En la teoría de conjuntos , un cardinal incontable es inaccesible si no se puede obtener a partir de cardinales más pequeños mediante las operaciones habituales de la aritmética cardinal . Más precisamente, un cardinal κ es fuertemente inaccesible si satisface las tres condiciones siguientes: es incontable, no es una suma de menos de κ cardinales menores que κ e implica .
El término "cardenal inaccesible" es ambiguo. Hasta aproximadamente 1950, significaba "cardenal débilmente inaccesible", pero desde entonces suele significar "cardenal fuertemente inaccesible". Un cardenal incontable es débilmente inaccesible si es un cardenal de límite débil regular . Es fuertemente inaccesible, o simplemente inaccesible, si es un cardinal de límite fuerte regular (esto es equivalente a la definición dada anteriormente). Algunos autores no exigen que los cardenales débil y fuertemente inaccesibles sean incontables (en cuyo caso son fuertemente inaccesibles). Los cardenales débilmente inaccesibles fueron introducidos por Hausdorff (1908), y los fuertemente inaccesibles por Sierpiński y Tarski (1930) y Zermelo (1930), en este último se los denominó junto con Grenzzahlen. [1]
Todo cardenal fuertemente inaccesible también es débilmente inaccesible, ya que todo cardenal de límite fuerte es también un cardenal de límite débil. Si se cumple la hipótesis del continuo generalizado , entonces un cardenal es fuertemente inaccesible si y sólo si es débilmente inaccesible.
( aleph-null ) es un cardinal de límite fuerte regular. Suponiendo el axioma de elección , cualquier otro número cardinal infinito es regular o un límite (débil). Sin embargo, sólo un número cardinal bastante grande puede ser ambas cosas y, por tanto, débilmente inaccesible.
Un ordinal es un cardinal débilmente inaccesible si y sólo si es un ordinal regular y es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno y ω son ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares). Un cardinal que es débilmente inaccesible y también un cardinal de límite fuerte es fuertemente inaccesible.
La suposición de la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible se aplica a veces en la forma de la suposición de que se puede trabajar dentro de un universo de Grothendieck , estando ambas ideas íntimamente conectadas.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elección (ZFC) implica que el ésimo nivel del universo de Von Neumann es un modelo de ZFC siempre que sea fuertemente inaccesible. Y ZF implica que el universo de Gödel es un modelo de ZFC siempre que sea débilmente inaccesible. Por tanto, ZF junto con "existe un cardenal débilmente inaccesible" implica que ZFC es consistente. Por tanto, los cardenales inaccesibles son un tipo de cardenal grande .
Si es un modelo estándar de ZFC y es inaccesible en , entonces: es uno de los modelos previstos por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; y es uno de los modelos previstos de la versión de Mendelson de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel que excluye la elección global y reemplaza la limitación de tamaño por el reemplazo y la elección ordinaria; y es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Aquí está el conjunto de Δ 0 subconjuntos definibles de X (ver universo construible ). Sin embargo, no es necesario que sea inaccesible, ni siquiera un número cardinal, para ser un modelo estándar de ZF (ver más abajo).
Supongamos que es un modelo de ZFC. O V no contiene inaccesibles fuertes o, considerando que es el inaccesible fuerte más pequeño en , es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles fuertes. Por tanto, la coherencia de ZFC implica la coherencia de ZFC+: "no hay inaccesibles fuertes". De manera similar, V no contiene inaccesibles débiles o, considerando que es el ordinal más pequeño que es débilmente inaccesible en relación con cualquier submodelo estándar de , entonces es un modelo estándar de ZFC que no contiene inaccesibles débiles. Entonces, la coherencia de ZFC implica la coherencia de ZFC+ "no hay inaccesibles débiles". Esto muestra que ZFC no puede probar la existencia de un cardenal inaccesible, por lo que ZFC es consistente con la no existencia de cardenales inaccesibles.
La cuestión de si ZFC es coherente con la existencia de un cardenal inaccesible es más sutil. La prueba esbozada en el párrafo anterior de que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay un cardenal inaccesible" puede formalizarse en ZFC. Sin embargo, suponiendo que ZFC es consistente, no se puede formalizar en ZFC ninguna prueba de que la consistencia de ZFC implique la consistencia de ZFC + "hay un cardenal inaccesible". Esto se desprende del segundo teorema de incompletitud de Gödel , que muestra que si ZFC + "hay un cardenal inaccesible" es consistente, entonces no puede probar su propia consistencia. Debido a que ZFC + "hay un cardenal inaccesible" prueba la consistencia de ZFC, si ZFC demostrara que su propia consistencia implica la consistencia de ZFC + "hay un cardenal inaccesible", entonces esta última teoría podría probar su propia consistencia, lo cual es imposible si es consistente.
Hay argumentos a favor de la existencia de cardenales inaccesibles que no pueden formalizarse en la ZFC. Uno de esos argumentos, presentado por Hrbáček y Jech (1999, p. 279), es que la clase de todos los ordinales de un modelo particular M de teoría de conjuntos sería en sí misma un cardinal inaccesible si hubiera un modelo más amplio de teoría de conjuntos que extendiera M y preservando el conjunto de potencias de elementos de M .
Hay muchos axiomas importantes en la teoría de conjuntos que afirman la existencia de una clase adecuada de cardinales que satisfacen un predicado de interés. En el caso de la inaccesibilidad, el axioma correspondiente es la afirmación de que para cada μ cardinal , existe un cardinal κ inaccesible que es estrictamente mayor, μ < κ . Por tanto, este axioma garantiza la existencia de una torre infinita de cardenales inaccesibles (y en ocasiones puede denominarse axioma cardinal inaccesible). Como es el caso de la existencia de cualquier cardinal inaccesible, el axioma del cardinal inaccesible no se puede demostrar a partir de los axiomas de ZFC. Suponiendo ZFC, el axioma cardinal inaccesible es equivalente al axioma universal de Grothendieck y Verdier : todo conjunto está contenido en un universo de Grothendieck . Los axiomas de ZFC junto con el axioma del universo (o equivalentemente el axioma cardinal inaccesible) se denominan ZFCU (no debe confundirse con ZFC con urelementos ). Este sistema axiomático es útil para demostrar, por ejemplo, que cada categoría tiene una incrustación Yoneda apropiada .
Este es un axioma cardinal grande relativamente débil ya que equivale a decir que ∞ es 1-inaccesible en el lenguaje de la siguiente sección, donde ∞ denota el menos ordinal que no está en V, es decir, la clase de todos los ordinales en su modelo.
El término " cardinal α -inaccesible" es ambiguo y diferentes autores utilizan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardinal κ se llama α -inaccesible , para cualquier ordinal α , si κ es inaccesible y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ (y por lo tanto de cardinalidad κ , ya que κ es regular). En este caso, los cardenales 0-inaccesibles son los mismos que los cardenales fuertemente inaccesibles. Otra posible definición es que un cardinal κ se llama α -débilmente inaccesible si κ es regular y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -débilmente inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ. En este caso los cardenales 0-débilmente inaccesibles son los cardenales regulares y los cardenales 1-débilmente inaccesibles son los cardenales débilmente inaccesibles.
Los cardinales α -inaccesibles también pueden describirse como puntos fijos de funciones que cuentan los inaccesibles inferiores. Por ejemplo, denota por ψ 0 ( λ ) el λ ésimo cardinal inaccesible, entonces los puntos fijos de ψ 0 son los 1-inaccesibles cardinales. Entonces, dejando que ψ β ( λ ) sea el λ º β - cardinal inaccesible, los puntos fijos de ψ β son los ( β +1) - cardinales inaccesibles (los valores ψ β +1 ( λ )). Si α es un ordinal límite, un α -inaccesible es un punto fijo de cada ψ β para β < α (el valor ψ α ( λ ) es el λ ésimo de dicho cardinal). Este proceso de tomar puntos fijos de funciones generando cardinales sucesivamente más grandes se encuentra comúnmente en el estudio de números cardinales grandes .
El término hiperinaccesible es ambiguo y tiene al menos tres significados incompatibles. Muchos autores lo utilizan para referirse a un límite regular de cardenales fuertemente inaccesibles (1-inaccesible). Otros autores lo utilizan para significar que κ es κ -inaccesible. (Nunca puede ser κ +1 -inaccesible). Ocasionalmente se usa para referirse al cardenal Mahlo .
El término α -hiper-inaccesible también es ambiguo. Algunos autores lo utilizan para significar α -inaccesible. Otros autores utilizan la definición de que para cualquier ordinal α , un cardinal κ es α -hiper-inaccesible si y sólo si κ es hiper-inaccesible y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -hiper-inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ .
Los cardenales hiper-hiper-inaccesibles, etc., se pueden definir de manera similar y, como siempre, este término es ambiguo.
Al utilizar "débilmente inaccesible" en lugar de "inaccesible", se pueden hacer definiciones similares para "débilmente α -inaccesible", "débilmente hiper-inaccesible" y "débilmente α -hiper-inaccesible".
Los cardenales de Mahlo son inaccesibles, hiper-inaccesibles, hiper-hiper-inaccesibles,... y así sucesivamente.
En primer lugar, un cardinal κ es inaccesible si y sólo si κ tiene la siguiente propiedad de reflexión : para todos los subconjuntos , existe tal que sea una subestructura elemental de . (De hecho, el conjunto de tales α es cerrado e ilimitado en κ .) Por lo tanto, es - indescriptible para todo n ≥ 0. Por otro lado, no existe necesariamente un ordinal tal que , y si esto se cumple, entonces debe ser el º cardenal inaccesible. [2]
En ZF se puede demostrar que ∞ satisface una propiedad de reflexión algo más débil, donde sólo se requiere que la subestructura sea "elemental" con respecto a un conjunto finito de fórmulas. En última instancia, la razón de este debilitamiento es que mientras que la relación de satisfacción teórica del modelo ⊧ puede definirse, la verdad semántica en sí (es decir ) no puede, debido al teorema de Tarski .
En segundo lugar, bajo ZFC se puede demostrar que es inaccesible si y sólo si es un modelo de ZFC de segundo orden .
En este caso, según la propiedad de reflexión anterior, existe un modelo estándar de ZFC ( primer orden ). Por tanto, la existencia de un cardinal inaccesible es una hipótesis más fuerte que la existencia de un modelo transitivo de ZFC.
Inaccesibilidad de es una propiedad sobre . [3]
