Relación asimétrica

Una relación binaria que nunca ocurre en ambas direcciones.

En matemáticas , una relación asimétrica es una relación binaria en un conjunto donde para todos si está relacionado con entonces no está relacionado con ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

Definicion formal

Preliminares

Una relación binaria es cualquier subconjunto de Dado se escribe si y solo si, lo que significa que es una abreviatura de La expresión se lee como " está relacionada con por " ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle (a,b)\in R,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle (a,b)\in R.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R.}$

Definición

La relación binaria se llama asimétrica si para todo si es verdadero entonces es falso; es decir, si entonces Esto se puede escribir en la notación de lógica de primer orden como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa}$ ${\displaystyle (a,b)\in R}$ ${\displaystyle (b,a)\not \in R.}$

$${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa).}$$

lógicamente equivalente

para todos al menos uno de y es falso , ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa}$

que en lógica de primer orden se puede escribir como:

$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).}$$

antisimétricairreflexiva^[2]

Ejemplos

Un ejemplo de relación asimétrica es la relación " menor que " entre números reales : si entonces necesariamente no es menor que. Más generalmente, cualquier orden parcial estricto es una relación asimétrica. No todas las relaciones asimétricas son órdenes parciales estrictos. Un ejemplo de una relación asimétrica no transitiva, incluso antitransitiva , es la relación piedra, papel o tijera : si late, entonces no late y si late y late, entonces no late. ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z.}$

Las restricciones y las relaciones asimétricas también lo son . Por ejemplo, la restricción de los reales a los enteros sigue siendo asimétrica, y el inverso o dual de también es asimétrico. ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$

Una relación asimétrica no necesita tener la propiedad de conexión . Por ejemplo, la relación de subconjunto estricto es asimétrica y ninguno de los conjuntos es un subconjunto estricto del otro. Una relación es conexa si y sólo si su complemento es asimétrico. ${\displaystyle \,\subsetneq \,}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Un no ejemplo es la relación "menor o igual" . Esto no es asimétrico, porque invertir, por ejemplo, produce y ambas cosas son ciertas. La relación menor o igual es un ejemplo de una relación que no es ni simétrica ni asimétrica, lo que demuestra que la asimetría no es lo mismo que "no simétrico ". ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x\leq x}$

La relación vacía es la única relación que es ( vacuamente ) tanto simétrica como asimétrica.

Propiedades

Las siguientes condiciones son suficientes para que una relación sea asimétrica: ^[3] ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R}$es irreflexivo y antisimétrico (esto también es necesario)
• ${\displaystyle R}$es irreflexivo y transitivo. Una relación transitiva es asimétrica si y sólo si es irreflexiva: ^[4] si y la transitividad da una irreflexividad contradictoria. Tal relación es un orden parcial estricto . ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRa,}$ ${\displaystyle aRa,}$
• ${\displaystyle R}$es irreflexivo y satisface la propiedad de semiorden 1 (no existen dos órdenes lineales de dos puntos mutuamente incomparables)
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y antisimétrico
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y transitivo
• ${\displaystyle R}$es antitransitivo y satisface la propiedad de semiorden 1

Ver también

• La axiomatización de los reales de Tarski : parte de esto es el requisito de que los números reales sean asimétricos. ${\displaystyle \,<\,}$

Referencias

1. Gries, David ; Schneider, Fred B. (1993), Un enfoque lógico de las matemáticas discretas , Springer-Verlag, pág. 273.
2. Nievergelt, Yves (2002), Fundamentos de la lógica y las matemáticas: aplicaciones a la informática y la criptografía , Springer-Verlag, p. 158.
3. Burghardt, Jochen (2018). "Leyes simples sobre propiedades no prominentes de las relaciones binarias". arXiv : 1806.05036 .
4. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Cierres Transitivos de Relaciones Binarias I (PDF) . Praga: Escuela de Matemáticas - Universidad Carolina de Física. pag. 1. Archivado desde el original (PDF) el 2 de noviembre de 2013 . Consultado el 20 de agosto de 2013 .Lema 1.1 (iv). Tenga en cuenta que esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".