Estadística algebraica

La estadística algebraica es el uso del álgebra para mejorar la estadística . El álgebra ha sido útil para el diseño experimental , la estimación de parámetros y la prueba de hipótesis .

Tradicionalmente, la estadística algebraica se ha asociado con el diseño de experimentos y el análisis multivariante (especialmente de series temporales ). En los últimos años, el término "estadística algebraica" se ha restringido en ocasiones y se ha utilizado en ocasiones para etiquetar el uso de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa en estadística.

La tradición de la estadística algebraica

En el pasado, los estadísticos han utilizado el álgebra para avanzar en la investigación estadística. Algunas estadísticas algebraicas llevaron al desarrollo de nuevos temas en álgebra y combinatoria, como los esquemas de asociación .

Diseño de experimentos

Por ejemplo, Ronald A. Fisher , Henry B. Mann y Rosemary A. Bailey aplicaron grupos abelianos al diseño de experimentos . También se estudiaron diseños experimentales con geometría afín sobre cuerpos finitos y luego con la introducción de esquemas de asociación por RC Bose . CR Rao introdujo matrices ortogonales también para diseños experimentales.

Análisis algebraico e inferencia estadística abstracta

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Las medidas invariantes en grupos localmente compactos se han utilizado durante mucho tiempo en la teoría estadística , en particular en el análisis multivariante . El teorema de factorización de Beurling y gran parte del trabajo sobre análisis armónico (abstracto) buscaron una mejor comprensión de la descomposición de Wold de los procesos estocásticos estacionarios , que es importante en las estadísticas de series temporales .

A partir de los resultados previos sobre la teoría de la probabilidad en estructuras algebraicas, Ulf Grenander desarrolló una teoría de "inferencia abstracta". La inferencia abstracta de Grenander y su teoría de patrones son útiles para la estadística espacial y el análisis de imágenes ; estas teorías se basan en la teoría de retículas .

Conjuntos y redes parcialmente ordenados

Los espacios vectoriales parcialmente ordenados y las redes vectoriales se utilizan en toda la teoría estadística. Garrett Birkhoff metrizó el cono positivo utilizando la métrica proyectiva de Hilbert y demostró el teorema de Jentsch utilizando el teorema de aplicación de contracción . ^[1] Los resultados de Birkhoff han sido utilizados para la estimación de máxima entropía (que puede verse como programación lineal en dimensiones infinitas ) por Jonathan Borwein y colegas.

Las redes vectoriales y las medidas cónicas fueron introducidas en la teoría de decisiones estadísticas por Lucien Le Cam .

Trabajos recientes que utilizan álgebra conmutativa y geometría algebraica

En los últimos años, el término "estadística algebraica" se ha utilizado de forma más restrictiva para etiquetar el uso de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa para estudiar problemas relacionados con variables aleatorias discretas con espacios de estados finitos. El álgebra conmutativa y la geometría algebraica tienen aplicaciones en estadística porque muchas clases de variables aleatorias discretas de uso común pueden considerarse variedades algebraicas .

Ejemplo introductorio

Consideremos una variable aleatoria X que puede tomar los valores 0, 1, 2. Dicha variable está completamente caracterizada por las tres probabilidades

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i),\quad i=0,1,2}$

y estos números satisfacen

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1.}$

Por el contrario, cualesquiera tres números de este tipo especifican de forma inequívoca una variable aleatoria, por lo que podemos identificar la variable aleatoria X con la tupla ( p ₀ , p ₁ , p ₂ )∈ R ³ .

Ahora supongamos que X es una variable aleatoria binomial con parámetro q y n = 2 , es decir, X representa el número de éxitos al repetir un determinado experimento dos veces, donde cada experimento tiene una probabilidad de éxito individual de q . Entonces

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i)={2 \choose i}q^{i}(1-q)^{2-i}}$

y no es difícil demostrar que las tuplas ( p ₀ , p ₁ , p ₂ ) que surgen de esta manera son precisamente las que satisfacen

${\displaystyle 4p_{0}p_{2}-p_{1}^{2}=0.\ }$

La última es una ecuación polinómica que define una variedad algebraica (o superficie) en R ³ , y esta variedad, cuando se interseca con el símplex dado por

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1,}$

produce un fragmento de una curva algebraica que puede identificarse con el conjunto de todas las variables de Bernoulli de tres estados. Determinar el parámetro q equivale a localizar un punto en esta curva; probar la hipótesis de que una variable dada X es de Bernoulli equivale a probar si un punto determinado se encuentra en esa curva o no.

Aplicación de la geometría algebraica a la teoría del aprendizaje estadístico

La geometría algebraica también ha encontrado recientemente aplicaciones a la teoría del aprendizaje estadístico , incluida una generalización del criterio de información de Akaike a modelos estadísticos singulares . ^[2]

Referencias

1. Un vacío en la prueba original de Garrett Birkhoff fue llenado por Alexander Ostrowski .
   • Garrett Birkhoff , 1967. Lattice Theory , 3.ª ed. Vol. 25 de AMS Colloquium Publications. Sociedad Matemática Estadounidense .
2. Watanabe, Sumio. "¿Por qué la geometría algebraica?".

• RA Bailey . Association Schemes: Designed Experiments, Algebra and Combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 387pp. ISBN 0-521-82446-X . (Los capítulos del borrador preliminar están disponibles en línea) 
• Caliński, Tadeusz; Kageyama, Sanpei (2003). Diseños de bloques: un enfoque de aleatorización, Volumen II: Diseño . Apuntes de clase en estadística. Vol. 170. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95470-8.
• Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2005). Diseño y análisis de experimentos, volumen 2: Diseño experimental avanzado (primera edición). Wiley. ISBN 978-0-471-55177-5.
• HB Mann . 1949. Análisis y diseño de experimentos: análisis de varianza y diseños de análisis de varianza . Dover.
• Raghavarao, Damaraju (1988). Construcciones y problemas combinatorios en el diseño de experimentos (reimpresión corregida de la edición de Wiley de 1971). Nueva York: Dover.
• Raghavarao, Damaraju ; Padgett, LV (2005). Diseños de bloques: análisis, combinatoria y aplicaciones . World Scientific.
• Street, Anne Penfold ; Street, Deborah J. (1987). Combinatoria del diseño experimental . Oxford UP [Clarendon]. ISBN 0-19-853256-3.
• L. Pachter y B. Sturmfels . Estadísticas algebraicas para biología computacional. Cambridge University Press 2005.
• G. Pistone, E. Riccomango, HP Wynn. Estadística algebraica. CRC Press, 2001.
• Drton, Mathias, Sturmfels, Bernd , Sullivant, Seth. Conferencias sobre estadística algebraica , Springer 2009.
• Watanabe, Sumio . Geometría algebraica y teoría del aprendizaje estadístico , Cambridge University Press 2009.
• Paolo Gibilisco, Eva Riccomagno, Maria-Piera Rogantin, Henry P. Wynn . Métodos algebraicos y geométricos en estadística , Cambridge 2009.

Enlaces externos

• Estadística algebraica

• Revista de estadística algebraica
• Archivos de la Revista de Estadística Algebraica