En matemáticas , el operador de transferencia codifica información sobre un mapa iterado y se utiliza con frecuencia para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos , mecánica estadística , caos cuántico y fractales . En todos los casos habituales, el valor propio más grande es 1 y el vector propio correspondiente es la medida invariante del sistema.
El operador de transferencia a veces se denomina operador de Ruelle , en honor a David Ruelle , u operador de Perron-Frobenius u operador de Ruelle-Perron-Frobenius , en referencia a la aplicabilidad del teorema de Perron-Frobenius a la determinación de los valores propios del operador.
La función iterada que se va a estudiar es una función para un conjunto arbitrario .
El operador de transferencia se define como un operador que actúa sobre el espacio de funciones como
donde es una función de valoración auxiliar. Cuando tiene un determinante jacobiano , entonces se considera generalmente que es .
La definición anterior del operador de transferencia puede demostrarse como el límite de conjunto de puntos del empuje hacia delante de la teoría de la medida de g : en esencia, el operador de transferencia es el funtor de imagen directa en la categoría de espacios medibles . El adjunto izquierdo del operador de Perron-Frobenius es el operador de Koopman u operador de composición . La configuración general la proporciona el cálculo funcional de Borel .
Como regla general, el operador de transferencia puede interpretarse habitualmente como un operador de desplazamiento (a la izquierda) que actúa sobre un espacio de desplazamientos . Los desplazamientos más estudiados son los subdesplazamientos de tipo finito . El adjunto al operador de transferencia también puede interpretarse habitualmente como un desplazamiento a la derecha. Entre los desplazamientos a la derecha especialmente estudiados se encuentran el operador de Jacobi y la matriz de Hessenberg , que generan sistemas de polinomios ortogonales mediante un desplazamiento a la derecha.
Mientras que la iteración de una función conduce naturalmente a un estudio de las órbitas de los puntos de X bajo iteración (el estudio de la dinámica de puntos ), el operador de transferencia define cómo evolucionan los mapas (suaves) bajo iteración. Por lo tanto, los operadores de transferencia suelen aparecer en problemas de física , como el caos cuántico y la mecánica estadística , donde la atención se centra en la evolución temporal de las funciones suaves. A su vez, esto tiene aplicaciones médicas para el diseño racional de fármacos , a través del campo de la dinámica molecular .
Suele suceder que el operador de transferencia sea positivo, tenga valores propios reales positivos discretos y el valor propio más grande sea igual a uno. Por este motivo, el operador de transferencia a veces se denomina operador de Frobenius-Perron.
Las funciones propias del operador de transferencia suelen ser fractales. Cuando el logaritmo del operador de transferencia corresponde a un hamiltoniano cuántico , los valores propios estarán típicamente muy próximos entre sí y, por lo tanto, incluso un conjunto muy estrecho y cuidadosamente seleccionado de estados cuánticos abarcará una gran cantidad de estados propios fractales muy diferentes con soporte distinto de cero en todo el volumen. Esto se puede utilizar para explicar muchos resultados de la mecánica estadística clásica, incluida la irreversibilidad del tiempo y el aumento de la entropía .
El operador de transferencia de la función Bernoulli es resoluble con exactitud y es un ejemplo clásico de caos determinista ; los valores propios discretos corresponden a los polinomios de Bernoulli . Este operador también tiene un espectro continuo que consiste en la función zeta de Hurwitz .
El operador de transferencia del mapa de Gauss se denomina operador Gauss–Kuzmin–Wirsing (GKW) . La teoría del GKW se remonta a una hipótesis de Gauss sobre fracciones continuas y está estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann .
