En matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , una unidad S generaliza la idea de unidad del anillo de números enteros del campo. Muchos de los resultados que son válidos para unidades también lo son para unidades S.
Sea K un campo numérico con anillo de números enteros R. Sea S un conjunto finito de ideales primos de R. Un elemento x de K es una unidad S si el ideal fraccionario principal ( x ) es un producto de números primos en S (a potencias positivas o negativas). Para el anillo de enteros racionales Z se puede tomar S como un conjunto finito de números primos y definir una unidad S como un número racional cuyo numerador y denominador son divisibles sólo por los primos en S.
Las unidades S forman un grupo multiplicativo que contiene las unidades de R.
El teorema unitario de Dirichlet es válido para S -unidades: el grupo de S -unidades se genera de forma finita , con rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a r + s , donde r es el rango del grupo unitario y s = | S |.
La ecuación de la unidad S es una ecuación diofántica.
con u y v restringidos a ser S -unidades de K (o más generalmente, elementos de un subgrupo finitamente generado del grupo multiplicativo de cualquier campo de característica cero). El número de soluciones de esta ecuación es finito [1] y las soluciones se determinan efectivamente utilizando estimaciones de formas lineales en logaritmos tal como se desarrolla en la teoría de números trascendental . Una variedad de ecuaciones diofánticas se pueden reducir en principio a alguna forma de ecuación de unidad S : un ejemplo notable es el teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas elípticas y, más generalmente, curvas superelípticas de la forma y n = f ( x ).
Un solucionador computacional para la ecuación de la unidad S está disponible en el software SageMath . [2]