Universo construible

Clase particular de conjuntos que pueden describirse completamente en términos de conjuntos más simples.

En matemáticas , en teoría de conjuntos , el universo construible (o universo construible de Gödel ), denotado por , es una clase particular de conjuntos que pueden describirse enteramente en términos de conjuntos más simples. es la unión de la jerarquía construible . Fue introducido por Kurt Gödel en su artículo de 1938 "La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado". ^[1] En este artículo, demostró que el universo construible es un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF (es decir, de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido), y también que el axioma de elección y el continuo generalizado Las hipótesis son ciertas en el universo construible. Esto muestra que ambas proposiciones son consistentes con los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, si ZF es consistente. Dado que muchos otros teoremas sólo se cumplen en sistemas en los que una o ambas proposiciones son verdaderas, su coherencia es un resultado importante. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

¿Qué es L?

${\displaystyle L}$Se puede considerar que está construido en "etapas" que se asemejan a la construcción del universo de von Neumann . Las etapas están indexadas por ordinales . En el universo de von Neumann, en una etapa sucesora , se considera el conjunto de todos los subconjuntos de la etapa anterior . Por el contrario, en el universo construible de Gödel , se utilizan sólo aquellos subconjuntos de la etapa anterior que son: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

• definible mediante una fórmula en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos,
• con parámetros de la etapa anterior y,
• con los cuantificadores interpretados en el rango de la etapa anterior.

Al limitarse a conjuntos definidos sólo en términos de lo que ya se ha construido, se asegura que los conjuntos resultantes se construirán de una manera independiente de las peculiaridades del modelo circundante de teoría de conjuntos y contenidos en dicho modelo.

Defina el operador Def: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$se define por recursividad transfinita de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Si es un ordinal límite , aquí significa que precede . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Aquí Ord denota la clase de todos los ordinales.

Si es un elemento de , entonces . ^[3] Entonces es un subconjunto de , que es un subconjunto del conjunto potencia de . En consecuencia, se trata de una torre de conjuntos transitivos anidados . Pero en sí misma es una clase adecuada . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

Los elementos de se denominan conjuntos "construibles"; y en sí mismo es el "universo construible". El " axioma de constructibilidad ", también conocido como " ", dice que todo conjunto (de ) es construible, es decir, en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Datos adicionales sobre los conjuntos L α

Una definición equivalente para es: ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Para cualquier ordinal , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$

Para cualquier ordinal finito , los conjuntos y son iguales (sean iguales o no), y por lo tanto = : sus elementos son exactamente los conjuntos hereditariamente finitos . La igualdad más allá de este punto no se sostiene. Incluso en modelos de ZFC en los que es igual a , es un subconjunto adecuado de y, en adelante, es un subconjunto adecuado del conjunto potencia de para todos . Por otro lado, implica que es igual a if , por ejemplo si es inaccesible. De manera más general, implica = para todos los cardinales infinitos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle V_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >\omega }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Si es un ordinal infinito entonces hay una biyección entre y y la biyección es construible. Por tanto, estos conjuntos son equinumerosos en cualquier modelo de teoría de conjuntos que los incluya. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Como se definió anteriormente, es el conjunto de subconjuntos definidos por fórmulas (con respecto a la jerarquía de Levy , es decir, fórmulas de la teoría de conjuntos que contienen sólo cuantificadores acotados ) que utilizan como parámetros únicamente a sus elementos. ^[4] ${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$

Otra definición, debida a Gödel, caracteriza a cada uno como la intersección del conjunto de potencias de con el cierre de bajo una colección de nueve funciones explícitas, similar a las operaciones de Gödel . Esta definición no hace referencia a la definibilidad. ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

Todos los subconjuntos aritméticos de y las relaciones en pertenecen a (porque la definición aritmética da uno en ). Por el contrario, cualquier subconjunto de pertenencia a es aritmético (porque los elementos de pueden codificarse mediante números naturales de tal manera que sean definibles, es decir, aritmética). Por otro lado, ya contiene ciertos subconjuntos no aritméticos de , como el conjunto de (codificación de números naturales) enunciados aritméticos verdaderos (esto se puede definir a partir de tal como está en ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$

Todos los subconjuntos hiperaritméticos de y las relaciones pertenecen a (donde representa el ordinal Church-Kleene ) y, a la inversa, cualquier subconjunto de eso pertenece es hiperaritmético. ^[5] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$

L es un modelo interno estándar de ZFC

${\displaystyle (L,\in )}$Es un modelo estándar, es decir, es una clase transitiva y la interpretación utiliza la relación de elementos reales, por lo que está bien fundamentada . es un modelo interno, es decir, contiene todos los números ordinales de y no tiene conjuntos "extra" más allá de los de . Sin embargo , podría ser estrictamente una subclase de . es un modelo de ZFC , lo que significa que satisface los siguientes axiomas : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de regularidad : Todo conjunto no vacío contiene algún elemento tal que y son conjuntos disjuntos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (L,\in )}$es una subestructura de , que está bien fundada, por lo que está bien fundada. En particular, si , entonces por la transitividad de , . Si usamos esto igual que en , entonces todavía está separado de porque estamos usando la misma relación de elementos y no se agregaron nuevos conjuntos. ${\displaystyle (V,\in )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in x\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Si y están en y tienen los mismos elementos en , entonces por la transitividad de , tienen los mismos elementos (en ). Entonces son iguales (en y por tanto en ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma del conjunto vacío : {} es un conjunto.

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$, Qué esta en . Entonces . Dado que la relación entre elementos es la misma y no se agregaron elementos nuevos, este es el conjunto vacío de . ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle \{\}\in L}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de emparejamiento : si son conjuntos, entonces es un conjunto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Si y , entonces hay algún ordinal tal que y . Entonces . Por tanto y tiene el mismo significado para que para . ${\displaystyle x\in L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$

• Axioma de unión : Para todo conjunto existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Si , entonces sus elementos están en y sus elementos también están en . También lo es un subconjunto de . Entonces . De este modo . ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y\in L}$

• Axioma del infinito : Existe un conjunto tal que está en y siempre que está en , también lo está la unión . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

La inducción transfinita se puede utilizar para mostrar que cada ordinal está en . En particular, y por tanto . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L}$

• Axioma de separación : Dado cualquier conjunto y cualquier proposición , es un conjunto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$

Por inducción en subfórmulas de , se puede demostrar que existe algo que contiene y y ( es verdadero en si y solo si es verdadero en ), este último se llama " principio de reflexión "). Entonces = . Por tanto, el subconjunto está en . ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de sustitución : Dado cualquier conjunto y cualquier mapeo (formalmente definido como una proposición donde e implica ), es un conjunto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,z)}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$

Sea la fórmula que relativiza a , es decir, todos los cuantificadores en están restringidos a . es una fórmula mucho más compleja que , pero sigue siendo una fórmula finita, y como fue un mapeo terminado , debe ser un mapeo terminado ; por lo tanto podemos aplicar el reemplazo en . Entonces = es un conjunto y una subclase de . Usando nuevamente el axioma de reemplazo en , podemos demostrar que debe existir un conjunto tal que este conjunto sea un subconjunto de . Entonces se puede utilizar el axioma de separación en para terminar de demostrar que es un elemento de ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de conjunto potencia : Para cualquier conjunto existe un conjunto tal que los elementos de son precisamente los subconjuntos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

En general, algunos subconjuntos de un conjunto en no estarán en Por lo tanto, todo el conjunto de potencia de un conjunto en generalmente no estará en . Lo que necesitamos aquí es mostrar que la intersección del conjunto de potencias con está en . Utilice reemplazo en para mostrar que existe un α tal que la intersección es un subconjunto de . Entonces la intersección es . Por tanto, el conjunto requerido está en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de elección : dado un conjunto de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, hay un conjunto (un conjunto de elección para ) que contiene exactamente un elemento de cada miembro de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Se puede demostrar que existe un buen ordenamiento definible de L , en particular basado en ordenar todos los conjuntos por sus definiciones y por el rango en el que aparecen. Entonces se elige el elemento mínimo de cada miembro para formar usando los axiomas de unión y separación en ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Observe que la prueba de que es un modelo de ZFC sólo requiere que sea un modelo de ZF, es decir, no asumimos que el axioma de elección se cumpla en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

L es absoluta y mínima.

Si algún modelo estándar de ZF comparte los mismos ordinales que , entonces el definido en es el mismo que el definido en . En particular, es lo mismo en y , para cualquier ordinal . Y las mismas fórmulas y parámetros en producen los mismos conjuntos construibles en . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Además, dado que es una subclase de y, de manera similar, es una subclase de , es la clase más pequeña que contiene todos los ordinales que es un modelo estándar de ZF. De hecho, es la intersección de todas esas clases. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Si hay un conjunto en que es un modelo estándar de ZF, y el ordinal es el conjunto de ordinales que ocurren en , entonces es el de . Si hay un conjunto que es un modelo estándar de ZF, entonces el conjunto más pequeño es tal . Este conjunto se denomina modelo mínimo de ZFC. Utilizando el teorema descendente de Löwenheim-Skolem , se puede demostrar que el modelo mínimo (si existe) es un conjunto contable. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

Por supuesto, cualquier teoría consistente debe tener un modelo, por lo que incluso dentro del modelo mínimo de teoría de conjuntos hay conjuntos que son modelos de ZF (suponiendo que ZF sea consistente). Sin embargo, esos modelos establecidos no son estándar. En particular, no utilizan la relación normal entre elementos y no están bien fundamentados.

Debido a que tanto " construido dentro " como " construido dentro " dan como resultado lo real , y tanto el de como el de son lo real , obtenemos que eso es cierto en y en cualquier modelo de ZF. Sin embargo, no es válido para ningún otro modelo estándar de ZF. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$

L y cardenales grandes

Desde , las propiedades de los ordinales que dependen de la ausencia de una función u otra estructura (es decir, fórmulas) se conservan al descender de a . Por lo tanto, los ordinales iniciales de los cardenales siguen siendo iniciales en . Los ordinales regulares siguen siendo regulares en . Los cardinales de límite débil se convierten en cardinales de límite fuerte porque se cumple la hipótesis del continuo generalizado . Los cardenales débilmente inaccesibles se vuelven fuertemente inaccesibles. Los cardenales débiles de Mahlo se vuelven fuertemente Mahlo. Y de manera más general, cualquier propiedad cardinal grande menor que 0 # (consulte la lista de propiedades cardinales grandes ) se conservará en . ${\displaystyle \mathrm {Ord} \subset L\subseteq V}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Sin embargo, es falso incluso si es verdadero en . Así, todos los grandes cardinales cuya existencia implica dejan de tener esas grandes propiedades cardinales, pero conservan las propiedades más débiles que las que también poseen. Por ejemplo, los cardenales mensurables dejan de ser mensurables pero siguen siendo Mahlo en . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Si se mantiene en , entonces hay una clase cerrada e ilimitada de ordinales que son indiscernibles en . Si bien algunos de estos ni siquiera son ordinales iniciales en , tienen todas las propiedades cardinales grandes más débiles que en . Además, cualquier función de clase estrictamente creciente desde la clase de indiscernibles hacia sí misma puede extenderse de una manera única a una incrustación elemental de en . ^{[ cita necesaria ]} Esto proporciona una buena estructura de segmentos repetidos. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

L puede estar bien ordenado

Hay varias formas de ordenar bien . Algunos de ellos involucran la "estructura fina" de , que fue descrita por primera vez por Ronald Bjorn Jensen en su artículo de 1972 titulado "La estructura fina de la jerarquía construible". En lugar de explicar la estructura fina, daremos un resumen de cómo podría estar bien ordenado utilizando únicamente la definición dada anteriormente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Supongamos que y son dos conjuntos diferentes y deseamos determinar si o . Si aparece por primera vez en y aparece por primera vez en y es diferente de , entonces sea < si y solo si . De ahora en adelante suponemos que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

El escenario utiliza fórmulas con parámetros de para definir los conjuntos y . Si se descuentan (por el momento) los parámetros, a las fórmulas se les puede dar una numeración estándar de Gödel mediante números naturales. Si es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede usar para definir , y es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede usar para definir , y es diferente de , entonces sea < si y solo si en la numeración de Gödel. De ahora en adelante suponemos que . ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi <\Psi }$ ${\displaystyle \Psi =\Phi }$

Supongamos que usa parámetros de . Supongamos que es la secuencia de parámetros que se pueden utilizar para definir y hace lo mismo para . Entonces sea si y sólo si o ( y ) o ( y y ), etc. Esto se llama orden lexicográfico inverso ; si hay múltiples secuencias de parámetros que definen uno de los conjuntos, elegimos el menos bajo este orden. Entendiendo que los valores posibles de cada parámetro están ordenados de acuerdo con la restricción del ordenamiento de to , por lo que esta definición implica recursividad transfinita en . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

El buen ordenamiento de los valores de parámetros individuales lo proporciona la hipótesis inductiva de la inducción transfinita. Los valores de tuplas de parámetros están bien ordenados según el orden del producto. Las fórmulas con parámetros están bien ordenadas por la suma ordenada (por números de Gödel) de buenos ordenamientos. Y está bien ordenado por la suma ordenada (indexada por ) de los pedidos en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Tenga en cuenta que este buen orden puede definirse dentro de sí mismo mediante una fórmula de teoría de conjuntos sin parámetros, solo las variables libres y . Y esta fórmula da el mismo valor de verdad independientemente de si se evalúa en , o (algún otro modelo estándar de ZF con los mismos ordinales) y supondremos que la fórmula es falsa si cualquiera de los dos está o no en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Es bien sabido que el axioma de elección equivale a la capacidad de ordenar bien cada conjunto. Ser capaz de ordenar bien la clase adecuada (como lo hemos hecho aquí con ) es equivalente al axioma de elección global , que es más poderoso que el axioma de elección ordinario porque también cubre clases propias de conjuntos no vacíos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

L tiene un principio de reflexión.

Demostrar que el axioma de separación , el axioma de reemplazo y el axioma de elección se cumplen requiere (al menos como se muestra arriba) el uso de un principio de reflexión para . Aquí describimos tal principio. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Por inducción en , podemos usar ZF in para demostrar que para cualquier ordinal , existe un ordinal tal que para cualquier oración con in y que contenga menos símbolos que (contando un símbolo constante para un elemento de como un símbolo) obtenemos que se cumple en si y sólo si se mantiene . ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta >\alpha }$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L}$

La hipótesis del continuo generalizado se cumple en L

Sea , y sea cualquier subconjunto construible de . Luego hay algunos con , entonces , para alguna fórmula y otros extraídos de . Por el teorema descendente de Löwenheim-Skolem y el colapso de Mostowski , debe haber algún conjunto transitivo que contenga y algunos , y que tenga la misma teoría de primer orden que con el sustituido por el ; y esto tendrá el mismo cardinal que . Dado que es cierto en , también lo es en K , por lo que para algunos tiene el mismo cardinal que . Y porque y tenemos la misma teoría. De hecho , también lo es en . ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\gamma }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

Entonces todos los subconjuntos construibles de un conjunto infinito tienen rangos con (como máximo) el mismo cardinal que el rango de ; de ello se deduce que si es el ordinal inicial de , entonces sirve como el "conjunto de poderes" de dentro. De ahí este "conjunto de poderes" . Y esto a su vez significa que el "conjunto de potencias" de tiene cardinal como máximo . Suponiendo que tiene cardinal , el "conjunto de potencias" debe tener cardinal exactamente . Pero ésta es precisamente la hipótesis del continuo generalizado relativizada a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \vert \delta \vert }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L}$

Los conjuntos construibles se pueden definir a partir de los ordinales.

Existe una fórmula de la teoría de conjuntos que expresa la idea de que . Sólo tiene variables libres para y . Usando esto podemos ampliar la definición de cada conjunto construible. Si , entonces para alguna fórmula y alguna en . Esto equivale a decir que: para todo , si y sólo si [existe tal que y y ] donde es el resultado de restringir cada cuantificador a . Observe que cada uno para algunos . Combine fórmulas para 's con la fórmula para y aplique cuantificadores existenciales sobre el exterior de 's' y obtendrá una fórmula que define el conjunto construible usando solo los ordinales que aparecen en expresiones como parámetros. ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$ ${\displaystyle \Phi (\ldots )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=L_{\alpha }}$

Ejemplo: El conjunto es construible. Es el conjunto único que satisface la fórmula: ${\displaystyle \{5,\omega \}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

donde es la abreviatura de: ${\displaystyle Ord(a)}$

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

En realidad, incluso esta fórmula compleja ha sido simplificada de lo que darían las instrucciones dadas en el primer párrafo. Pero el punto sigue siendo: existe una fórmula de la teoría de conjuntos que es verdadera sólo para el conjunto construible deseado y que contiene parámetros sólo para los ordinales. ${\displaystyle S}$

Constructibilidad relativa

A veces es deseable encontrar un modelo de teoría de conjuntos que sea estrecho como , pero que incluya o esté influenciado por un conjunto que no es construible. Esto da lugar al concepto de constructibilidad relativa, del cual hay dos sabores, denotados por y . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$

La clase de un conjunto no construible es la intersección de todas las clases que son modelos estándar de la teoría de conjuntos y contienen y todos los ordinales. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L(A)}$se define por recursividad transfinita de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= el conjunto transitivo más pequeño que contiene como elemento, es decir, el cierre transitivo de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A\}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$= ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• Si es un ordinal límite, entonces . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$.

Si contiene un buen ordenamiento del cierre transitivo de , entonces esto se puede extender a un buen ordenamiento de . De lo contrario, el axioma de elección fallará en . ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L(A)}$

Un ejemplo común es el modelo más pequeño que contiene todos los números reales, que se utiliza ampliamente en la teoría descriptiva de conjuntos moderna . ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$

La clase es la clase de conjuntos cuya construcción está influenciada por , donde puede ser un conjunto (presumiblemente no construible) o una clase adecuada. La definición de esta clase usa , que es la misma excepto que en lugar de evaluar la verdad de las fórmulas en el modelo , se usa el modelo donde es un predicado unario. La interpretación prevista de es . Entonces la definición de es exactamente la de solo reemplazada por . ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle (X,\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(y)}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$

${\displaystyle L[A]}$es siempre un modelo del axioma de elección. Incluso si es un conjunto, no es necesariamente miembro de , aunque siempre lo es si es un conjunto de ordinales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$

Los conjuntos en o generalmente no son realmente construibles y las propiedades de estos modelos pueden ser bastante diferentes de las propiedades de sí mismos. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$

Ver también

• Axioma de constructibilidad
• Declaraciones verdaderas en L
• Principio de reflexión
• Teoría de conjuntos axiomáticos
• Conjunto transitivo
• L(R)
• ordinal definible

Notas

1. Godel 1938.
2. KJ Devlin, "Una introducción a la fina estructura de la jerarquía construible" (1974). Consultado el 20 de febrero de 2023.
3. KJ Devlin, Constructibilidad (1984), cap. 2, "El universo construible, p.58. Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag.
4. K. Devlin 1975, Introducción a la estructura fina de la jerarquía construible (p.2). Consultado el 12 de mayo de 2021.
5. Barwise 1975, página 60 (comentario tras la prueba del teorema 5.9)
6. P. Odifreddi, Teoría clásica de la recursión , págs.427. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas.

Referencias

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