En matemáticas y física , los solitones , los solitones topológicos y los defectos topológicos son tres ideas estrechamente relacionadas, todas las cuales significan estructuras en un sistema físico que son estables frente a perturbaciones. Los solitones no se desintegran, disipan, dispersan o evaporan de la forma en que lo harían las ondas (o soluciones o estructuras) ordinarias. La estabilidad surge de una obstrucción a la desintegración, que se explica por el hecho de que el solitón pertenece a una clase de homotopía topológica o clase de cohomología diferente a la del sistema físico base. Más simplemente: no es posible transformar continuamente el sistema con un solitón en uno sin él. Las matemáticas detrás de la estabilidad topológica son profundas y amplias, y se ha descrito una gran variedad de sistemas que poseen estabilidad topológica. Esto hace que la categorización sea algo difícil.
El solitón original se observó en el siglo XIX como una ola de agua solitaria en un canal de barcazas. Finalmente se explicó observando que la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) , que describe las olas en el agua, tiene soluciones homotópicamente distintas. El mecanismo de los pares Lax proporcionó la comprensión topológica necesaria.
La característica general necesaria para que surja un solitón topológico es que debe haber alguna ecuación diferencial parcial (EDP) que tenga distintas clases de soluciones, y cada clase de solución pertenezca a una clase de homotopía distinta. En muchos casos, esto surge porque el espacio base (espacio 3D o espacio-tiempo 4D) puede considerarse como si tuviera la topología de una esfera , obtenida por compactificación de un punto : añadiendo un punto en el infinito. Esto es razonable, ya que uno generalmente está interesado en soluciones que se desvanecen en el infinito y, por lo tanto, son univaluadas en ese punto. El rango ( codominio ) de las variables en la ecuación diferencial también puede verse como si viviera en algún espacio topológico compacto . Como resultado, la aplicación del espacio(tiempo) a las variables en la EDP se puede describir como una aplicación de una esfera a una esfera (diferente); las clases de tales aplicaciones están dadas por los grupos de homotopía de esferas .
Para decirlo de forma más sencilla: los solitones se encuentran cuando una solución de la EDP no se puede transformar continuamente en otra; para pasar de una a otra se requeriría "cortar" (como con tijeras), pero "cortar" no es una operación definida para resolver EDP. La analogía del corte surge porque algunos solitones se describen como aplicaciones , donde es el círculo ; las aplicaciones surgen en el fibrado circular . Se puede pensar en estas aplicaciones como si enrolláramos una cuerda alrededor de un palo: la cuerda no se puede quitar sin cortarla. La extensión más común de esta analogía de enrollamiento es a las aplicaciones , donde la primera triesfera representa el espacio 3D compactificado, mientras que la segunda representa un campo vectorial . (Se puede pensar en un trivector , su dirección más longitud, como si especificara un punto en una triesfera. La orientación del vector especifica un subgrupo del grupo ortogonal ; la longitud fija un punto. Esto tiene una doble cobertura por el grupo unitario , y ). Estas aplicaciones ocurren en EDP que describen campos vectoriales.
Un defecto topológico es quizás la forma más sencilla de entender la idea general: es un solitón que se produce en una red cristalina , típicamente estudiada en el contexto de la física del estado sólido y la ciencia de los materiales . El ejemplo prototípico es la dislocación de tornillo ; es una dislocación de la red que gira en espiral. Se puede mover de una ubicación a otra empujándola, pero no se puede eliminar mediante simples deformaciones continuas de la red. (Algunas dislocaciones de tornillo se manifiestan de manera que son directamente visibles a simple vista: estos son los bigotes de germanio ). La estabilidad matemática proviene del número de bobinado distinto de cero del mapa de círculos; la estabilidad de la dislocación conduce a la rigidez en el material que la contiene. Una manifestación común es la flexión repetida de un alambre de metal: esto introduce cada vez más dislocaciones de tornillo (como pares dislocación-antidislocación), lo que hace que la región doblada sea cada vez más rígida y quebradiza . Si se continúa sometiendo a tensión a esa región, se la abrumará con dislocaciones y, finalmente, se producirá una fractura y un fallo del material. Esto puede considerarse como una transición de fase , en la que la cantidad de defectos supera una densidad crítica , lo que les permite interactuar entre sí y "conectarse" y, por lo tanto, desconectar (fracturar) el conjunto. La idea de que las densidades críticas de solitones pueden provocar transiciones de fase es un tema recurrente.
Los vórtices en superfluidos y los tubos de vórtices fijados en superconductores de tipo II proporcionan ejemplos de solitones topológicos de tipo mapa circular en fluidos. Ejemplos más abstractos incluyen cuerdas cósmicas ; estas incluyen tanto soluciones de tipo vórtice para las ecuaciones de campo de Einstein, como soluciones de tipo vórtice en sistemas más complejos, acopladas a campos de materia y ondas. Los tornados y los vórtices en el aire no son ejemplos de solitones: no hay obstrucción para su desintegración; se disiparán después de un tiempo. La solución matemática que describe un tornado puede transformarse continuamente, debilitando la rotación, hasta que no quede rotación. Los detalles, sin embargo, dependen del contexto: la Gran Mancha Roja de Júpiter es un ciclón, para el cual se han ofrecido ideas de tipo solitón para explicar su estabilidad de varios siglos.
Los defectos topológicos se estudiaron ya en la década de 1940. Ejemplos más abstractos surgieron en la teoría cuántica de campos . El Skyrmion se propuso en la década de 1960 como un modelo del nucleón ( neutrón o protón ) y debía su estabilidad a la función . En la década de 1980, el instantón y las soluciones relacionadas de los modelos de Wess-Zumino-Witten alcanzaron una considerable popularidad porque ofrecían una visión no perturbativa en un campo que de otro modo estaba dominado por cálculos perturbativos realizados con diagramas de Feynmann . Proporcionó el impulso para que los físicos estudiaran los conceptos de homotopía y cohomología , que anteriormente eran el dominio exclusivo de las matemáticas. Un desarrollo posterior identificó la omnipresencia de la idea: por ejemplo, la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr para las ecuaciones de campo de Einstein ( agujeros negros ) pueden reconocerse como ejemplos de solitones gravitacionales topológicos : esta es la transformada de Belinski-Zakharov .
La terminología de un defecto topológico frente a un solitón topológico , o incluso un simple "solitón", varía según el campo de estudio académico. Por lo tanto, el monopolo magnético hipotético pero no observado es un ejemplo físico del entorno matemático abstracto de un monopolo ; al igual que el Skyrmion, debe su estabilidad a pertenecer a una clase de homotopía no trivial para mapas de 3-esferas. Para el monopolo, el objetivo es la dirección del campo magnético, en lugar de la dirección del espín isotópico . Los monopolos suelen llamarse "solitones" en lugar de "defectos". Las soliciones se asocian con invariantes topológicos ; como puede ser posible más de una configuración, se etiquetarán con una carga topológica . La palabra carga se utiliza en el sentido de carga en física .
El formalismo matemático puede ser bastante complicado. Los escenarios generales para las EDP incluyen haces de fibras , y el comportamiento de los propios objetos se describe a menudo en términos de holonomía y monodromía . En escenarios abstractos como la teoría de cuerdas , los solitones son parte integral del juego: las cuerdas se pueden organizar en nudos , como en la teoría de nudos , y por lo tanto son estables frente a ser desatadas.
En general, una configuración de campo (cuántico) con un solitón en ella tendrá una energía más alta que el estado fundamental o el estado de vacío , y por lo tanto se llamará una excitación topológica . [1] Aunque las consideraciones homotópicas evitan que el campo clásico se deforme en el estado fundamental, es posible que tal transición ocurra a través de un efecto túnel cuántico . En este caso, entrarán en juego homotopías superiores. Así, por ejemplo, la excitación base podría definirse por un mapa en el grupo de espín . Si el efecto túnel cuántico borra la distinción entre este y el estado fundamental, entonces el siguiente grupo superior de homotopías viene dado por el grupo de cuerdas . Si el proceso se repite, esto da como resultado una subida a la torre de Postnikov . Estas son hipótesis teóricas; demostrar tales conceptos en experimentos de laboratorio reales es un asunto completamente diferente.
La existencia de un defecto topológico puede demostrarse siempre que las condiciones de contorno impliquen la existencia de soluciones homotópicamente distintas. Normalmente, esto ocurre porque el contorno en el que se especifican las condiciones tiene un grupo de homotopía no trivial que se conserva en las ecuaciones diferenciales ; las soluciones de las ecuaciones diferenciales son entonces topológicamente distintas y se clasifican por su clase de homotopía . Los defectos topológicos no sólo son estables frente a pequeñas perturbaciones, sino que no pueden decaer, deshacerse o desenredarse, precisamente porque no hay ninguna transformación continua que los asigne (homotópicamente) a una solución uniforme o "trivial".
Un medio ordenado se define como una región del espacio descrita por una función f ( r ) que asigna a cada punto de la región un parámetro de orden , y los posibles valores del espacio de parámetros de orden constituyen un espacio de parámetros de orden . La teoría de homotopía de defectos utiliza el grupo fundamental del espacio de parámetros de orden de un medio para discutir la existencia, estabilidad y clasificaciones de defectos topológicos en ese medio. [2]
Supóngase que R es el espacio de parámetros de orden para un medio, y sea G un grupo de Lie de transformaciones en R . Sea H el subgrupo de simetría de G para el medio. Entonces, el espacio de parámetros de orden puede escribirse como el cociente del grupo de Lie [3] R = G / H .
Si G es una cubierta universal para G / H entonces, se puede demostrar [3] que π n ( G / H ) = π n −1 ( H ), donde π i denota el i -ésimo grupo de homotopía .
Varios tipos de defectos en el medio pueden ser caracterizados por elementos de varios grupos de homotopía del espacio de parámetros de orden. Por ejemplo, (en tres dimensiones), los defectos de línea corresponden a elementos de π 1 ( R ), los defectos puntuales corresponden a elementos de π 2 ( R ), las texturas corresponden a elementos de π 3 ( R ). Sin embargo, los defectos que pertenecen a la misma clase de conjugación de π 1 ( R ) pueden deformarse continuamente entre sí, [2] y, por lo tanto, los defectos distintos corresponden a clases de conjugación distintas.
Poénaru y Toulouse demostraron que [4] los defectos de cruce se enredan si y solo si son miembros de clases de conjugación separadas de π 1 ( R ).
Los defectos topológicos ocurren en ecuaciones diferenciales parciales y se cree [ ¿según quién? ] que impulsan [ ¿cómo? ] las transiciones de fase en la física de la materia condensada .
La autenticidad [ se necesita más explicación ] de un defecto topológico depende de la naturaleza del vacío hacia el cual tenderá el sistema si transcurre un tiempo infinito; los defectos topológicos falsos y verdaderos se pueden distinguir si el defecto está en un vacío falso y en un vacío verdadero , respectivamente. [ se necesita aclaración ]
Los ejemplos incluyen el solitón u onda solitaria que ocurre en modelos exactamente solucionables , como
Defectos topológicos en los sistemas de clase de universalidad de transición lambda [ aclaración necesaria ], incluidos:
Los defectos topológicos, de tipo cosmológico, son fenómenos de energía extremadamente alta [ aclaración necesaria ] que se consideran imprácticos de producir [ ¿según quién? ] en experimentos de física terrestres. Los defectos topológicos creados durante la formación del universo podrían observarse teóricamente sin un gasto significativo de energía.
En la teoría del Big Bang , el universo se enfría a partir de un estado inicial denso y caliente, lo que desencadena una serie de transiciones de fase muy similares a lo que ocurre en los sistemas de materia condensada, como los superconductores. Algunas teorías de gran unificación predicen la formación de defectos topológicos estables en el universo primitivo durante estas transiciones de fase.
Según la naturaleza de la ruptura de simetría , se cree que se formaron varios solitones en transiciones de fase cosmológicas en el universo primitivo según el mecanismo de Kibble-Zurek . Los defectos topológicos más conocidos son:
También son posibles otros híbridos más complejos de estos tipos de defectos.
A medida que el universo se expandió y se enfrió, las simetrías en las leyes de la física comenzaron a romperse en regiones que se extendieron a la velocidad de la luz ; los defectos topológicos ocurren en los límites de las regiones adyacentes. [ ¿cómo? ] La materia que compone estos límites está en una fase ordenada , que persiste después de que se completa la transición de fase a la fase desordenada para las regiones circundantes.
Los astrónomos no han identificado defectos topológicos; sin embargo, ciertos tipos no son compatibles con las observaciones actuales. En particular, si existieran paredes de dominio y monopolos en el universo observable, darían lugar a desviaciones significativas respecto de lo que los astrónomos pueden ver.
Debido a estas observaciones, la formación de defectos dentro del universo observable está muy limitada y requiere circunstancias especiales (véase Inflación (cosmología) ). Por otra parte, se ha sugerido que las cuerdas cósmicas proporcionan la gravedad inicial "semilla" alrededor de la cual se ha condensado la estructura a gran escala del cosmos de la materia. Las texturas son igualmente benignas. [ Aclaración necesaria ] A finales de 2007, un punto frío en el fondo cósmico de microondas proporcionó evidencia de una posible textura . [5]
En física de la materia condensada, la teoría de grupos de homotopía proporciona un marco natural para la descripción y clasificación de defectos en sistemas ordenados. [2] Los métodos topológicos se han utilizado en varios problemas de la teoría de la materia condensada. Poénaru y Toulouse utilizaron métodos topológicos para obtener una condición para defectos lineales (de cuerda) en cristales líquidos que pueden cruzarse entre sí sin enredarse. Fue una aplicación no trivial de la topología la que condujo por primera vez al descubrimiento del comportamiento hidrodinámico peculiar en la fase A del helio -3 superfluido . [2]
La teoría de la homotopía está profundamente relacionada con la estabilidad de los defectos topológicos. En el caso de un defecto lineal, si la trayectoria cerrada puede deformarse continuamente hasta un punto, el defecto no es estable; en caso contrario, es estable.
A diferencia de la cosmología y la teoría de campos, se han observado experimentalmente defectos topológicos en la materia condensada. [6] Los materiales ferromagnéticos tienen regiones de alineación magnética separadas por paredes de dominio. Los cristales líquidos nemáticos y nemáticos biaxiales muestran una variedad de defectos que incluyen monopolos, cuerdas, texturas, etc. [2] En los sólidos cristalinos, los defectos topológicos más comunes son las dislocaciones , que juegan un papel importante en la predicción de las propiedades mecánicas de los cristales, especialmente la plasticidad cristalina .
En los sistemas magnéticos, los defectos topológicos incluyen defectos 2D como los skyrmions (con carga skyrmion entera) o defectos 3D como los Hopfions (con índice de Hopf entero). La definición se puede ampliar para incluir dislocaciones de orden helimagnético, como las dislocaciones de borde [7] [8] y las dislocaciones de tornillo [9] (que tienen un valor entero del vector de Burgers).
