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En el campo matemático de la teoría de nudos , un polinomio de nudos es un invariante de nudos en forma de polinomio cuyos coeficientes codifican algunas de las propiedades de un nudo determinado .
El primer polinomio de nudos, el polinomio de Alexander , fue introducido por James Waddell Alejandro II en 1923. No se encontraron otros polinomios de nudos hasta casi 60 años después.
En la década de 1960, a John Conway se le ocurrió una relación de madeja para una versión del polinomio de Alexander, generalmente denominado polinomio de Alexander-Conway . La importancia de esta relación de madeja no se comprendió hasta principios de la década de 1980, cuando Vaughan Jones descubrió el polinomio de Jones . Esto llevó al descubrimiento de más polinomios de nudos, como el llamado polinomio HOMFLY .
Poco después del descubrimiento de Jones, Louis Kauffman notó que el polinomio de Jones podía calcularse mediante una función de partición (modelo de suma de estados), que involucraba el polinomio de corchetes , una invariante de nudos enmarcados . Esto abrió vías de investigación que vinculan la teoría de nudos y la mecánica estadística .
A finales de los años 1980, se lograron dos avances relacionados. Edward Witten demostró que el polinomio de Jones y invariantes similares del tipo Jones tenían una interpretación en la teoría de Chern-Simons . Viktor Vasilyev y Mikhail Goussarov iniciaron la teoría de las invariantes de nudos de tipo finito . Se sabe que los coeficientes de los polinomios mencionados anteriormente son de tipo finito (quizás después de un "cambio de variables" adecuado).
En los últimos años, se ha demostrado que el polinomio de Alexander está relacionado con la homología de Floer . La característica graduada de Euler de la homología del nudo Floer de Peter Ozsváth y Zoltan Szabó es el polinomio de Alexander.
La notación Alexander-Briggs organiza los nudos según su número de cruce.
Los polinomios de Alexander y los polinomios de Conway no pueden reconocer la diferencia entre el nudo trébol izquierdo y el nudo trébol derecho.
Entonces tenemos la misma situación que el nudo de la abuela y el nudo cuadrado, ya que la suma de nudos es el producto de los nudos en polinomios de nudos .
