Función iterada

En matemáticas , una función iterada es una función que se obtiene al componer otra función consigo misma dos o más veces. El proceso de aplicar repetidamente la misma función se denomina iteración . En este proceso, a partir de un objeto inicial, el resultado de la aplicación de una función dada se vuelve a introducir en la función como entrada, y este proceso se repite.

Por ejemplo, en la imagen de la derecha:

L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).

Las funciones iteradas se estudian en informática , fractales , sistemas dinámicos , matemáticas y física de grupos de renormalización .

Definición

A continuación se presenta la definición formal de una función iterada en un conjunto X.

Sea $X$ un conjunto y $f : X \to X$ una función .

Definiendo $f$ $n$ como el n -ésimo iterado de $f$ , donde n es un entero no negativo, por: y $f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}$ $f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},$

donde $id X$ es la función identidad en $X$ y $\circ$ denota composición de funciones . Esta notación se remonta a John Frederick William Herschel en 1813. ^[1]^[2]^[3]^[4] Herschel le dio crédito a Hans Heinrich Bürmann por ello, pero sin dar una referencia específica al trabajo de Bürmann, que permanece sin descubrir. ^[5]

Debido a que la notación $f n$ puede referirse tanto a la iteración (composición) de la función $f$ como a la exponenciación de la función $f$ (esta última se usa comúnmente en trigonometría ), algunos matemáticos ^{[ cita requerida ]} eligen usar $\circ$ para denotar el significado compositivo, escribiendo $f \circ n (x)$ para la $n$ -ésima iteración de la función $f (x)$ , como en, por ejemplo, $f \circ3 (x)$ que significa $f (f (f (x)))$ . Para el mismo propósito, $f [n] (x)$ fue utilizado por Benjamin Peirce ^[6]^[4]^{[nb 1]} mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron $n f (x)$ en su lugar. ^[7]^[4]^{[nb 2]}

Propiedad abeliana y secuencias de iteración

En general, la siguiente identidad se cumple para todos los números enteros no negativos $m$ y $n$ ,

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

Esto es estructuralmente idéntico a la propiedad de exponenciación de que $a m a n = a m + n$ .

En general, para índices generales arbitrarios (negativos, no enteros, etc.) $m$ y $n$ , esta relación se denomina ecuación funcional de la traslación , véase la ecuación de Schröder y la ecuación de Abel . En una escala logarítmica, esto se reduce a la propiedad de anidamiento de los polinomios de Chebyshev , $T m (T n (x)) = T m n (x)$ , ya que $T n (x) = cos(n arccos(x))$ .

La relación $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ también se cumple, análoga a la propiedad de exponenciación de que $(a m) n = (a n) m = a mn$ .

La secuencia de funciones $f n$ se denomina secuencia de Picard , ^[8]^[9] llamada así en honor a Charles Émile Picard .

Para una $x$ dada en $X$ , la secuencia de valores $f n (x)$ se llama órbita de $x$ .

Si $f n (x) = f n + m (x)$ para algún entero $m > 0$ , la órbita se denomina órbita periódica . El valor más pequeño de $m$ para una $x$ dada se denomina período de la órbita . El punto $x$ en sí mismo se denomina punto periódico . El problema de detección de ciclos en informática es el problema algorítmico de encontrar el primer punto periódico en una órbita y el período de la órbita.

Puntos fijos

Si $x = f (x)$ para algún $x$ en $X$ (es decir, el período de la órbita de $x$ es $1$ ), entonces $x$ se llama un punto fijo de la secuencia iterada. El conjunto de puntos fijos a menudo se denota como $Fix (f)$ . Existen varios teoremas de punto fijo que garantizan la existencia de puntos fijos en varias situaciones, incluido el teorema del punto fijo de Banach y el teorema del punto fijo de Brouwer .

Existen varias técnicas para acelerar la convergencia de las secuencias producidas por iteración de punto fijo . ^[10] Por ejemplo, el método de Aitken aplicado a un punto fijo iterado se conoce como método de Steffensen y produce convergencia cuadrática.

Comportamiento limitante

Al iterar, se puede encontrar que hay conjuntos que se encogen y convergen hacia un único punto. En tal caso, el punto al que converge se conoce como punto fijo atractivo . Por el contrario, la iteración puede dar la apariencia de puntos que divergen de un único punto; este sería el caso de un punto fijo inestable . ^[11]

Cuando los puntos de la órbita convergen a uno o más límites, el conjunto de puntos de acumulación de la órbita se conoce como conjunto límite o conjunto ω-límite .

Las ideas de atracción y repulsión se generalizan de manera similar; se pueden clasificar las iteraciones en conjuntos estables y conjuntos inestables , según el comportamiento de los vecindarios pequeños bajo la iteración. Véase también composiciones infinitas de funciones analíticas .

Son posibles otros comportamientos limitantes; por ejemplo, los puntos errantes son puntos que se alejan y nunca vuelven ni siquiera cerca del punto de partida.

Medida invariante

Si se considera la evolución de una distribución de densidad, en lugar de la de la dinámica de puntos individuales, entonces el comportamiento límite viene dado por la medida invariante . Se puede visualizar como el comportamiento de una nube de puntos o de una nube de polvo bajo iteraciones repetidas. La medida invariante es un estado propio del operador de Ruelle-Frobenius-Perron o del operador de transferencia , correspondiente a un valor propio de 1. Los valores propios más pequeños corresponden a estados inestables y en descomposición.

En general, debido a que la iteración repetida corresponde a un desplazamiento, el operador de transferencia y su adjunto, el operador Koopman , pueden interpretarse como operadores de desplazamiento, acción sobre un espacio de desplazamiento . La teoría de subdesplazamientos de tipo finito proporciona una visión general de muchas funciones iteradas, especialmente aquellas que conducen al caos.

Iteraciones y flujos fraccionarios e iteraciones negativas

La noción $f 1/ n$ debe usarse con cuidado cuando la ecuación $g n (x) = f (x)$ tiene múltiples soluciones, lo que normalmente es el caso, como en la ecuación de Babbage de las raíces funcionales de la función identidad. Por ejemplo, para $n = 2$ y $f (x) = 4 x - 6$ , tanto $g (x) = 6 - 2 x$ como $g (x) = 2 x - 2$ son soluciones; por lo que la expresión $f 1/2 (x)$ no denota una función única, así como los números tienen múltiples raíces algebraicas. Siempre se puede obtener una raíz trivial de f si el dominio de f se puede extender lo suficiente, cf. figura. Las raíces elegidas son normalmente las que pertenecen a la órbita en estudio.

La iteración fraccionaria de una función se puede definir: por ejemplo, una semi-iteración de una función $f$ es una función $g$ tal que $g (g (x)) = f (x)$ . ^[12] Esta función $g (x)$ se puede escribir usando la notación de índice como $f 1/2 (x)$ . De manera similar, $f 1/3 (x)$ es la función definida de manera que $f 1/3 (f 1/3 (f 1/3 (x))) = f (x)$ , mientras que $f 2/3 (x)$ se puede definir como igual a $f 1/3 (f 1/3 (x))$ , y así sucesivamente, todo basado en el principio, mencionado anteriormente, de que $f m ○ f n = f m + n$ . Esta idea se puede generalizar de modo que el recuento de iteraciones $n$ se convierta en un parámetro continuo , una especie de "tiempo" continuo de una órbita continua . ^[13]^[14]

En tales casos, nos referimos al sistema como un flujo (véase la sección sobre conjugación más adelante).

Si una función es biyectiva (y por lo tanto posee una función inversa), entonces las iteraciones negativas corresponden a las inversas de funciones y sus composiciones. Por ejemplo, $f -1 (x)$ es la inversa normal de $f$ , mientras que $f -2 (x)$ es la inversa compuesta consigo misma, es decir $f -2 (x) = f -1 (f -1 (x))$ . Las iteraciones negativas fraccionarias se definen de manera análoga a las positivas fraccionarias; por ejemplo, $f -1/2 (x)$ se define de manera que $f -1/2 (f -1/2 (x)) = f -1 (x)$ , o, equivalentemente, de manera que $f -1/2 (f 1/2 (x)) = f 0 (x) = x$ .

Algunas fórmulas para la iteración fraccionaria

Uno de los varios métodos para encontrar una fórmula de serie para iteración fraccionaria, haciendo uso de un punto fijo, es el siguiente. ^[15]

Primero determine un punto fijo para la función tal que $f (a) = a$ .
Defina $f n (a) = a$ para todos los n pertenecientes a los números reales. Esta, en cierto modo, es la condición adicional más natural que se puede aplicar a las iteraciones fraccionarias.
Desarrollar $f n (x)$ alrededor del punto fijo a como una serie de Taylor , $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots$
Expandir hacia afuera $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
Sustituya $f k (a) = a$ , para cualquier k , $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
Utilice la progresión geométrica para simplificar términos. Hay un caso especial cuando $f$ $'(a) = 1$ , $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$ $f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

Esto puede continuar indefinidamente, aunque de manera ineficiente, ya que los términos se vuelven cada vez más complicados. En la siguiente sección sobre conjugación se describe un procedimiento más sistemático .

Ejemplo 1

Por ejemplo, al establecer $f (x) = Cx + D$ se obtiene el punto fijo $a = D /(1 - C)$ , por lo que la fórmula anterior termina en sólo , lo cual es trivial de verificar. $f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,$

Ejemplo 2

Halla el valor de donde esto se hace n veces (y posiblemente los valores interpolados cuando n no es un entero). Tenemos $f$ $($ $x$ $) =$ $\sqrt$ $2$ $x$ . Un punto fijo es $a$ $=$ $f$ $(2) = 2$ . ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$

Por lo tanto, si $x = 1$ y $f n (1)$ se desarrollan en torno al valor de punto fijo 2, se obtiene una serie infinita que, tomando solo los tres primeros términos, es correcta hasta el primer decimal cuando n es positivo. Véase también Tetración : $f$ $n$ $(1) =$ $n$ $\sqrt$ $2$ . Si se utiliza el otro punto fijo $a$ $=$ $f$ $(4) = 4,$ la serie diverge. ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots$

Para $n = -1$ , la serie calcula la función inversa ⁠2+en x/en 2⁠ .

Ejemplo 3

Con la función $f (x) = x b$ , expande alrededor del punto fijo 1 para obtener la serie que es simplemente la serie de Taylor de x ⁽^b^ⁿ⁾ expandida alrededor de 1. $f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,$

Conjugación

Si $f$ y $g$ son dos funciones iteradas, y existe un homeomorfismo $h$ tal que $g$ $=$ $h$ $-1$ $○$ $f$ $○$ $h$ , entonces se dice que $f$ y $g$ son topológicamente conjugadas .

Claramente, la conjugación topológica se conserva bajo iteración, ya que $g n = h -1 ○ f n ○ h$ . Por lo tanto, si se puede resolver un sistema de funciones iteradas, también se tienen soluciones para todos los sistemas topológicamente conjugados. Por ejemplo, la función de tienda de campaña es topológicamente conjugada con la función logística . Como caso especial, tomando $f (x) = x + 1$ , se tiene la iteración de $g (x) = h -1 (h (x) + 1)$ como

g n (x) = h -1 (h (x) + n)

, para cualquier función

h

Realizando la sustitución $x = h -1 (y) = ϕ (y)$ obtenemos

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

, una forma conocida como ecuación de Abel .

Incluso en ausencia de un homeomorfismo estricto, cerca de un punto fijo, aquí tomado como $x$ = 0, $f$ (0) = 0, a menudo se puede resolver ^[16] la ecuación de Schröder para una función Ψ, que hace que $f (x)$ sea localmente conjugada a una mera dilatación, $g (x) = f'(0) x$ , es decir

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ(x))

Por lo tanto, su órbita de iteración, o flujo, bajo disposiciones adecuadas (por ejemplo, $f'(0) \neq 1$ ), equivale al conjugado de la órbita del monomio,

Ψ -1 (f'(0) n Ψ(x))

donde $n$ en esta expresión sirve como exponente simple: ¡ la iteración funcional se ha reducido a la multiplicación! Aquí, sin embargo, el exponente $n$ ya no necesita ser entero o positivo, y es un "tiempo" continuo de evolución para la órbita completa: ^[17] el monoide de la secuencia de Picard (cf. semigrupo de transformación ) se ha generalizado a un grupo continuo completo . ^[18]

Este método (determinación perturbativa de la función propia principal Ψ, cf. matriz de Carleman ) es equivalente al algoritmo de la sección anterior, aunque, en la práctica, más potente y sistemático.

Cadenas de Markov

Si la función es lineal y puede describirse mediante una matriz estocástica , es decir, una matriz cuyas filas o columnas suman uno, entonces el sistema iterado se conoce como cadena de Markov .

Ejemplos

Existen muchos mapas caóticos . Las funciones iteradas más conocidas incluyen el conjunto de Mandelbrot y los sistemas de funciones iteradas .

Ernst Schröder , ^[20] en 1870, elaboró casos especiales del mapa logístico , como el caso caótico $f (x) = 4 x (1 - x)$ , de modo que $Ψ(x) = arcsin(\sqrt x) 2$ , por lo tanto $f n (x) = sin(2 n arcsin(\sqrt x)) 2$ .

Schröder también ilustró un caso no caótico con su método, $f (x) = 2 x (1 - x)$ , y obtuvo $Ψ(x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ln(1 - 2 x)$ , y por lo tanto $f n (x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ((1 - 2 x) 2 n - 1)$ .

Si $f$ es la acción de un elemento de un grupo sobre un conjunto, entonces la función iterada corresponde a un grupo libre .

La mayoría de las funciones no tienen expresiones explícitas generales en forma cerrada para la iteración n -ésima. La tabla siguiente enumera algunas ^[20] que sí las tienen. Tenga en cuenta que todas estas expresiones son válidas incluso para números no enteros y negativos n , así como para números enteros no negativos n .

Nota: estos dos casos especiales de $ax 2 + bx + c$ son los únicos casos que tienen una solución en forma cerrada. Elegir b = 2 = – a y b = 4 = – a , respectivamente, los reduce aún más a los casos logísticos no caóticos y caóticos analizados antes de la tabla.

Algunos de estos ejemplos están relacionados entre sí mediante conjugaciones simples.

Medios de estudio

Las funciones iteradas se pueden estudiar con la función zeta de Artin-Mazur y con operadores de transferencia .

En informática

En informática , las funciones iteradas se presentan como un caso especial de funciones recursivas , que a su vez fundamentan el estudio de temas tan amplios como el cálculo lambda , o más específicos, como la semántica denotacional de los programas informáticos.

Definiciones en términos de funciones iteradas

Se pueden definir dos funciones importantes en términos de funciones iteradas. Estas son la suma :

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

y el producto equivalente:

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

Derivada funcional

La derivada funcional de una función iterada viene dada por la fórmula recursiva:

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

Ecuación de transporte de datos de Lie

Las funciones iteradas surgen en la expansión en serie de funciones combinadas, como $g (f (x))$ .

Dada la velocidad de iteración , o función beta (física) ,

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

Para el $n$ ^-ésimo iterado de la función $f$ , tenemos ^[22]

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).

Por ejemplo, para la advección rígida, si $f (x) = x + t$ , entonces $v (x) = t$ . En consecuencia, $g (x + t) = exp(t \partial/\partial x) g (x) , acción mediante un$ operador de desplazamiento simple .

Por el contrario, se puede especificar $f (x)$ dado un $v (x)$ arbitrario , a través de la ecuación genérica de Abel discutida anteriormente,

f(x)=h^{-1}(h(x)+1),

dónde

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.

Esto queda claro al observar que

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.

Para el índice de iteración continua $t$ , entonces, ahora escrito como subíndice, esto equivale a la célebre realización exponencial de Lie de un grupo continuo,

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).

La velocidad de flujo inicial $v$ es suficiente para determinar todo el flujo, dada esta realización exponencial que proporciona automáticamente la solución general a la ecuación funcional de la traducción , ^[23]

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.

Véase también

Notas

^ mientras que $f (n)$ se toma como la derivada $n- ésima$
^ La notación $n$ $f$ $($ $x$ $)$ de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907) para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación $n$ $x$ de Rudolf von Bitter Rucker (1982) , introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con la notación pre-superíndice $n$ $x$ de David Patterson Ellerman (1995) para raíces .

Referencias

^ Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "Sobre una notable aplicación del teorema de Cotes". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 103 (Parte 1). Londres: Royal Society of London , impreso por W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, vendido por G. y W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384. S2CID 118124706.
^ Herschel, John Frederick William (1820). «Parte III. Sección I. Ejemplos del método directo de diferencias». Una colección de ejemplos de las aplicaciones del cálculo de diferencias finitas . Cambridge, Reino Unido: Impreso por J. Smith, vendido por J. Deighton & sons. págs. 1–13 [5–6]. Archivado desde el original el 2020-08-04 . Consultado el 2020-08-04 .[1] (NB. Aquí, Herschel se refiere a su trabajo de 1813 y menciona el trabajo más antiguo de Hans Heinrich Bürmann ).
^ Peano, Giuseppe (1903). Formulario matemático (en francés). vol. IV. pag. 229.
^ abc Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. "§472. La potencia de un logaritmo / §473. Logaritmos iterados / §533. Notación de John Herschel para funciones inversas / §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas / §537. Potencias de funciones trigonométricas". Una historia de las notaciones matemáticas. Vol. 2 (3.ª edición corregida de la edición de 1929, 2.ª ed.). Chicago, EE. UU.: Open Court Publishing Company . pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN. 978-1-60206-714-1. Consultado el 18 de enero de 2016. […] §473. Logaritmos iterados […] Notamos aquí el simbolismo usado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto en la Encyclopédie : " ² log _b a = log _b (log _b a ), …, ^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b a )." ^[a] […] §533. La notación de John Herschel para funciones inversas, sen ⁻¹ x , tan ⁻¹ x , etc., fue publicada por él en Philosophical Transactions of London , para el año 1813. Dice (p. 10): "Esta notación cos. ⁻¹ e no debe entenderse como 1/cos. e , sino lo que usualmente se escribe así, arc (cos.= e )". Admite que algunos autores usan cos. ^m A para (cos. A ) ^m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d ² x , Δ ³ x , Σ ² x significa dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , deberíamos escribir sen. ² x para sen. sen. x , log. ³ x para log. log. log. x . Así como escribimos d ^{− n} V=∫ ⁿ V, podemos escribir de manera similar sen. ⁻¹ x =arc (sen.= x ), log. ⁻¹ x .=c ^x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 utilizó f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sen. ⁻¹ x , etc., "como supuso entonces por primera vez. Sin embargo, en estos pocos meses ha llegado a su conocimiento el trabajo de un analista alemán, Burmann , en el que se explica lo mismo en una fecha considerablemente anterior. Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan ⁻¹, etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones al que da lugar". Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias perspectivas que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". ^[b] […] §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas. — […] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en los libros de Benjamin Peirce , para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos ^[−1] x ", "log ^[−1] x ". [ ^c] […] §537. Potencias de funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, por ejemplo, el cuadrado de sen x , a saber, (sen x ) ² , sen x ² , sen ² x . La notación predominante en la actualidad es sen ² x , aunque la primera es la menos propensa a ser malinterpretada. En el caso de sen ² x se sugieren dos interpretaciones: primero, sen x ⋅ sen x ; segundo, ^[d] sen (sen x ). Como las funciones del último tipo no se presentan habitualmente, el peligro de mala interpretación es mucho menor que en el caso de log ² x , donde log x ⋅ log x y log (log x ) son de aparición frecuente en el análisis. […] La notación sen ⁿ x para (sen x ) ⁿ ha sido ampliamente utilizada y ahora es la que prevalece. […](xviii+367+1 páginas incluyendo 1 página de adenda) (NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2.ª edición por Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
^ Gulick, Denny; Ford, Jeff (2024). Encuentros con el caos y los fractales (3.ª ed.). CRC Press. pág. 2. ISBN 9781003835776.
^ Peirce, Benjamin (1852). Curvas, funciones y fuerzas . Vol. I (nueva ed.). Boston, EE. UU., pág. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Pringsheim, Alfredo ; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (en francés). vol. I.p. 195. Parte I.
^ Kuczma, Marek (1968). Ecuaciones funcionales en una sola variable . Monografía Matematyczne. Warszawa: PWN - Editores científicos polacos.
^ Kuczma, M., Choczewski B. y Ger, R. (1990). Ecuaciones funcionales iterativas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993). Dinámica compleja . Universitext: Tratados de Matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
^ Istratescu, Vasile (1981). Teoría del punto fijo, una introducción , D. Reidel, Holanda. ISBN 90-277-1224-7 .
^ "Encontrar f tal que f(f(x))=g(x) dado g". MathOverflow .
^ Aldrovandi, R.; Freitas, LP (1998). "Iteración continua de aplicaciones dinámicas". J. Math. Phys . 39 (10): 5324. arXiv : physics/9712026 . Bibcode :1998JMP....39.5324A. doi :10.1063/1.532574. hdl : 11449/65519 . S2CID: 119675869.
^ Berkolaiko, G.; Rabinovich, S.; Havlin, S. (1998). "Análisis de la representación de Carleman de las recursiones analíticas". J. Math. Anal. Appl . 224 : 81–90. doi : 10.1006/jmaa.1998.5986 .
^ "Tetration.org".
^ Kimura, Tosihusa (1971). "Sobre la iteración de funciones analíticas", Funkcialaj Ekvacioj Archivado el 26 de abril de 2012 en Wayback Machine . 14 , 197-238.
^ Curtright, TL ; Zachos, CK (2009). "Perfiles de evolución y ecuaciones funcionales". Journal of Physics A . 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Código Bibliográfico :2009JPhA...42V5208C. doi :10.1088/1751-8113/42/48/485208. S2CID 115173476.
^ Como ejemplo explícito, el ejemplo 2 anterior equivale simplemente a $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ , para cualquier n , no necesariamente entero, donde Ψ es la solución de la ecuación de Schröder pertinente , $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . Esta solución es también el límite infinito m de $(f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .
^ Curtright, TL Superficies de evolución y métodos funcionales de Schröder.
^ ab Schröder, Ernst (1870). "Ueber iterirte Functionen". Matemáticas. Ana . 3 (2): 296–322. doi :10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.
^ Brand, Louis, "Una secuencia definida por una ecuación diferencial", American Mathematical Monthly 62 , septiembre de 1955, 489–492. en línea
^ Berkson, E.; Porta, H. (1978). "Semigrupos de funciones analíticas y operadores de composición". The Michigan Mathematical Journal . 25 : 101–115. doi : 10.1307/mmj/1029002009 . Curtright, TL; Zachos, CK (2010). "Mapas caóticos, flujos hamiltonianos y métodos holográficos". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode :2010JPhA...43R5101C. doi :10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID 115176169.
^ Aczel, J. (2006), Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones (Dover Books on Mathematics, 2006), cap. 6, ISBN 978-0486445236 .

Enlaces externos

Gill, John (enero de 2017). "Una introducción a la teoría elemental de composiciones infinitas de funciones complejas". Universidad Estatal de Colorado.