-1=n^{2},}$  Polinomio que calcula la suma de los primeros números impares sucesivos que forman un cuadrado. Propiedad probablemente bien conocida por los mismos pitagóricos, quienes, al construir sus números figurados, debían sumar cada vez un gnomon formado por un número impar de puntos para obtener el siguiente cuadrado perfecto . ${\displaystyle S_{1,2}^{1}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n,}$  polinomio que calcula la suma de los cuadrados de los números enteros sucesivos. Propiedad que se demuestra en Espirales , una obra de Arquímedes . ^[1] ${\displaystyle S_{1,1}^{2}(n)}$

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2},}$  polinomio que calcula la suma de los cubos de los números enteros sucesivos. Corolario de un teorema de Nicómaco de Gerasa . ^[1] ${\displaystyle S_{1,1}^{3}(n)}$

El conjunto de casos al que pertenecen los dos polinomios anteriores constituye el problema clásico de potencias de números enteros sucesivos. ${\displaystyle S_{1,1}^{m}(n)}$

Periodo medio

Con el tiempo, muchos otros matemáticos se interesaron por el problema e hicieron diversas contribuciones a su solución. Entre ellos destacan Aryabhata , Al-Karaji , Ibn al-Haytham , Thomas Harriot , Johann Faulhaber , Pierre de Fermat y Blaise Pascal quienes resolvieron recursivamente el problema de la suma de potencias de números enteros sucesivos considerando una identidad que permitía obtener un polinomio de grado ya conociendo los anteriores. ^[1] ${\displaystyle m+1}$

La fórmula de Faulhaber también se denomina fórmula de Bernoulli . Faulhaber no conocía las propiedades de los coeficientes descubiertos posteriormente por Bernoulli. Más bien, conocía al menos los primeros 17 casos, así como la existencia de los polinomios de Faulhaber para potencias impares que se describen a continuación. ^[2]

Summae Potestatum de Jakob Bernoulli , Ars Conjectandi , 1713

En 1713, Jacob Bernoulli publicó bajo el título Summae Potestatum una expresión de la suma de las p potencias de los n primeros números enteros como una función polinomial de grado ( p + 1 ) de  n , con coeficientes que involucran números B _j , ahora llamados números de Bernoulli :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+{1 \over p+1}\sum _{j=2}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.}$

Introduciendo también los dos primeros números de Bernoulli (que Bernoulli no hizo), la fórmula anterior se convierte en usando el número de Bernoulli de segundo tipo para el cual , o usando el número de Bernoulli de primer tipo para el cual $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},}$$ ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}^{-}n^{p+1-j},}$$ ${\textstyle B_{1}^{-}=-{\frac {1}{2}}.}$

La demostración rigurosa de estas fórmulas y la afirmación de Faulhaber de que tales fórmulas existirían para todas las potencias impares se produjo dos siglos después, cuando Carl Jacobi  (1834) se benefició del progreso del análisis matemático al desarrollar en series infinitas una función exponencial generadora de números de Bernoulli .

Periodo moderno

En 1982 AWF Edwards publica un artículo ^[3] en el que demuestra que la identidad de Pascal se puede expresar mediante matrices triangulares que contienen el triángulo de Pascal privado del 'último elemento de cada línea':

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0\\1&3&3&0&0\\1&4&6&4&0\\1&5&10&10&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\end{pmatrix}}}$^{[4] [5]}

El ejemplo está limitado por la elección de una matriz de quinto orden pero es fácilmente extensible a órdenes superiores. La ecuación puede escribirse como: y multiplicando los dos lados de la ecuación a la izquierda por , inversa de la matriz A, obtenemos lo que permite llegar directamente a los coeficientes polinómicos sin utilizar directamente los números de Bernoulli. Otros autores posteriores a Edwards que tratan varios aspectos del problema de la suma de potencias toman el camino matricial ^[6] y estudian aspectos del problema en sus artículos utilizando herramientas útiles como el vector de Vandermonde. ^[7] Otros investigadores continúan explorando a través de la ruta analítica tradicional ^[8] y generalizan el problema de la suma de números enteros sucesivos a cualquier progresión geométrica ^{[9] [10]} ${\displaystyle {\vec {N}}=A{\vec {S}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{-1}{\vec {N}}={\vec {S}}}$

Demostración con función generadora exponencial

Sea la suma considerada para números enteros $${\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p},}$$ ${\displaystyle p\geq 0.}$

Defina la siguiente función generadora exponencial con (inicialmente) indeterminada. Encontramos que esta es una función completa en de modo que puede tomarse como cualquier número complejo. ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle G(z,n)=\sum _{p=0}^{\infty }S_{p}(n){\frac {1}{p!}}z^{p}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{p=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p!}}(kz)^{p}=\sum _{k=1}^{n}e^{kz}=e^{z}\cdot {\frac {1-e^{nz}}{1-e^{z}}},\\=&{\frac {1-e^{nz}}{e^{-z}-1}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

A continuación recordamos la función generadora exponencial para los polinomios de Bernoulli donde denota el número de Bernoulli con la convención . Esto se puede convertir en una función generadora con la convención mediante la adición de al coeficiente de en cada ( no necesita cambiarse): Se sigue inmediatamente que para todo . ${\displaystyle B_{j}(x)}$ $${\displaystyle {\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}(x){\frac {z^{j}}{j!}},}$$ ${\displaystyle B_{j}=B_{j}(0)}$ ${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x^{j-1}}$ ${\displaystyle B_{j}(x)}$ ${\displaystyle B_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(x){\frac {z^{j}}{j!}}=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j-1}{\frac {z^{j}}{j!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }x^{j-1}{\frac {z^{j}}{(j-1)!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+ze^{zx}\\=&{\frac {ze^{zx}+ze^{z}e^{zx}-ze^{zx}}{e^{z}-1}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{1-e^{-z}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{p}(n)={\frac {B_{p+1}^{+}(n)-B_{p+1}^{+}(0)}{p+1}}}$$ ${\displaystyle p}$

Polinomios de Faulhaber

El término polinomios de Faulhaber es utilizado por algunos autores para referirse a otra secuencia polinómica relacionada con la dada anteriormente.

Faulhaber observó que si p es impar, entonces es una función polinómica de a . $${\displaystyle a=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}}$

Prueba sin palabras para p = 3 ^[11]

Para p  = 1, es claro que Para p  = 3, el resultado que se conoce como teorema de Nicómaco . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}=a.}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=a^{2}}$$

Además, tenemos (ver OEIS : A000537 , OEIS : A000539 , OEIS : A000541 , OEIS : A007487 , OEIS : A123095 ). $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {4a^{3}-a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{7}&={\frac {6a^{4}-4a^{3}+a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{9}&={\frac {16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2}}{5}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{11}&={\frac {16a^{6}-32a^{5}+34a^{4}-20a^{3}+5a^{2}}{3}}\end{aligned}}}$$

De manera más general, ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}={\frac {1}{2^{2m+2}(2m+2)}}\sum _{q=0}^{m}{\binom {2m+2}{2q}}(2-2^{2q})~B_{2q}~\left[(8a+1)^{m+1-q}-1\right].}$$

Algunos autores denominan polinomios de Faulhaber a los polinomios de a en el lado derecho de estas identidades . Estos polinomios son divisibles por a ² porque el número de Bernoulli B _j es 0 para j impar > 1 .

A la inversa, escribiendo para simplificar , tenemos y generalmente ${\displaystyle s_{j}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4a^{3}&=3s_{5}+s_{3}\\8a^{4}&=4s_{7}+4s_{5}\\16a^{5}&=5s_{9}+10s_{7}+s_{5}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle 2^{m-1}a^{m}=\sum _{j>0}{\binom {m}{2j-1}}s_{2m-2j+1}.}$$

Faulhaber también sabía que si la suma para una potencia impar está dada por entonces la suma para la potencia par justo debajo está dada por Nótese que el polinomio entre paréntesis es la derivada del polinomio anterior con respecto a a . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}=c_{1}a^{2}+c_{2}a^{3}+\cdots +c_{m}a^{m+1}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+{\frac {1}{2}}}{2m+1}}(2c_{1}a+3c_{2}a^{2}+\cdots +(m+1)c_{m}a^{m}).}$$

Como a  =  n ( n  + 1)/2, estas fórmulas muestran que para una potencia impar (mayor que 1), la suma es un polinomio en n que tiene factores n ² y ( n  + 1) ² , mientras que para una potencia par el polinomio tiene factores n , n  + 1/2 y n  + 1.

Expresar productos de sumas de potencias como combinaciones lineales de sumas de potencias

Los productos de dos (y, por lo tanto, por iteración, varias) sumas de potencias se pueden escribir como combinaciones lineales de sumas de potencias con todos los grados pares o todos los grados impares, dependiendo del grado total del producto como un polinomio en , p. ej . . Nótese que las sumas de los coeficientes deben ser iguales en ambos lados, como se puede ver al poner , lo que hace que todos los sean iguales a 1. Algunas fórmulas generales incluyen: Nótese que en la segunda fórmula, para pares el término correspondiente a es diferente de los otros términos en la suma, mientras que para impares , este término adicional desaparece debido a . ${\displaystyle s_{j_{r}}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j_{r}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 30s_{2}s_{4}=-s_{3}+15s_{5}+16s_{7}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle s_{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(m+1)s_{m}^{2}&=2\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m+1-2j}.\\m(m+1)s_{m}s_{m-1}&=m(m+1)B_{m}s_{m}+\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m-1}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m-2j}.\\2^{m-1}s_{1}^{m}&=\sum _{j=1}^{\lfloor {\frac {m+1}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2j-1}}s_{2m+1-2j}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j={\dfrac {m}{2}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle B_{m}=0}$

Forma matricial

La fórmula de Faulhaber también se puede escribir en una forma que utilice la multiplicación de matrices .

Tomemos los primeros siete ejemplos. Escribiendo estos polinomios como un producto entre matrices obtenemos donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\phantom {-}}1n\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{6}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\phantom {-}}0n+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {1}{4}}n^{4}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&=-{\tfrac {1}{30}}n+0n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}+{\tfrac {1}{5}}n^{5}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\phantom {-}}0n-{\tfrac {1}{12}}n^{2}+0n^{3}+{\tfrac {5}{12}}n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{6}}n^{6}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{42}}n+0n^{2}-{\tfrac {1}{6}}n^{3}+0n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{2}}n^{6}+{\tfrac {1}{7}}n^{7}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum k^{0}\\\sum k^{1}\\\sum k^{2}\\\sum k^{3}\\\sum k^{4}\\\sum k^{5}\\\sum k^{6}\end{pmatrix}}=G_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle G_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}.}$$

Sorprendentemente, invertir la matriz de coeficientes polinómicos produce algo más familiar: $${\displaystyle G_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}={\overline {A}}_{7}}$$

En la matriz invertida se puede reconocer el triángulo de Pascal , sin el último elemento de cada fila y con signos alternados.

Sea la matriz obtenida de al cambiar los signos de las entradas en diagonales impares, es decir reemplazando por , sea la matriz obtenida de con una transformación similar, entonces y También Esto es así porque es evidente que y que por lo tanto polinomios de grado de la forma restados la diferencia de monomios se convierten en . ${\displaystyle A_{7}}$ ${\displaystyle {\overline {A}}_{7}}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle (-1)^{i+j}a_{i,j}}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{7}}$ ${\displaystyle G_{7}}$ $${\displaystyle A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0&0\\1&4&6&4&0&0&0\\1&5&10&10&5&0&0\\1&6&15&20&15&6&0\\1&7&21&35&35&21&7\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&-{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&-{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&-{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&-{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}.}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{n-1}k^{0}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{5}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{6}\\\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\\\end{pmatrix}}}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}-\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=n^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$ ${\displaystyle n^{m}}$ ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}-{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$

Esto es cierto para cualquier orden, es decir, para cada entero positivo m , se tiene y Así, es posible obtener los coeficientes de los polinomios de las sumas de potencias de enteros sucesivos sin recurrir a los números de Bernoulli sino invirtiendo la matriz fácilmente obtenida del triángulo de Pascal. ^{[12] [13]} ${\displaystyle G_{m}^{-1}={\overline {A}}_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{m}^{-1}=A_{m}.}$

Variaciones

• Reemplazando por , encontramos la expresión alternativa: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p-k}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{p \choose k}B_{p-k}n^{k+1}.}$$
• Restando de ambos lados de la fórmula original e incrementando en , obtenemos ${\displaystyle n^{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}B_{k}(n+1)^{p-k+1}\\&=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{\binom {p}{k}}(-1)^{p-k}B_{p-k}(n+1)^{k+1},\end{aligned}}}$$

donde se pueden interpretar como números de Bernoulli "negativos" con . ${\displaystyle (-1)^{k}B_{k}=B_{k}^{-}}$ ${\displaystyle B_{1}^{-}=-{\tfrac {1}{2}}}$

• También podemos expandir en términos de los polinomios de Bernoulli para encontrar lo que implica Dado que siempre que es impar, el factor puede eliminarse cuando . ${\displaystyle G(z,n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)&={\frac {e^{(n+1)z}}{e^{z}-1}}-{\frac {e^{z}}{e^{z}-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(B_{j}(n+1)-(-1)^{j}B_{j}\right){\frac {z^{j-1}}{j!}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-(-1)^{p+1}B_{p+1}\right)={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)\right).}$$ ${\displaystyle B_{n}=0}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (-1)^{p+1}}$ ${\displaystyle p>0}$
• También se puede expresar en términos de números de Stirling de segundo tipo y factoriales descendentes como ^[14] Esto se debe a la definición de los números de Stirling de segundo tipo como mononomios en términos de factoriales descendentes y al comportamiento de los factoriales descendentes bajo la suma indefinida . $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}\left\{{p \atop k}\right\}{\frac {(n+1)_{k+1}}{k+1}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=1}^{p+1}\left\{{p+1 \atop k}\right\}{\frac {(n)_{k}}{k}}.}$$

Al interpretar los números de Stirling de segunda especie, , como el número de particiones de un conjunto en partes, la identidad tiene una prueba combinatoria directa ya que ambos lados cuentan el número de funciones con máximas. El índice de suma en el lado izquierdo representa , mientras que el índice en el lado derecho es representa el número de elementos en la imagen de f. ${\displaystyle \left\{{p+1 \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle \lbrack p+1\rbrack }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\lbrack p+1\rbrack \to \lbrack n\rbrack }$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle k=f(1)}$

• También hay una expresión similar (pero de alguna manera más simple): usando la idea de telescopía y el teorema binomial , se obtiene la identidad de Pascal : ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{k+1}-1&=\sum _{m=1}^{n}\left((m+1)^{k+1}-m^{k+1}\right)\\&=\sum _{p=0}^{k}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$$

Esto en particular produce los ejemplos siguientes: por ejemplo, tome k = 1 para obtener el primer ejemplo. De manera similar, también encontramos

$${\displaystyle {\begin{aligned}n^{k+1}=\sum _{m=1}^{n}\left(m^{k+1}-(m-1)^{k+1}\right)=\sum _{p=0}^{k}(-1)^{k+p}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$$

• Una expresión generalizada que involucra los números eulerianos es ${\displaystyle A_{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{k}x^{n}={\frac {x}{(1-x)^{k+1}}}A_{k}(x)}$.

• La fórmula de Faulhaber fue generalizada por Guo y Zeng a un análogo q . ^[16]

Relación con la función zeta de Riemann

Usando , se puede escribir ${\displaystyle B_{k}=-k\zeta (1-k)}$ $${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.}$$

Si consideramos la función generadora en el límite grande para , entonces encontramos Heurísticamente, esto sugiere que Este resultado concuerda con el valor de la función zeta de Riemann para números enteros negativos en analíticamente continuando apropiadamente . ${\displaystyle G(z,n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Re (z)<0}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.}$$ ${\textstyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ ${\displaystyle s=-p<0}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

La fórmula de Faulhaber se puede escribir en términos de la función zeta de Hurwitz :

$${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}=\zeta (-p)-\zeta (-p,n+1)}$$

Forma umbral

En el cálculo umbral , se tratan los números de Bernoulli , , , ... como si el índice j en fuera en realidad un exponente, y por tanto como si los números de Bernoulli fueran potencias de algún objeto B. ${\textstyle B^{0}=1}$ ${\textstyle B^{1}={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle B^{2}={\frac {1}{6}}}$ ${\textstyle B^{j}}$

Usando esta notación, la fórmula de Faulhaber puede escribirse como Aquí, la expresión de la derecha debe entenderse expandiéndola para obtener términos que luego pueden interpretarse como los números de Bernoulli. Específicamente, usando el teorema del binomio , obtenemos $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}.}$$ ${\textstyle B^{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}&={1 \over p+1}\left(\sum _{k=0}^{p+1}{\binom {p+1}{k}}B^{k}n^{p+1-k}-B^{p+1}\right)\\&={1 \over p+1}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}B^{k}n^{p+1-k}.\end{aligned}}}$$

Una derivación de la fórmula de Faulhaber utilizando la forma umbral está disponible en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard K. Guy . ^[17]

Clásicamente, esta forma umbral se consideraba una conveniencia de notación. En el cálculo umbral moderno, por otro lado, se le da un sustento matemático formal. Se considera la función lineal T en el espacio vectorial de polinomios en una variable b dada por Entonces se puede decir ${\textstyle T(b^{j})=B_{j}.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)\\&=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).\end{aligned}}}$$

Una fórmula general

La serie en función de m se abrevia a menudo como . Beardon (ver enlaces externos) ha publicado fórmulas para potencias de . Por ejemplo, Beardon 1996 formuló esta fórmula general para potencias de , que muestra que elevado a una potencia N se puede escribir como una suma lineal de términos ... Por ejemplo, al tomar N como 2, luego 3, luego 4 en la fórmula de Beardon obtenemos las identidades . Se conocen otras fórmulas, como y , pero hasta la fecha no se ha publicado ninguna fórmula general para , donde m, N son números enteros positivos. En un artículo inédito de Derby (2019) ^[18] se formuló y demostró la siguiente fórmula: ${\displaystyle 1^{m}+2^{m}+3^{m}+..n^{m}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle S_{1}:\;\;\;S_{1}^{\;N}={\frac {1}{2^{N}}}\sum _{r=0}^{N}{N \choose r}S_{N+r}(1-(-1)^{N-r})}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{3},\;\;S_{5},\;\;S_{7}}$ ${\displaystyle S_{1}^{\;2}=S_{3},\;\;S_{1}^{\;3}={\frac {1}{4}}S_{3}+{\frac {3}{4}}S_{5},\;\;S_{1}^{\;4}={\frac {1}{2}}S_{5}+{\frac {1}{2}}S_{7}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;2}={\frac {1}{3}}S_{4}+{\frac {2}{3}}S_{5}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;3}={\frac {1}{12}}S_{4}+{\frac {7}{12}}S_{6}+{\frac {1}{3}}S_{8}}$ ${\displaystyle S_{m}^{\;N}}$

${\displaystyle S_{m}^{\;N}=\sum _{k=1}^{N}(-1)^{k-1}{N \choose k}\sum _{r=1}^{n}r^{mk}S_{m}^{\;\;N-k}(r)}$.

Esto se puede calcular en forma de matriz, como se describió anteriormente. En el caso en que m = 1, se replica la fórmula de Beardon para . Cuando m = 2 y N = 2 o 3, se generan las fórmulas dadas para y . Ejemplos de cálculos para índices más altos son y . ${\displaystyle S_{1}^{\;N}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;\;2}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;3}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;4}={\frac {1}{54}}S_{5}+{\frac {5}{18}}S_{7}+{\frac {5}{9}}S_{9}+{\frac {4}{27}}S_{11}}$ ${\displaystyle S_{6}^{\;3}={\frac {1}{588}}S_{8}-{\frac {1}{42}}S_{10}+{\frac {13}{84}}S_{12}-{\frac {47}{98}}S_{14}+{\frac {17}{28}}S_{16}+{\frac {19}{28}}S_{18}+{\frac {3}{49}}S_{20}}$

Notas

1. Beery, Janet (2009). "Suma de potencias de números enteros positivos". MMA Mathematical Association of America. doi :10.4169/loci003284 (inactivo el 1 de noviembre de 2024).{{cite news}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
2. Donald E. Knuth (1993). "Johann Faulhaber y las sumas de potencias". Matemáticas de la computación . 61 (203): 277–294. arXiv : math.CA/9207222 . doi :10.2307/2152953. JSTOR  2152953.El artículo de arxiv.org tiene un error de imprenta en la fórmula para la suma de las undécimas potencias, que fue corregido en la versión impresa. Versión correcta. Archivado el 1 de diciembre de 2010 en Wayback Machine.
3. Edwards, Anthony William Fairbank (1982). "Sumas de potencias de números enteros: un poco de historia". The Mathematical Gazette . 66 (435): 22–28. doi :10.2307/3617302. JSTOR  3617302. S2CID  125682077.
4. El primer elemento del vector de las sumas es y no por el primer sumando, la forma indeterminada , al que de otro modo se le debería asignar un valor de 1 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{0}}$ ${\displaystyle 0^{0}}$
5. Edwards, AWF (1987). El triángulo aritmético de Pascal: la historia de una idea matemática . Charles Griffin & C. pág. 84. ISBN 0-8018-6946-3.
6. Kalman, Dan (1988). "Sumas de potencias por el método matricial". Semantic scholar. S2CID  2656552.
7. Helmes, Gottfried (2006). "Acceso a números de Bernoulli mediante operaciones matriciales" (PDF) . Uni-Kassel.de.
8. Howard, FT (1994). "Sumas de potencias de números enteros mediante funciones generadoras" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.376.4044 . 
9. Lang, Wolfdieter (2017). "Sobre sumas de potencias de progresiones aritméticas y números generalizados de Stirling, Euler y Bernoulli". arXiv : 1707.04451 [math.NT].
10. Tan Si, Do (2017). "Obtención fácil de sumas de potencias en progresiones aritméticas y propiedades de polinomios de Bernoulli mediante cálculo de operadores". Applied Physics Research . 9 . Centro Canadiense de Ciencias y Educación. ISSN  1916-9639.
11. Gulley, Ned (4 de marzo de 2010), Shure, Loren (ed.), Teorema de Nicómaco, Matlab Central
12. Pietrocola, Giorgio (2017), Sobre polinomios para el cálculo de sumas de potencias de números enteros sucesivos y números de Bernoulli deducidos del triángulo de Pascal (PDF).
13. Derby, Nigel (2015), "Una búsqueda de sumas de potencias", The Mathematical Gazette , 99 (546): 416–421, doi :10.1017/mag.2015.77, S2CID  124607378.
14. Matemáticas concretas , 1ª ed. (1989), pág. 275.
15. Kieren MacMillan, Jonathan Sondow (2011). "Pruebas de congruencias de suma de potencias y coeficientes binomiales mediante la identidad de Pascal". American Mathematical Monthly . 118 (6): 549–551. arXiv : 1011.0076 . doi :10.4169/amer.math.monthly.118.06.549. S2CID  207521003.
16. Guo, Victor JW; Zeng, Jiang (30 de agosto de 2005). "Un análogo q de la fórmula de Faulhaber para sumas de potencias". The Electronic Journal of Combinatorics . 11 (2). arXiv : math/0501441 . Bibcode :2005math......1441G. doi :10.37236/1876. S2CID  10467873.
17. John H. Conway , Richard Guy (1996). El libro de los números. Springer. pág. 107. ISBN 0-387-97993-X.
18. Derby, Nigel, [Una fórmula general para sumas de potencias]

Enlaces externos

• Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik . vol. 12. págs. 263–72. doi :10.1515/crll.1834.12.263.
• Weisstein, Eric W. "La fórmula de Faulhaber". MundoMatemático .
• Juan Faulhaber (1631). Academia Algebrae - Darinnen die milagrosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt undprofitiert werden .Un libro muy raro, pero Knuth ha colocado una fotocopia en la biblioteca de Stanford, número de referencia QA154.8 F3 1631a f MATH. ( copia en línea en Google Books )
• Beardon, AF (1996). "Sumas de potencias de números enteros" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (3): 201–213. doi :10.1080/00029890.1996.12004725 . Consultado el 23 de octubre de 2011 .(Ganador del premio Lester R. Ford)
• Schumacher, Raphael (2016). "Una versión extendida de la fórmula de Faulhaber". Journal of Integer Sequences . Vol. 19, núm. 16.4.2.

• Orosi, Greg (2018). "Una derivación simple de la fórmula de Faulhaber" (PDF) . Applied Mathematics E-Notes . Vol. 18. págs. 124–126.
• Una prueba visual de la suma de cuadrados y cubos.