Ecuación de Abel

Ecuación para la función que calcula valores iterados

La ecuación de Abel , llamada así por Niels Henrik Abel , es un tipo de ecuación funcional de la forma

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

o

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$.

Las formas son equivalentes cuando α es invertible . h o α controlan la iteración de f .

Equivalencia

La segunda ecuación se puede escribir

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Tomando x = α ⁻¹ ( y ) , la ecuación se puede escribir

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Para una función conocida f ( x ) , un problema es resolver la ecuación funcional para la función α ⁻¹ ≡ h , posiblemente satisfaciendo requisitos adicionales, tales como α ⁻¹ (0) = 1 .

El cambio de variables s ^{α ( x )} = Ψ( x ) , para un parámetro real s , convierte la ecuación de Abel en la célebre ecuación de Schröder , Ψ( f ( x )) = s  Ψ( x ) .

El cambio adicional F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} ) en la ecuación de Böttcher , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción , ^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

p.ej., para , ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$. (Observe ω ( x ,0) = x .)

La función Abel α ( x ) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie ( grupos de Lie de un parámetro ).

Historia

Inicialmente, se presentó la ecuación en su forma más general ^{[2] [3] . Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial. [4] [5] [6]}

En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta. ^[7]

Casos especiales

La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp .

En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

etcétera,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

Soluciones

La ecuación de Abel tiene al menos una solución en si y sólo si para todos y todos , , donde , es la función f iterada n veces. ^[8] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$ ${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

Las soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) se pueden aproximar mediante la expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor de un punto fijo parabólico . ^[9] La solución analítica es única hasta una constante. ^[10]

Véase también

• Ecuación funcional
  • La ecuación de Schröder
  • Ecuación de Böttcher
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función iterada
• Operador de turno
• Superfunción

Referencias

1. Aczél, János , (1966): Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , reimpreso por Dover Publications, ISBN  0486445232 .
2. Abel, Nueva Hampshire (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1 : 11-15.
3. AR Schweitzer (1912). "Teoremas sobre ecuaciones funcionales". Bull. Amer. Math. Soc . 19 (2): 51–106. doi : 10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 .
4. Korkine, A (1882). "Sobre un problema de interpolación", Bull Sci Math & Astron 6 (1) 228—242. en línea
5. G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "Las soluciones real-analíticas de las ecuaciones funcionales de Abel" (PDF) . Studia Mathematica . 134 (2): 135–141.
6. Jitka Laitochová (2007). "Iteración de grupo para la ecuación funcional de Abel". Análisis no lineal: sistemas híbridos . 1 (1): 95–102. doi :10.1016/j.nahs.2006.04.002.
7. G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "La ecuación de Abel y la solubilidad total de ecuaciones funcionales lineales" (PDF) . Studia Mathematica . 127 : 81–89.
8. R. Tambs Lyche, Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, Universidad de Trondlyim, Noruega
9. Dudko, Artem (2012). Dinámica de mapas holomorfos: resurgimiento de las coordenadas de Fatou y computabilidad politemporal de los conjuntos de Julia Tesis doctoral
10. Clasificaciones de gérmenes parabólicos y propiedades fractales de órbitas por Maja Resman, Universidad de Zagreb, Croacia