isomorfismo

En matemáticas, homomorfismo invertible

El grupo de raíces quintas de la unidad bajo multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo composición.

En matemáticas , un isomorfismo es un mapeo que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo que puede revertirse mediante un mapeo inverso . Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. La palabra isomorfismo se deriva del griego antiguo : ἴσος isos "igual" y μορφή morphe "forma" o "figura".

El interés de los isomorfismos radica en el hecho de que dos objetos isomórficos tienen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como estructura adicional o nombres de objetos). Por tanto, las estructuras isomorfas no pueden distinguirse únicamente desde el punto de vista de la estructura y pueden identificarse. En la jerga matemática se dice que dos objetos son iguales hasta un isomorfismo . ^{[ cita necesaria ]}

Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí misma. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (un mapa canónico que es un isomorfismo) si solo hay un isomorfismo entre las dos estructuras (como es el caso de las soluciones de una propiedad universal ), o si el isomorfismo es mucho más natural ( en algún sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo p , todos los campos con p elementos son canónicamente isomorfos, con un isomorfismo único. Los teoremas de isomorfismo proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.

El término isomorfismo se utiliza principalmente para estructuras algebraicas . En este caso, las asignaciones se llaman homomorfismos , y un homomorfismo es un isomorfismo si y sólo si es biyectivo .

En diversas áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, según el tipo de estructura considerada. Por ejemplo:

• Una isometría es un isomorfismo de espacios métricos .
• Un homeomorfismo es un isomorfismo de espacios topológicos .
• Un difeomorfismo es un isomorfismo de espacios equipados con una estructura diferencial , típicamente variedades diferenciables .
• Un simplectomorfismo es un isomorfismo de variedades simplécticas .
• Una permutación es un automorfismo de un conjunto .
• En geometría , los isomorfismos y automorfismos suelen denominarse transformaciones , por ejemplo transformaciones rígidas , transformaciones afines , transformaciones proyectivas .

La teoría de categorías , que puede verse como una formalización del concepto de mapeo entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede usarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.

Ejemplos

Logaritmo y exponencial

Sea el grupo multiplicativo de números reales positivos y sea el grupo aditivo de números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La función logaritmo satisface para todos por lo que es un homomorfismo de grupo . La función exponencial satisface para todos , por lo que también es un homomorfismo. ${\displaystyle \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$

Las identidades y muestran que y son inversas entre sí. Como es un homomorfismo que tiene una inversa que también es un homomorfismo, es un isomorfismo de grupos. ${\displaystyle \log \exp x=x}$ ${\displaystyle \exp \log y=y}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log }$

La función es un isomorfismo que traduce la multiplicación de números reales positivos en suma de números reales. Esta facilidad permite multiplicar números reales usando una regla y una tabla de logaritmos , o usando una regla de cálculo con escala logarítmica. ${\displaystyle \log }$

Enteros módulo 6

Considere el grupo de números enteros de 0 a 5 con suma módulo  6. Considere también el grupo de pares ordenados donde las coordenadas x pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1 o 2, donde la suma en x - La coordenada es módulo 2 y la suma en la coordenada y es módulo 3. ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{6},+),}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),}$

Estas estructuras son isomórficas bajo suma, bajo el siguiente esquema:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle (a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.}$

Por ejemplo, lo que se traduce en el otro sistema como ${\displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}$ ${\displaystyle 1+3=4.}$

Aunque estos dos grupos "parecen" diferentes en el sentido de que los conjuntos contienen elementos diferentes, en realidad son isomorfos : sus estructuras son exactamente iguales. De manera más general, el producto directo de dos grupos cíclicos y es isomorfo si y solo si m y n son coprimos , según el teorema del resto chino . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{mn},+)}$

Isomorfismo que preserva la relación

Si un objeto consta de un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consta de un conjunto Y con una relación binaria S, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que: ^[1] ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)}$$

S es reflexivo , irreflexivo , simétrico , antisimétrico , asimétrico , transitivo , total , tricotómico , un orden parcial , un orden total , un orden bueno , un orden débil estricto , un preorden total (orden débil), una relación de equivalencia o una relación con cualquier otra propiedades especiales, si y sólo si R es.

Por ejemplo, R es un ordenamiento ≤ y S un ordenamiento, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que ${\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.}$$

isomorfismo de ordenisomorfismo de isótona

Si entonces este es un automorfismo que preserva la relación . ${\displaystyle X=Y,}$

Aplicaciones

En álgebra , los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas . Algunos se estudian más específicamente; Por ejemplo:

• Isomorfismos lineales entre espacios vectoriales ; se especifican mediante matrices invertibles .
• Isomorfismos de grupo entre grupos ; La clasificación de clases de isomorfismo de grupos finitos es un problema abierto.
• Isomorfismo de anillos entre anillos .
• Los isomorfismos de campo son los mismos que los isomorfismos de anillo entre campos ; su estudio, y más específicamente el estudio de los automorfismos de campo , es una parte importante de la teoría de Galois .

Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Permitir que un isomorfismo particular identifique las dos estructuras convierte este montón en un grupo.

En análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que transforma ecuaciones diferenciales difíciles en ecuaciones algebraicas más sencillas.

En teoría de grafos , un isomorfismo entre dos grafos G y H es un mapa biyectivo f desde los vértices de G hasta los vértices de H que preserva la "estructura de borde" en el sentido de que hay un borde desde el vértice u hasta el vértice v en G. si y sólo si hay una arista de a en H . Ver isomorfismo del gráfico . ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle f(v)}$

En análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que preserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.

En las primeras teorías del atomismo lógico , Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre hechos y proposiciones verdaderas era isomorfa. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la Filosofía Matemática de Russell .

En cibernética , el buen regulador o teorema de Conant-Ashby se establece: "Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes procesadoras del sistema.

Vista teórica de categorías

En teoría de categorías , dada una categoría C , un isomorfismo es un morfismo que tiene un morfismo inverso , es decir, y por ejemplo, un mapa lineal biyectivo es un isomorfismo entre espacios vectoriales , y una función biyectiva continua cuya inversa también es continua es un isomorfismo. entre espacios topológicos , llamado homeomorfismo . ${\displaystyle f:a\to b}$ ${\displaystyle g:b\to a,}$ ${\displaystyle fg=1_{b}}$ ${\displaystyle gf=1_{a}.}$

Dos categorías C y D son isomorfas si existen functores y que son mutuamente inversos entre sí, es decir, (el functor identidad en D ) y (el functor identidad en C ). ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:D\to C}$ ${\displaystyle FG=1_{D}}$ ${\displaystyle GF=1_{C}}$

Isomorfismo versus morfismo biyectivo

En una categoría concreta (aproximadamente, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura adicional) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos , la categoría de anillos y la categoría de módulos ), un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes . En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido de álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en conjuntos subyacentes. Sin embargo, existen categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos).

Relación con la igualdad

En ciertas áreas de las matemáticas, en particular la teoría de categorías, es valioso distinguir entre igualdad, por un lado, e isomorfismo, por el otro. ^[2] La igualdad es cuando dos objetos son exactamente iguales, y todo lo que es cierto sobre un objeto es cierto sobre el otro, mientras que un isomorfismo implica que todo lo que es cierto sobre una parte designada de la estructura de un objeto es cierto sobre la del otro. Por ejemplo, los conjuntos

$${\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}}$$

igualesintensionalnotación constructora de conjuntosextensionaligualeshasta el isomorfismocardinalidad ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,}$mientras que otro es ${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. ^{[nota 1] [nota 2]} Desde este punto de vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque no se pueden considerar idénticos : se puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero esa es una afirmación más débil que la identidad, y válida sólo en el contexto del isomorfismo elegido.

Otro ejemplo es más formal e ilustra más directamente la motivación para distinguir la igualdad del isomorfismo: la distinción entre un espacio vectorial de dimensión finita V y su espacio dual de aplicaciones lineales desde V a su campo de escalares . Estos espacios tienen la misma dimensión y, por lo tanto, son isomórficos como espacios vectoriales abstractos (ya que algebraicamente, los espacios vectoriales se clasifican por dimensión, al igual que los conjuntos se clasifican por cardinalidad), pero no existe una elección "natural" de isomorfismo. Si uno elige una base para V , entonces esto produce un isomorfismo: Para todos ${\displaystyle V^{*}=\left\{\varphi :V\to \mathbf {K} \right\}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} .}$ ${\displaystyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{*}.}$ ${\displaystyle u,v\in V,}$

$${\displaystyle v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{ such that }}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u.}$$

Esto corresponde a transformar un vector columna (elemento de V ) en un vector fila (elemento de V *) mediante transposición , pero una elección diferente de base da un isomorfismo diferente: el isomorfismo "depende de la elección de base". Más sutilmente, hay una aplicación desde un espacio vectorial V a su doble dual que no depende de la elección de la base: Para todos ${\displaystyle V^{**}=\left\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \right\}}$ ${\displaystyle v\in V{\text{ and }}\varphi \in V^{*},}$

$${\displaystyle v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} x_{v}\in V^{**}\quad {\text{ such that }}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).}$$

Esto lleva a una tercera noción, la de un isomorfismo natural : si bien y son conjuntos diferentes, existe una elección "natural" de isomorfismo entre ellos. Esta noción intuitiva de "un isomorfismo que no depende de una elección arbitraria" se formaliza en la noción de transformación natural ; brevemente, que uno puede identificar consistentemente , o más generalmente mapear desde, un espacio vectorial de dimensión finita a su doble dual, para cualquier espacio vectorial de manera consistente. Formalizar esta intuición es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}}$ ${\displaystyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{**},}$

Sin embargo, hay un caso en el que normalmente no se hace la distinción entre isomorfismo natural e igualdad. Esto es para los objetos que pueden caracterizarse por una propiedad universal . De hecho, existe un isomorfismo único, necesariamente natural, entre dos objetos que comparten la misma propiedad universal. Un ejemplo típico es el conjunto de números reales , que pueden definirse mediante expansión decimal infinita, expansión binaria infinita, secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind y muchas otras formas. Formalmente, estas construcciones definen diferentes objetos que son todas soluciones con la misma propiedad universal. Como estos objetos tienen exactamente las mismas propiedades, uno puede olvidar el método de construcción y considerarlos iguales. Esto es lo que todo el mundo hace cuando se refiere al " conjunto de los números reales". Lo mismo ocurre con los espacios cocientes : comúnmente se construyen como conjuntos de clases de equivalencia . Sin embargo, referirse a un conjunto de conjuntos puede ser contrario a la intuición, por lo que los espacios cocientes se consideran comúnmente como un par de un conjunto de objetos indeterminados, a menudo llamados "puntos", y un mapa sobreyectivo de este conjunto.

Si se desea distinguir entre un isomorfismo arbitrario (uno que depende de una elección) y un isomorfismo natural (uno que se puede hacer de manera consistente), se puede escribir para un isomorfismo no natural y ≅ para un isomorfismo natural, como en y Esta convención es no se sigue universalmente, y los autores que desean distinguir entre isomorfismos no naturales e isomorfismos naturales generalmente establecerán explícitamente la distinción. ${\displaystyle \,\approx \,}$ ${\displaystyle V\approx V^{*}}$ ${\displaystyle V\cong V^{**}.}$

Generalmente, decir que dos objetos son iguales se reserva para cuando existe la noción de un espacio (ambiente) más grande en el que viven estos objetos. Muy a menudo, se habla de igualdad de dos subconjuntos de un conjunto dado (como en el ejemplo del conjunto entero arriba), pero no de dos objetos presentados de manera abstracta. Por ejemplo, la esfera unitaria bidimensional en un espacio tridimensional

$${\displaystyle S^{2}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$$

esfera de Riemanncompactación de un puntoo como la línea proyectiva ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=\left(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)/\left(\mathbb {C} ^{*}\right)}$$

iguales^{[nota 3]}subcociente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$

En el contexto de la teoría de categorías, los objetos suelen ser, como mucho, isomórficos; de hecho, una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías fue mostrar que diferentes construcciones en la teoría de la homología producían grupos equivalentes (isomorfos). Sin embargo, dados los mapas entre dos objetos X e Y , uno se pregunta si son iguales o no (ambos son elementos del conjunto, por lo tanto, la igualdad es la relación adecuada), particularmente en diagramas conmutativos . ${\displaystyle \hom(X,Y),}$

Ver también: teoría de tipos de homotopía , en la que los isomorfismos pueden tratarse como tipos de igualdad.

Ver también

• Portal de matemáticas

• bisimulación
• Relación de equivalencia
• Montón (matemáticas)
• isometria
• clase de isomorfismo
• Teorema del isomorfismo
• propiedad universal
• Isomorfismo coherente

Notas

1. tienen un orden convencional, es decir, orden alfabético, y de manera similar 1, 2, 3 tienen el orden de los números enteros y, por lo tanto, un isomorfismo particular es "natural", es decir ${\displaystyle A,B,C}$
   $${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$$
   Más formalmente, como conjuntos son isomorfos, pero no naturalmente isomorfos (existen múltiples opciones de isomorfismo), mientras que como conjuntos ordenados son naturalmente isomorfos (hay un isomorfismo único, indicado anteriormente), ya que los órdenes totales finitos están determinados de forma única hasta Isomorfismo único por cardinalidad . Esta intuición se puede formalizar diciendo que dos conjuntos finitos totalmente ordenados cualesquiera de la misma cardinalidad tienen un isomorfismo natural, el que envía el menor elemento del primero al menor elemento del segundo, el menor elemento de lo que queda en el primero. al menor elemento de lo que queda en el segundo, y así sucesivamente, pero en general, los pares de conjuntos de una cardinalidad finita dada no son naturalmente isomorfos porque hay más de una elección de aplicación, excepto si la cardinalidad es 0 o 1, donde hay una elección única.
2. De hecho, existen isomorfismos precisamente diferentes entre dos conjuntos con tres elementos. Esto es igual al número de automorfismos de un conjunto dado de tres elementos (que a su vez es igual al orden del grupo simétrico de tres letras) y, de manera más general, se tiene que el conjunto de isomorfismos entre dos objetos, denotado como un torsor para el grupo de automorfismos de A, y también torsor para el grupo de automorfismos de B. De hecho, los automorfismos de un objeto son una razón clave para preocuparse por la distinción entre isomorfismo e igualdad, como se demuestra en el efecto del cambio de base. sobre la identificación de un espacio vectorial con su dual o con su doble dual, como se desarrolla en la secuela. ${\displaystyle 3!=6}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B),}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A)}$
3. Siendo precisos, la identificación de los números complejos con el plano real,
   $${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} \cdot 1\oplus \mathbb {R} \cdot i=\mathbb {R} ^{2}}$$
   Depende de una elección, uno puede elegir con la misma facilidad cuál produce una identificación diferente (formalmente, la conjugación compleja es un automorfismo), pero en la práctica uno a menudo supone que ha hecho tal identificación. ${\displaystyle i;}$ ${\displaystyle (-i),}$

Referencias

1. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 3.ISBN _ 9780821834138.
2. Mazur 2007

Otras lecturas

• Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF)

enlaces externos

• "Isomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Isomorfismo". MundoMatemático .