Unidad (teoría de anillos)

En matemáticas, elemento con inverso multiplicativo.

En álgebra , una unidad o elemento invertible ^[a] de un anillo es un elemento invertible para la multiplicación del anillo. Es decir, un elemento u de un anillo R es una unidad si existe v en R tal que

$${\displaystyle vu=uv=1,}$$

1identidad multiplicativavinverso multiplicativou^[1]2]Rgrupo R ^×grupo de unidadesgrupo unitarioR. ^[b]R ^∗U( R )E( R )Einheit

Con menos frecuencia, el término unidad se utiliza en ocasiones para referirse al elemento 1 del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo unitario , y también matriz unitaria . Debido a esta ambigüedad, 1 se denomina más comúnmente la "unidad" o la "identidad" del anillo, y las frases "anillo con unidad" o "anillo con identidad" pueden usarse para enfatizar que uno está considerando un anillo. de un rng .

Ejemplos

La identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo −1 son siempre unidades. De manera más general, cualquier raíz de unidad en un anillo R es una unidad: si r ⁿ = 1 , entonces r ^{n −1} es un inverso multiplicativo de r . En un anillo distinto de cero , el elemento 0 no es una unidad, por lo que R ^× no está cerrado bajo la suma. Un anillo R distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero es una unidad (es decir, R ^× = R ∖ {0} ) se llama anillo de división (o campo sesgado). Un anillo de división conmutativo se llama campo . Por ejemplo, el grupo unitario del cuerpo de números reales R es R ∖ {0} .

anillo entero

En el anillo de números enteros Z , las únicas unidades son 1 y −1 .

En el anillo Z / n Z de números enteros módulo n , las unidades son las clases de congruencia (mod n ) representadas por números enteros coprimos a n . Constituyen el grupo multiplicativo de números enteros módulo n .

Anillo de números enteros de un campo numérico.

En el anillo Z [ √ 3 ] obtenido al unir el entero cuadrático √ 3 a Z , se tiene (2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1 , por lo que 2 + √ 3 es una unidad, y también lo son sus potencias , entonces Z [ √ 3 ] tiene infinitas unidades.

De manera más general, para el anillo de números enteros R en un campo numérico F , el teorema unitario de Dirichlet establece que R ^× es isomorfo al grupo

$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$

Rnrango ${\displaystyle \mu _{R}}$

$${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$

F ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

Esto recupera el ejemplo de Z [ √ 3 ] : El grupo unitario de (el anillo de números enteros de) un campo cuadrático real es infinito de rango 1, ya que . ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

Polinomios y series de potencias.

Para un anillo conmutativo R , las unidades del anillo polinomial R [ x ] son ​​los polinomios

$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$

un ₀ynilpotentesN. ^[4]RdominioreducidoR [ x ]Ranillo de potencias ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ ${\displaystyle R[[x]]}$

$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

un ₀R^[5]

Anillos de matriz

El grupo unitario del anillo M _n ( R ) de matrices n  ×  n sobre un anillo R es el grupo GL _n ( R ) de matrices invertibles . Para un anillo conmutativo R , un elemento A de M _n ( R ) es invertible si y sólo si el determinante de A es invertible en R. En ese caso, A ⁻¹ puede darse explícitamente en términos de la matriz adjunta .

En general

Para los elementos xey en un anillo R , si es invertible , entonces es invertible con inversa ; ^[6] esta fórmula se puede adivinar, pero no probar, mediante el siguiente cálculo en un anillo de series de potencias no conmutativas: ${\displaystyle 1-xy}$ ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$

$${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

la identidad de Hua

grupo de unidades

Un anillo conmutativo es un anillo local si R ∖ R ^× es un ideal máximo .

Resulta que si R ∖ R ^× es un ideal, entonces es necesariamente un ideal máximo y R es local ya que un ideal máximo es disjunto de R ^× .

Si R es un campo finito , entonces R ^× es un grupo cíclico de orden | R | − 1 .

Cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de grupo R ^× → S ^× , ya que f asigna unidades a unidades. De hecho, la formación del grupo unitario define un funtor desde la categoría de anillos hasta la categoría de grupos . Este functor tiene un adjunto izquierdo que es la construcción de anillo de grupo integral . ^[7]

El esquema de grupo es isomorfo al esquema de grupo multiplicativo sobre cualquier base, por lo que para cualquier anillo conmutativo R , los grupos y son canónicamente isomorfos a U ( R ) . Tenga en cuenta que el funtor (es decir, R ↦ U ( R ) ) es representable en el sentido: para anillos conmutativos R (esto, por ejemplo, se deriva de la relación adjunta antes mencionada con la construcción de anillos de grupo). Explícitamente, esto significa que existe una biyección natural entre el conjunto de homomorfismos de anillos y el conjunto de elementos unitarios de R (por el contrario, representa el grupo aditivo , el functor olvidadizo de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos abelianos). ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

asociación

Supongamos que R es conmutativo. Los elementos r y s de R se llamanasociar si existe una unidaduenRtal que r = us ; luego escribe r ~ s . En cualquier anillo, los pares deelementosinversos aditivos^[c] x y− x estánasociados. Por ejemplo, 6 y −6están asociados en Z. En general,~es unarelación de equivalenciaenR.

La asociación también se puede describir en términos de la acción de R ^× sobre R mediante la multiplicación: dos elementos de R están asociados si están en la misma órbita R ^× .

En un dominio integral , el conjunto de asociados de un elemento dado distinto de cero tiene la misma cardinalidad que R ^× .

La relación de equivalencia ~ puede verse como cualquiera de las relaciones de semigrupo de Green especializadas en el semigrupo multiplicativo de un anillo conmutativo R.

Ver también

• unidades S
• Localización de un anillo y un módulo.

Notas

1. En el caso de anillos, el uso de "elemento invertible" se considera una referencia evidente a la multiplicación, ya que todos los elementos de un anillo son invertibles para la suma.
2. La notación R ^× , introducida por André Weil , se usa comúnmente en teoría de números , donde los grupos unitarios surgen con frecuencia. ^[3] El símbolo × es un recordatorio de que la operación grupal es la multiplicación. Además, un superíndice × no se usa con frecuencia en otros contextos, mientras que un superíndice * a menudo denota dual.
3. x y − x no son necesariamente distintos. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 6, uno tiene 3 = −3 aunque 1 ≠ −1 .

Citas

1. Dummit y Foote 2004
2. Lang 2002
3. Bien 1974
4. Watkins 2007, teorema 11.1
5. Watkins 2007, teorema 12.1
6. Jacobson 2009, §2.2 Ejercicio 4
7. Cohn 2003, §2.2 Ejercicio 10

Fuentes

• Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones (edición revisada de Álgebra, 2ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl  1006.00001.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica 1 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 0-387-95385-X.
• Watkins, John J. (2007), Temas de la teoría de anillos conmutativos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, señor  2330411
• Weil, André (1974). Teoría básica de números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 144 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58655-5.