Curva superelíptica

En matemáticas, una curva superelíptica es una curva algebraica definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{m}=f(x),}$

donde es un entero y f es un polinomio de grado con coeficientes en un cuerpo ; más precisamente, es la curva proyectiva suave cuyo cuerpo de funciones está definido por esta ecuación. El caso y es una curva elíptica , el caso y es una curva hiperelíptica , y el caso y es un ejemplo de una curva trigonal . ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Algunos autores imponen restricciones adicionales, por ejemplo, que el entero no debe ser divisible por la característica de , que el polinomio debe estar libre de cuadrados , que los enteros m y d deben ser coprimos , o alguna combinación de estas. ^[1] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

El problema diofántico de encontrar puntos enteros en una curva superelíptica se puede resolver mediante un método similar al utilizado para la resolución de ecuaciones hiperelípticas: se utiliza una identidad de Siegel para reducir a una ecuación de Thue .

Definición

De manera más general, una curva superelíptica es una cubierta ramificada cíclica.

${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

de la línea proyectiva de grado coprimo con la característica del cuerpo de definición. El grado de la función de recubrimiento también se conoce como el grado de la curva. Por recubrimiento cíclico queremos decir que el grupo de Galois del recubrimiento (es decir, la extensión del cuerpo de funciones correspondiente ) es cíclico . ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m}$

El teorema fundamental de la teoría de Kummer implica ^{[ cita requerida ]} que una curva superelíptica de grado definido sobre un campo tiene un modelo afín dado por una ecuación ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle y^{m}=f(x)}$

para algún polinomio de grado con cada raíz de orden , siempre que tenga un punto definido sobre , es decir, si el conjunto de puntos -racionales de no está vacío. Por ejemplo, este es siempre el caso cuando es algebraicamente cerrado . En particular, la extensión del campo de funciones es una extensión de Kummer . ${\displaystyle f\in k[x]}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(C)/k(x)}$

Ramificación

Sea una curva superelíptica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , y denote el conjunto de raíces de en . Defina conjunto Entonces es el conjunto de puntos de ramificación del mapa de recubrimiento dado por . ${\displaystyle C:y^{m}=f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B'\subset k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle B={\begin{cases}B'&{\text{ if }}m{\text{ divides }}\deg(f),\\B'\cup \{\infty \}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {P} ^{1}(k)}$ ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle x}$

Para un punto de ramificación afín , denotemos el orden de como raíz de . Como antes, suponemos que . Entonces es el índice de ramificación en cada uno de los puntos de ramificación de la curva que se encuentra sobre (esto es realmente cierto para cualquier ). ${\displaystyle \alpha \in B}$ ${\displaystyle r_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1\leq r_{\alpha }<m}$ $${\displaystyle e_{\alpha }={\frac {m}{(m,r_{\alpha })}}}$$ ${\displaystyle e(P_{\alpha ,i})}$ ${\displaystyle (m,r_{\alpha })}$ ${\displaystyle P_{\alpha ,i}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} ^{1}(k)\subset \mathbb {P} ^{1}(k)}$ ${\displaystyle \alpha \in k}$

Para el punto en el infinito, defina entero de la siguiente manera. Si entonces . Nótese que . Entonces, análogamente a los otros puntos de ramificación, es el índice de ramificación en los puntos que se encuentran sobre . En particular, la curva no se ramifica sobre el infinito si y solo si su grado divide a . ${\displaystyle 0\leq r_{\infty }<m}$ $${\displaystyle s=\min\{t\in \mathbb {Z} \mid mt\geq \deg(f)\},}$$ ${\displaystyle r_{\infty }=ms-\deg(f)}$ ${\displaystyle (m,r_{\infty })=(m,\deg(f))}$ $${\displaystyle e_{\infty }={\frac {m}{(m,r_{\infty })}}}$$ ${\displaystyle e(P_{\infty ,i})}$ ${\displaystyle (m,r_{\infty })}$ ${\displaystyle P_{\infty ,i}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \deg(f)}$

La curva definida como se indica arriba está conectada con precisión cuando y son relativamente primos (no necesariamente por pares), lo que se supone que es el caso. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{\alpha }}$

Género

Por la fórmula de Riemann-Hurwitz , el género de una curva superelíptica viene dado por

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}\left(m(|B|-2)-\sum _{\alpha \in B}(m,r_{\alpha })\right)+1.}$

Véase también

• Curva hiperelíptica
• Cobertura ramificada
• Curva de Artin-Schreier
• Teoría de Kummer
• Superelipse

Referencias

1. Galbraith, SD; Paulhus, SM; Smart, NP (2002). "Aritmética en curvas superelípticas". Matemáticas de la computación . 71 : 394–405. doi : 10.1090/S0025-5718-00-01297-7 . MR  1863009.

• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 201. Springer-Verlag . pág. 361. ISBN. 0-387-98981-1.Zbl 0948.11023  .
• Koo, Ja Kyung (1991). "Sobre diferenciales holomorfas de algún campo de funciones algebraicas de una variable ". Bull. Austral. Math. Soc . 43 (3): 399–405. doi :10.1017/S0004972700029245. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Lang, Serge (1978). Curvas elípticas: análisis diofántico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 231. Springer-Verlag . ISBN 0-387-08489-4.
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . ISBN 0-521-26826-5.Zbl 0606.10011  .
• Smart, NP (1998). La resolución algorítmica de ecuaciones diofánticas . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 41. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-64633-2.