Composiciones infinitas de funciones analíticas

Teoría matemática sobre la composición de funciones iteradas infinitamente

En matemáticas, las composiciones infinitas de funciones analíticas (ICAF) ofrecen formulaciones alternativas de fracciones continuas analíticas , series , productos y otras expansiones infinitas, y la teoría que evoluciona a partir de tales composiciones puede arrojar luz sobre la convergencia/divergencia de estas expansiones. Algunas funciones pueden, de hecho, expandirse directamente como composiciones infinitas. Además, es posible utilizar ICAF para evaluar soluciones de ecuaciones de punto fijo que involucran expansiones infinitas. La dinámica compleja ofrece otro lugar para la iteración de sistemas de funciones en lugar de una sola función. Para composiciones infinitas de una sola función , consulte Función iterada . Para composiciones de un número finito de funciones, útiles en la teoría fractal , consulte Sistema de función iterada .

Aunque el título de este artículo especifica funciones analíticas, también hay resultados para funciones más generales de una variable compleja .

Notación

Existen varias notaciones que describen composiciones infinitas, incluidas las siguientes:

Composiciones de avance: ${\displaystyle F_{k,n}(z)=f_{k}\circ f_{k+1}\circ \dots \circ f_{n-1}\circ f_{n}(z).}$

Composiciones al revés: ${\displaystyle G_{k,n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{k+1}\circ f_{k}(z).}$

En cada caso la convergencia se interpreta como la existencia de los siguientes límites:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z),\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z).}$

Para mayor comodidad, establezca F _n ( z ) = F _{1, n} ( z ) y G _n ( z ) = G _{1, n} ( z ) .

También se puede escribir y ${\displaystyle F_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z)}$ ${\displaystyle G_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1}(z)}$

Teorema de contracción

Muchos resultados pueden considerarse extensiones del siguiente resultado:

Teorema de contracción para funciones analíticas ^[1]  —  Sea f analítica en una región simplemente conexa S y continua en la clausura S de S . Supóngase que f ( S ) es un conjunto acotado contenido en S . Entonces, para todo z en S existe un punto fijo atractivo α de f en S tal que: $${\displaystyle F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha .}$$

Composiciones infinitas de funciones contractivas

Sea { f _n } una secuencia de funciones analíticas en un dominio simplemente conexo S . Supóngase que existe un conjunto compacto Ω ⊂ S tal que para cada n , f _n ( S ) ⊂ Ω.

Teorema de composición hacia adelante (interna o derecha)  :  { F _n } converge uniformemente en subconjuntos compactos de S a una función constante F ( z ) = λ . ^[2]

Teorema de composiciones hacia atrás (externas o izquierdas)  :  { G _n } converge uniformemente en subconjuntos compactos de S a γ ∈ Ω si y solo si la secuencia de puntos fijos { γ _n } de { f _n } converge a γ . ^[3]

La teoría adicional resultante de las investigaciones basadas en estos dos teoremas, particularmente el Teorema de Composiciones Hacia Adelante, incluye el análisis de ubicación para los límites obtenidos en la siguiente referencia. ^[4] Para un enfoque diferente al Teorema de Composiciones Hacia Atrás, vea la siguiente referencia. ^[5]

Con respecto al Teorema de Composiciones Inversas, el ejemplo f _{2 n} ( z ) = 1/2 y f _{2 n −1} ( z ) = −1/2 para S = { z  : | z | < 1} demuestra la insuficiencia de simplemente requerir la contracción en un subconjunto compacto, como el Teorema de Composiciones Directas.

Para funciones no necesariamente analíticas basta la condición de Lipschitz :

Teorema ^[6]  —  Supóngase que es un subconjunto compacto simplemente conexo de y sea una familia de funciones que satisface Defina: Entonces uniformemente en Si es el único punto fijo de entonces uniformemente en si y solo si . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t_{n}:S\to S}$ $${\displaystyle \forall n,\forall z_{1},z_{2}\in S,\exists \rho :\quad \left|t_{n}(z_{1})-t_{n}(z_{2})\right|\leq \rho |z_{1}-z_{2}|,\quad \rho <1.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}(z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle F_{n}(z)\to \beta \in S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}(z)\to \alpha }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0}$

Composiciones infinitas de otras funciones

Funciones complejas no contractivas

Los resultados que involucran funciones completas incluyen los siguientes, como ejemplos.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}}\right\}\end{aligned}}}$

Entonces se cumplen los siguientes resultados:

Teorema E1 ^[7]  —  Si a _n ≡ 1, entonces F _n → F es entero. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty }$$

Teorema E2 ^[8]  —  Conjunto ε _n = | a _n −1 | supongamos que existen δ _n , M ₁ , M ₂ , R no negativos tales que se cumple lo siguiente: Entonces G _n ( z ) → G ( z ) es analítico para | z | < R . La convergencia es uniforme en subconjuntos compactos de { z  : | z | < R }. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_{2}}}.\end{aligned}}}$$

Los resultados elementales adicionales incluyen:

Teorema GF3 ^[6]  —  Supóngase que donde existen tales que implica Además, supóngase que y Entonces para ${\displaystyle f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)}$ ${\displaystyle R,M>0}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle |\varphi _{k}(z)|<M,\forall k,\ }$ ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$ $${\displaystyle G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}$$

Teorema GF4 ^[6]  —  Supóngase donde existen tales que y implica y Además, supóngase y Entonces para ${\displaystyle f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)}$ ${\displaystyle R,M>0}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle |\zeta |<R}$ ${\displaystyle |\varphi _{k}(z)|<M}$ ${\displaystyle |\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(\zeta )|\leq r|z-\zeta |,\forall k.\ }$ ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$ $${\displaystyle F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}$$

Ejemplo GF1 : ^[9] ${\displaystyle F_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {R} }}}\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{4^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\qquad [-20,20]}$

Ejemplo GF1: Universo reproductivo: una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.

Ejemplo GF2 : ${\displaystyle G_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {L} }}}\,\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{2^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\ [-20,20]}$

Ejemplo GF2: Metrópolis a 30K – Una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.

Transformaciones fraccionarias lineales

Los resultados ^[8] para composiciones de transformaciones fraccionarias lineales (Möbius) incluyen los siguientes, como ejemplos:

Teorema LFT1  :  En el conjunto de convergencia de una secuencia { F _n } de LFT no singulares, la función límite es:

1. una LFT no singular,
2. una función que toma dos valores distintos, o
3. una constante

En (a), la sucesión converge en todas partes del plano extendido. En (b), la sucesión converge en todas partes y al mismo valor en todas partes excepto en un punto, o converge sólo en dos puntos. El caso (c) puede ocurrir con cada conjunto posible de convergencia. ^[10]

Teorema LFT2 ^[11]  —  Si { F _n } converge a una LFT, entonces f _n converge a la función identidad f ( z ) = z .

Teorema LFT3 ^[12]  —  Si f _n → f y todas las funciones son transformaciones de Möbius hiperbólicas o loxodrómicas , entonces F _n ( z ) → λ , una constante, para todo , donde { β _n } son los puntos fijos repulsivos de { f _n }. ${\textstyle z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}}$

Teorema LFT4 ^[13]  —  Si f _n → f donde f es parabólica con punto fijo γ . Sean los puntos fijos de { f _n } { γ _n } y { β _n }. Si entonces F _n ( z ) → λ , una constante en el plano complejo extendido, para todo z . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty }$$

Ejemplos y aplicaciones

Fracciones continuas

El valor de la fracción continua infinita

${\displaystyle {\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}}$

puede expresarse como el límite de la secuencia { F _n (0)} donde

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.}$

Como ejemplo sencillo, un resultado bien conocido (el teorema del círculo de Worpitsky ^[14] ) se desprende de una aplicación del teorema (A):

Considere la fracción continua

${\displaystyle {\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}}$

con

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.}$

Estipule que |ζ| < 1 y | z | < R < 1. Entonces, para 0 < r < 1,

${\displaystyle |a_{n}|<rR(1-R)\Rightarrow \left|f_{n}(z)\right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )}$, analítico para | z | < 1. Establezca R = 1/2.

Ejemplo. ${\displaystyle F(z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,}$ ${\displaystyle [-15,15]}$

Ejemplo: Fracción continua1 – Imagen topográfica (módulos) de una fracción continua (una por cada punto) en el plano complejo. [−15,15]

Ejemplo. ^[8] Una forma de fracción continua de punto fijo (una sola variable).

${\displaystyle f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n}\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n}(z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{n,n}\right)(z)}$

${\displaystyle \alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i\sin(tx),t=k/n}$

Ejemplo: Broche infinito - Imagen topográfica (módulos) de una forma de fracción continua en el plano complejo. (6<x<9,6),(4,8<y<8)

Expansión funcional directa

A continuación se ofrecen ejemplos que ilustran la conversión de una función directamente en una composición:

Ejemplo 1. ^{[7] [15]} Supongamos que es una función entera que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)&|t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{cases}}}$

Entonces

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)}$.

Ejemplo 2. ^[7]

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)}$

Ejemplo 3. ^[6]

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)}$

Ejemplo 4. ^[6]

${\displaystyle g_{n}(z)={\frac {2\cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n}(z)\to \arctan(z)}$

Cálculo de puntos fijos

El teorema (B) se puede aplicar para determinar los puntos fijos de funciones definidas por expansiones infinitas o ciertas integrales. Los siguientes ejemplos ilustran el proceso:

Ejemplo FP1. ^[3] Para | ζ | ≤ 1 sea

${\displaystyle G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }}{4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12}}{3+\zeta +\cdots }}}}}}}$

Para encontrar α = G (α), primero definimos:

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}(z)&={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}}$

Luego calcula con ζ = 1, lo que da: α = 0,087118118... con diez decimales después de diez iteraciones. ${\displaystyle G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )}$

Teorema FP2 ^[8]  —  Sea φ ( ζ , t ) analítico en S = { z  : | z | < R } para todo t en [0, 1] y continuo en t . Conjunto Si | φ ( ζ , t ) | ≤ r < R para ζ ∈ S y t ∈ [0, 1], entonces tiene una solución única, α en S , con $${\displaystyle f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n}}\right).}$$ $${\displaystyle \zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .}$

Funciones de evolución

Consideremos un intervalo de tiempo, normalizado a I = [0, 1]. Las ICAF se pueden construir para describir el movimiento continuo de un punto, z , a lo largo del intervalo, pero de tal manera que en cada "instante" el movimiento sea virtualmente cero (ver la Flecha de Zenón ): Para el intervalo dividido en n subintervalos iguales, 1 ≤ k ≤ n conjunto analítico o simplemente continuo – en un dominio S , tal que ${\displaystyle g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0}$para todo k y todo z en S ,

y . ${\displaystyle g_{k,n}(z)\in S}$

Ejemplo principal

Fuente: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}}$

implica

${\displaystyle \lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt,}$

donde la integral está bien definida si tiene una solución de forma cerrada z ( t ). Entonces ${\displaystyle {\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)}$

${\displaystyle \lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.}$

De lo contrario, el integrando queda mal definido, aunque el valor de la integral se calcula fácilmente. En este caso, se podría decir que la integral es una integral "virtual".

Ejemplo. ${\displaystyle \phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x\cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt}$

Ejemplo 1: Túneles virtuales – Imagen topográfica (módulos) de integrales virtuales (una para cada punto) en el plano complejo. [−10,10]

Dos contornos que fluyen hacia un punto fijo atractivo (rojo a la izquierda). El contorno blanco ( c = 2 ) termina antes de alcanzar el punto fijo. El segundo contorno ( c ( n ) = raíz cuadrada de n ) termina en el punto fijo. Para ambos contornos, n = 10.000

Ejemplo. Sea:

${\displaystyle g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).}$

A continuación, establezca y T _n ( z ) = T _n,n ( z ). Sea ${\displaystyle T_{1,n}(z)=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),}$

${\displaystyle T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)}$

cuando existe ese límite. La sucesión { T _n ( z )} define contornos γ = γ( c _n , z ) que siguen el flujo del campo vectorial f ( z ). Si existe un punto fijo atractivo α, es decir | f ( z ) − α| ≤ ρ| z − α| para 0 ≤ ρ < 1, entonces T _n ( z ) → T ( z ) ≡ α a lo largo de γ = γ( c _n , z ), siempre que (por ejemplo) . Si c _n ≡ c > 0, entonces T _n ( z ) → T ( z ), un punto en el contorno γ = γ( c , z ). Se ve fácilmente que ${\displaystyle c_{n}={\sqrt {n}}}$

${\displaystyle \oint _{\gamma }\phi (\zeta )\,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k-1,n}(z)\right)}$

y

${\displaystyle L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,}$

cuando estos límites existen.

Estos conceptos están marginalmente relacionados con la teoría del contorno activo en el procesamiento de imágenes y son generalizaciones simples del método de Euler.

Expansiones autorreplicantes

Serie

La serie definida recursivamente por f _n ( z ) = z + g _n ( z ) tiene la propiedad de que el término n se predica de la suma de los primeros n  − 1 términos. Para emplear el teorema (GF3) es necesario mostrar acotación en el siguiente sentido: Si cada f _n está definida para | z | < M entonces | G _n ( z )| < M debe seguir antes de que | f _n ( z ) −  z | = | g _n ( z )| ≤  Cβ _n se defina para fines iterativos. Esto se debe a que ocurre a lo largo de la expansión. La restricción ${\displaystyle g_{n}(G_{n-1}(z))}$

${\displaystyle |z|<R=M-C\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0}$

sirve para este propósito. Entonces G _n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.

Ejemplo (S1). Conjunto

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt {z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}}$

y M = ρ ² . Entonces R = ρ ² − (π/6) > 0. Entonces, si , z en S implica | G _n ( z )| < M y se aplica el teorema (GF3), de modo que ${\displaystyle S=\left\{z:|z|<R,\operatorname {Re} (z)>0\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end{aligned}}}$

converge absolutamente, por lo tanto es convergente.

Ejemplo (S2) : ${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50}$

Ejemplo (S2): Una imagen topográfica (módulos) de una serie autogenerada.

Productos

El producto definido recursivamente por

${\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,}$

tiene la apariencia

${\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right).}$

Para aplicar el Teorema GF3 se requiere que:

${\displaystyle \left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .}$

Una vez más, una condición de acotación debe soportar

${\displaystyle \left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.}$

Si se conoce Cβ _n de antemano, bastará lo siguiente:

${\displaystyle |z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{where}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+C\beta _{n}\right).}$

Entonces G _n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.

Ejemplo (P1). Supongamos que, tras unos cálculos preliminares, observamos que | z | ≤ 1/4 implica | G _n ( z )| < 0,27. Entonces ${\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))}$ ${\displaystyle g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},}$

${\displaystyle \left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right|<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}}$

y

${\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)}$

converge uniformemente.

Ejemplo (P2).

${\displaystyle g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n}}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),}$

${\displaystyle G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n}(z)),}$

${\displaystyle P_{k,n}(z)={\frac {1}{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),}$

${\displaystyle \varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1}(z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:}$

Ejemplo (P2): El universo de Picasso: una integral virtual derivada de un producto infinito autogenerado. Haga clic en la imagen para verla en mayor resolución.

Fracciones continuas

Ejemplo (CF1) : Una fracción continua autogenerada. ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots {\frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos(y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0<y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}}$

Ejemplo CF1: Rendimientos decrecientes: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua autogenerada.

Ejemplo (CF2) : Se describe mejor como una fracción continua de Euler inversa autogenerada . ^[8]

${\displaystyle G_{n}(z)={\frac {\rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z))}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}(z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},}$

${\displaystyle \rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x),\qquad [-15,15],n=30}$

Ejemplo CF2: Sueño de oro: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua de Euler inversa autogenerada.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Fracción continua generalizada

Referencias

1. Henrici, P. (1988) [1974]. Análisis complejo computacional y aplicado. Vol. 1. Wiley. ISBN 978-0-471-60841-7.
2. Lorentzen, Lisa (noviembre de 1990). "Composiciones de contracciones". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 32 (1–2): 169–178. doi : 10.1016/0377-0427(90)90428-3 .
3. Gill, J. (1991). "El uso de la secuencia F _n (z)=f _n ∘⋯∘f ₁ (z) en el cálculo de los puntos fijos de fracciones continuas, productos y series". Appl. Numer. Math . 8 (6): 469–476. doi :10.1016/0168-9274(91)90109-D.
4. Keen, Linda; Lakic, Nikola (2007). "Constantes de acumulación de sistemas de funciones iteradas con dominios objetivo de Bloch". Annales Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica . 32 (1). Helsinki: Academia Finlandesa de Ciencias y Letras.
5. Keen, Linda; Lakic, Nikola (2003). "Sistemas de funciones iteradas hacia adelante". En Jiang, Yunping; Wang, Yuefei (eds.). Dinámica compleja y temas relacionados: conferencias del Centro de Matemáticas Morningside (PDF) . Sommerville: International Press. págs. 292–299. ISBN 1-57146-121-3.OCLC 699694753  .
6. Gill, J. (2017). "Una introducción a la teoría elemental de composiciones infinitas de funciones complejas" (PDF) . Comunicaciones en la teoría analítica de fracciones continuas . XXIII .
7. Kojima, Shota (mayo de 2012). "Sobre la convergencia de composiciones infinitas de funciones enteras". Archiv der Mathematik . 98 (5): 453–465. doi :10.1007/s00013-012-0385-z. S2CID  121444171.
8. Gill, J. (2012). "Convergencia de composiciones infinitas de funciones complejas" (PDF) . Comunicaciones en la teoría analítica de fracciones continuas . XIX .
9. https://www.researchgate.net/publication/351764310_A_Short_Note_On_the_Dynamical_System_of_the_Reproductive_Universe ^{[ URL desnuda ]}
10. Piranian, G.; Thron, WJ (1957). "Propiedades de convergencia de secuencias de transformaciones fraccionarias lineales". Michigan Mathematical Journal . 4 (2). doi : 10.1307/mmj/1028989001 .
11. de Pree, JD; Thron, WJ (diciembre de 1962). "Sobre secuencias de transformaciones de Moebius". Mathematische Zeitschrift . 80 (1): 184-193. doi :10.1007/BF01162375. S2CID  120487262.
12. Mandell, Michael; Magnus, Arne (1970). "Sobre la convergencia de secuencias de transformaciones fraccionarias lineales". Mathematische Zeitschrift . 115 (1): 11-17. doi :10.1007/BF01109744. S2CID  119407993.
13. Gill, John (1973). "Composiciones infinitas de transformaciones de Möbius". Transactions of the American Mathematical Society . 176 : 479. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0316690-6 .
14. Beardon, AF (2001). "Teorema de Worpitzky sobre fracciones continuas". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 131 (1–2): 143–148. Bibcode :2001JCoAM.131..143B. doi :10.1016/S0377-0427(00)00318-6. MR  1835708.
15. Steinmetz, N. (2011) [1993]. Iteración racional. de Gruyter. ISBN 978-3-11-088931-4.