Teorema del punto fijo de Banach

Theorem about metric spaces

En matemáticas , el teorema de punto fijo de Banach (también conocido como teorema de aplicación de contracción o teorema de aplicación contractiva o teorema de Banach-Caccioppoli ) es una herramienta importante en la teoría de espacios métricos ; garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas aplicaciones propias de espacios métricos y proporciona un método constructivo para encontrar esos puntos fijos. Puede entenderse como una formulación abstracta del método de aproximaciones sucesivas de Picard . ^[1] El teorema recibe su nombre de Stefan Banach (1892-1945), quien lo formuló por primera vez en 1922. ^{[2] [3]}

Declaración

Definición. Sea un espacio métrico . Entonces, una función se denomina función de contracción en X si existe tal que ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle q\in [0,1)}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

a pesar de ${\displaystyle x,y\in X.}$

Teorema de punto fijo de Banach. Sea un espacio métrico completo no vacío con una función de contracción. Entonces T admite un único punto fijo en X (es decir, ). Además, se puede encontrar de la siguiente manera: comience con un elemento arbitrario y defina una secuencia por para Entonces . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

Observación 1. Las siguientes desigualdades son equivalentes y describen la velocidad de convergencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$

Cualquier valor de q se denomina constante de Lipschitz para , y el más pequeño a veces se denomina "la mejor constante de Lipschitz" de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Observación 2. Para todo, en general, no es suficiente asegurar la existencia de un punto fijo, como lo muestra el mapa ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$

que carece de un punto fijo. Sin embargo, si es compacto , entonces esta suposición más débil implica la existencia y unicidad de un punto fijo, que se puede encontrar fácilmente como un minimizador de , de hecho, existe un minimizador por compacidad, y tiene que ser un punto fijo de Entonces se deduce fácilmente que el punto fijo es el límite de cualquier secuencia de iteraciones de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,T(x))}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle T.}$

Observación 3. Al utilizar el teorema en la práctica, la parte más difícil suele ser definirlo correctamente de modo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$

Prueba

Sea arbitrario y definamos una secuencia estableciendo . Primero notamos que para todos tenemos la desigualdad ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

Esto se deduce por inducción de , utilizando el hecho de que es una función de contracción. Entonces podemos demostrar que es una sucesión de Cauchy . En particular, sea tal que : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

Sea arbitrario. Como , podemos encontrar un valor grande de modo que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

Por lo tanto, eligiendo y mayor que podemos escribir: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

Esto demuestra que la sucesión es de Cauchy. Por completitud de , la sucesión tiene un límite. Además, debe haber un punto fijo de : ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x^{*}\in X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

Como aplicación de contracción, es continua, por lo que se justificaba llevar el límite hacia dentro . Por último, no puede tener más de un punto fijo en , ya que cualquier par de puntos fijos distintos y contradeciría la contracción de : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

Aplicaciones

• Una aplicación estándar es la demostración del teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias . La solución buscada de la ecuación diferencial se expresa como un punto fijo de un operador integral adecuado en el espacio de funciones continuas bajo la norma uniforme . Luego se utiliza el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que este operador integral tiene un punto fijo único.
• Una consecuencia del teorema de punto fijo de Banach es que las pequeñas perturbaciones de Lipschitz de la identidad son homeomorfismos bi-lipschitz . Sea Ω un conjunto abierto de un espacio de Banach E ; sea I  : Ω → E la función identidad (de inclusión) y sea g  : Ω → E una función de Lipschitz de constante k < 1. Entonces

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) es un subconjunto abierto de E : precisamente, para cualquier x en Ω tal que B ( x , r ) ⊂ Ω se tiene B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′;
2. I + g  : Ω → Ω′ es un homeomorfismo bi-Lipschitz;

Precisamente, ( I + g ) ⁻¹ sigue teniendo la forma I + h  : Ω → Ω′ con h una función de Lipschitz de constante k /(1 −  k ). Una consecuencia directa de este resultado es la demostración del teorema de la función inversa .

• Se puede utilizar para proporcionar condiciones suficientes bajo las cuales se garantiza que el método de aproximaciones sucesivas de Newton funciona, y de manera similar para el método de tercer orden de Chebyshev.
• Se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones integrales.
• Se puede utilizar para dar una prueba del teorema de incrustación de Nash . ^[4]
• Se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para la iteración de valores, la iteración de políticas y la evaluación de políticas del aprendizaje de refuerzo . ^[5]
• Se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de un equilibrio en la competencia de Cournot , ^[6] y otros modelos económicos dinámicos. ^[7]

Conversaciones

Existen varias versiones inversas del principio de contracción de Banach. La siguiente se debe a Czesław Bessaga, de 1959:

Sea f  : X → X una función de un conjunto abstracto tal que cada iteración f ⁿ tiene un único punto fijo. Sea entonces que existe una métrica completa en X tal que f es contractiva y q es la constante de contracción. ${\displaystyle q\in (0,1),}$

De hecho, bastan supuestos muy débiles para obtener este tipo de recíproco. Por ejemplo, si es una función en un espacio topológico T 1 con un único punto fijo a , tal que para cada uno tenemos f ⁿ ( x ) → a , entonces ya existe una métrica en X con respecto a la cual f satisface las condiciones del principio de contracción de Banach con constante de contracción 1/2. ^[8] En este caso, la métrica es de hecho una ultramétrica . ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Generalizaciones

Hay una serie de generalizaciones (algunas de las cuales son corolarios inmediatos ). ^[9]

Sea T  : X → X una función en un espacio métrico completo no vacío. Por ejemplo, algunas generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach son:

• Supongamos que alguna iteración T ⁿ de T es una contracción. Entonces T tiene un único punto fijo.
• Supóngase que para cada n , existen c _n tales que d ( T ⁿ ( x ), T ⁿ ( y )) ≤ c _n d ( x , y ) para todos los x e y , y que

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

Entonces T tiene un punto fijo único.

En las aplicaciones, la existencia y unicidad de un punto fijo a menudo se puede demostrar directamente con el teorema de punto fijo de Banach estándar, mediante una elección adecuada de la métrica que hace que la función T sea una contracción. De hecho, el resultado anterior de Bessaga sugiere firmemente que se busque una métrica de este tipo. Véase también el artículo sobre teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para generalizaciones.

Una clase diferente de generalizaciones surge de generalizaciones adecuadas de la noción de espacio métrico , por ejemplo, debilitando los axiomas definitorios de la noción de métrica. ^[10] Algunas de estas tienen aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la semántica de programación en la informática teórica. ^[11]

Ejemplo

Se puede utilizar una aplicación del teorema de punto fijo de Banach y la iteración de punto fijo para obtener rápidamente una aproximación de π con alta precisión. Considere la función . Se puede verificar que π es un punto fijo de f , y que f mapea el intervalo a sí mismo. Además, , y se puede verificar que ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}$ ${\displaystyle \left[3\pi /4,5\pi /4\right]}$ ${\displaystyle f'(x)=1+\cos(x)}$

${\displaystyle 0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}$

en este intervalo. Por lo tanto, mediante una aplicación del teorema del valor medio , f tiene una constante de Lipschitz menor que 1 (es decir ). La aplicación del teorema del punto fijo de Banach muestra que el punto fijo π es el único punto fijo en el intervalo, lo que permite el uso de la iteración de punto fijo. ${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$

Por ejemplo, se puede elegir el valor 3 para iniciar la iteración de punto fijo, ya que . El teorema de punto fijo de Banach se puede utilizar para concluir que ${\displaystyle 3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4}$

${\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).}$

Aplicando f a 3 sólo tres veces ya se obtiene una expansión de π precisa hasta 33 dígitos:

${\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}$

Véase también

• Teorema del punto fijo de Brouwer
• Teorema del punto fijo de Caristi
• Mapeo de contracción
• Principio de existencia de Fichera
• Iteración de punto fijo
• Teoremas de punto fijo
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Teorema de Kantorovich

Notas

1. Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980). "Desigualdades variacionales en RN". Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones . Nueva York: Academic Press. págs. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
2. Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 3 : 133–181. doi :10.4064/fm-3-1-133-181. Archivado (PDF) desde el original el 7 de junio de 2011.
3. Ciesielski, Krzysztof (2007). "Sobre Stefan Banach y algunos de sus resultados" (PDF) . Banach J. Math. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352/bjma/1240321550 . Archivado (PDF) desde el original el 30 de mayo de 2009.
4. Günther, Matías (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Sobre el teorema de incrustación de J. Nash]. Mathematische Nachrichten (en alemán). 144 : 165–187. doi :10.1002/mana.19891440113. SEÑOR  1037168.
5. Lewis, Frank L.; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). "Aprendizaje por refuerzo y control adaptativo óptimo". Control óptimo . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 461–517 [pág. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
6. Long, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000). "Existencia y unicidad del equilibrio de Cournot: un enfoque de mapeo de contracción" (PDF) . Economics Letters . 67 (3): 345–348. doi :10.1016/S0165-1765(00)00211-1. Archivado (PDF) desde el original el 2004-12-30.
7. Stokey, Nancy L. ; Lucas, Robert E. Jr. (1989). Métodos recursivos en dinámica económica. Cambridge: Harvard University Press. pp. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
8. Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony K. (2001). "Una 'conversión' del teorema de aplicación de la contracción de Banach". Journal of Electrical Engineering . 52 (10/s): 3–6.
9. Latif, Abdul (2014). "Principio de contracción de Banach y sus generalizaciones". Temas de teoría del punto fijo . Springer. págs. 33–64. doi :10.1007/978-3-319-01586-6_2. ISBN 978-3-319-01585-9.
10. Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony (2010). Aspectos matemáticos de la semántica de la programación lógica . Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
11. Seda, Anthony K.; Hitzler, Pascal (2010). "Funciones de distancia generalizadas en la teoría de la computación". The Computer Journal . 53 (4): 443–464. doi :10.1093/comjnl/bxm108.

Referencias

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Principio de contracción de Banach y aplicaciones". Teoría del punto fijo en espacios métricos . Singapur: Springer. págs. 1–23. doi :10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Contracción". Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pp. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Países Bajos: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7.Véase el capítulo 7.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

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