Integral de línea

Integral definida de un campo escalar o vectorial a lo largo de una trayectoria

En matemáticas , una integral de línea es una integral donde la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^[1] También se utilizan los términos integral de trayectoria , integral de curva e integral curvilínea ; también se utiliza integral de contorno , aunque normalmente se reserva para integrales de línea en el plano complejo.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderada por alguna función escalar en la curva (comúnmente la longitud del arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un vector diferencial en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física, como la definición de trabajo como , tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea, en este caso , que calcula el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve a través de un campo eléctrico o gravitacional F a lo largo de una trayectoria . ${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ ${\displaystyle L}$

Cálculo vectorial

En términos cualitativos, una integral de línea en cálculo vectorial puede considerarse como una medida del efecto total de un campo tensorial dado a lo largo de una curva dada. Por ejemplo, la integral de línea sobre un campo escalar (tensor de rango 0) puede interpretarse como el área bajo el campo creada por una curva particular. Esto puede visualizarse como la superficie creada por z = f ( x , y ) y una curva C en el plano xy . La integral de línea de f sería el área de la "cortina" creada, cuando se eliminan los puntos de la superficie que están directamente sobre C.

Integral de línea de un campo escalar

La integral de línea sobre un campo escalar f puede considerarse como el área bajo la curva C a lo largo de una superficie z = f ( x , y ) , descrita por el campo.

Definición

Para un campo escalar donde , la integral de línea a lo largo de una curva suave por partes se define como donde es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de y a < b . Aquí, y en el resto del artículo, las barras de valor absoluto denotan la norma estándar (euclidiana) de un vector. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$ $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

La función f se denomina integrando, la curva es el dominio de integración y el símbolo ds puede interpretarse intuitivamente como una longitud de arco elemental de la curva (es decir, una longitud diferencial de ). Las integrales de línea de campos escalares sobre una curva no dependen de la parametrización elegida r de . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Geométricamente, cuando el campo escalar f se define sobre un plano ( n = 2) , su gráfico es una superficie z = f ( x , y ) en el espacio, y la integral de línea da el área de la sección transversal (con signo) delimitada por la curva y el gráfico de f . Vea la animación a la derecha. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Derivación

Para una integral de línea sobre un campo escalar, la integral se puede construir a partir de una suma de Riemann usando las definiciones anteriores de f , C y una parametrización r de C . Esto se puede hacer dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ t _{i −1} , t _i ] de longitud Δ t = ( b − a )/ n , luego r ( t _i ) denota algún punto, llamémoslo un punto de muestra, en la curva C . Podemos usar el conjunto de puntos de muestra { r ( t _i ): 1 ≤ i ≤ n } para aproximar la curva C como una trayectoria poligonal introduciendo el trozo de línea recta entre cada uno de los puntos de muestra r ( t _{i −1} ) y r ( t _i ) . (La aproximación de una curva a una trayectoria poligonal se llama rectificación de una curva, vea aquí para más detalles.) Luego etiquetamos la distancia del segmento de línea entre puntos de muestra adyacentes en la curva como Δ s _i . El producto de f ( r ( t _i )) y Δ s _i se puede asociar con el área firmada de un rectángulo con una altura y un ancho de f ( r ( t _i )) y Δ s _i , respectivamente. Tomando el límite de la suma de los términos a medida que la longitud de las particiones se acerca a cero, obtenemos $${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

Por el teorema del valor medio , la distancia entre puntos subsiguientes en la curva es $${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior se obtiene que es la suma de Riemann para la integral $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$ $${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

Integral de línea de un campo vectorial

Definición

Para un campo vectorial F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , la integral de línea a lo largo de una curva suave por partes C ⊂ U , en la dirección de r , se define como donde · es el producto escalar , y r : [ a , b ] → C es una parametrización regular (es decir: ) de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C . $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$ ${\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}$

Una integral lineal de un campo escalar es, por tanto, una integral lineal de un campo vectorial, donde los vectores son siempre tangenciales a la línea de integración.

Las integrales de línea de campos vectoriales son independientes de la parametrización r en valor absoluto , pero sí dependen de su orientación . En concreto, una inversión de la orientación de la parametrización cambia el signo de la integral de línea. ^[2]

Desde el punto de vista de la geometría diferencial , la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral de la 1-forma correspondiente bajo el isomorfismo musical (que lleva el campo vectorial al campo covectorial correspondiente ), sobre la curva considerada como una 1-variedad inmersa .

Derivación

Trayectoria de una partícula (en rojo) a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. Partiendo de a , la partícula traza la trayectoria C a lo largo del campo vectorial F . El producto escalar (línea verde) de su vector tangente (flecha roja) y el vector del campo (flecha azul) define un área bajo una curva, que es equivalente a la integral de línea de la trayectoria. (Haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada).

La integral de línea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar al caso de un campo escalar, pero esta vez con la inclusión de un producto escalar. Nuevamente usando las definiciones anteriores de F , C y su parametrización r ( t ) , construimos la integral a partir de una suma de Riemann . Particionamos el intervalo [ a , b ] (que es el rango de los valores del parámetro t ) en n intervalos de longitud Δ t = ( b − a )/ n . Dejando t _i como el i ésimo punto en [ a , b ] , entonces r ( t _i ) nos da la posición del i ésimo punto en la curva. Sin embargo, en lugar de calcular las distancias entre puntos subsiguientes, necesitamos calcular sus vectores de desplazamiento , Δ r _i . Como antes, evaluar F en todos los puntos en la curva y tomar el producto escalar con cada vector de desplazamiento nos da la contribución infinitesimal de cada partición de F en C . Si dejamos que el tamaño de las particiones llegue a cero, obtenemos una suma $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

Por el teorema del valor medio , vemos que el vector de desplazamiento entre puntos adyacentes en la curva es $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior obtenemos $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente.

Independencia de trayectoria

Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (es decir, si F es conservativo ), es decir, entonces por la regla de la cadena multivariable la derivada de la composición de G y r ( t ) es que resulta ser el integrando para la integral de línea de F en r ( t ) . Se deduce, dado un camino C , que $${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,}$$ $${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$$ $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$$

En otras palabras, la integral de F sobre C depende únicamente de los valores de G en los puntos r ( b ) y r ( a ) , y por lo tanto es independiente de la trayectoria entre ellos. Por esta razón, una integral de línea de un campo vectorial conservativo se llama independiente de la trayectoria .

Aplicaciones

La integral de línea tiene muchos usos en física. Por ejemplo, el trabajo realizado sobre una partícula que viaja por una curva C dentro de un campo de fuerza representado como un campo vectorial F es la integral de línea de F sobre C. ^[3]

Flujo a través de una curva

Para un campo vectorial , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , la integral de línea a través de una curva C ⊂ U , también llamada integral de flujo , se define en términos de una parametrización suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como: ${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

Aquí ⋅ es el producto escalar, y es la perpendicular en sentido horario del vector de velocidad . ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$

El flujo se calcula en un sentido orientado: la curva C tiene una dirección hacia adelante especificada desde r ( a ) a r ( b ) , y el flujo se cuenta como positivo cuando F ( r ( t )) está en el lado horario del vector de velocidad hacia adelante r' ( t ) .

Integral de línea compleja

En el análisis complejo , la integral de línea se define en términos de multiplicación y suma de números complejos. Supóngase que U es un subconjunto abierto del plano complejo C , f  : U → C es una función, y es una curva de longitud finita, parametrizada por γ : [ a , b ] → L , donde γ ( t ) = _x ( t ) + iy ( t ) . La integral de línea se puede definir subdividiendo el intervalo [ a , b ] en a = t0 < t1 <... < tn = _{b y} considerando la expresión ${\displaystyle L\subset U}$ $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

La integral es entonces el límite de esta suma de Riemann a medida que las longitudes de los intervalos de subdivisión se acercan a cero.

Si la parametrización γ es continuamente diferenciable , la integral de línea se puede evaluar como una integral de una función de una variable real: $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

Cuando L es una curva cerrada (los puntos inicial y final coinciden), la integral de línea suele denotarse, a veces denominada en ingeniería, como integral cíclica . ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$

Para establecer una analogía completa con la integral de línea de un campo vectorial, hay que volver a la definición de diferenciabilidad en el cálculo multivariable. El gradiente se define a partir del teorema de representación de Riesz y los productos internos en el análisis complejo implican conjugación (el gradiente de una función en algún momento sería y el producto interno complejo atribuiría dos veces un conjugado a en la definición de campo vectorial de una integral de línea). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}}$ ${\displaystyle \gamma '}$

La integral de línea con respecto al diferencial complejo conjugado se define ^[4] como ${\displaystyle {\overline {dz}}}$ $${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

Las integrales de línea de funciones complejas se pueden evaluar utilizando varias técnicas. La más directa es dividir en partes reales e imaginarias, reduciendo el problema a la evaluación de dos integrales de línea de valor real. El teorema de la integral de Cauchy se puede utilizar para igualar la integral de línea de una función analítica a la misma integral sobre una curva más conveniente. También implica que sobre una curva cerrada que encierra una región donde f ( z ) es analítica sin singularidades , el valor de la integral es simplemente cero, o en caso de que la región incluya singularidades, el teorema del residuo calcula la integral en términos de las singularidades. Esto también implica la independencia de la trayectoria de la integral de línea compleja para funciones analíticas.

Ejemplo

Consideremos la función f ( z ) = 1/ z , y sea el contorno L el círculo unitario en sentido antihorario alrededor de 0, parametrizado por z ( t ) = e ^it con t en [0, 2 π ] utilizando la exponencial compleja . Sustituyendo, encontramos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}$$

Éste es un resultado típico de la fórmula integral de Cauchy y del teorema del residuo .

Relación entre la integral de línea compleja y la integral de línea de un campo vectorial

Al considerar los números complejos como vectores bidimensionales , la integral de línea de una función de valor complejo tiene partes reales y complejas iguales a la integral de línea y la integral de flujo del campo vectorial correspondiente a la función conjugada . Específicamente, si parametriza L y corresponde al campo vectorial , entonces: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle {\overline {f(z)}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}$$

Por el teorema de Cauchy , la integral de la izquierda es cero cuando es analítica (satisfaciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) para cualquier curva suave y cerrada L. En consecuencia, por el teorema de Green , las integrales de la derecha son cero cuando es irrotacional ( libre de rizo ) e incompresible ( libre de divergencia ). De hecho, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para son idénticas a la desaparición del rizo y la divergencia para F. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}}$ ${\displaystyle f(z)}$

Según el teorema de Green , el área de una región encerrada por una curva suave, cerrada y orientada positivamente está dada por la integral. Este hecho se utiliza, por ejemplo, en la demostración del teorema del área . ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$

Mecánica cuántica

La formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica en realidad no se refiere a las integrales de trayectoria en este sentido, sino a las integrales funcionales , es decir, integrales sobre un espacio de trayectorias, de una función de una trayectoria posible. Sin embargo, las integrales de trayectoria en el sentido de este artículo son importantes en la mecánica cuántica; por ejemplo, la integración de contornos complejos se utiliza a menudo para evaluar amplitudes de probabilidad en la teoría de dispersión cuántica .

Véase también

• Teorema de divergencia
• Teorema del gradiente
• Métodos de integración de contornos
• Teorema de Nachbin
• Elemento de línea
• Integral de superficie
• Elemento de volumen
• Integral de volumen

Referencias

1. Kwong-Tin Tang (30 de noviembre de 2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos 2: análisis vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias y transformadas de Laplace. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
2. Nykamp, ​​Duane. "Las integrales de línea son independientes de la parametrización". Math Insight . Consultado el 18 de septiembre de 2020 .
3. "16.2 Integrales de línea". www.whitman.edu . Consultado el 18 de septiembre de 2020 .
4. Ahlfors, Lars (1966). Análisis complejo (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 103.

Enlaces externos

• "Integral sobre trayectorias", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Módulos de Khan Academy :
  • Introducción a la integral de línea
  • "Ejemplo 1 de integral de línea"
  • "Ejemplo 2 de integral de línea (parte 1)"
  • "Ejemplo 2 de integral de línea (parte 2)"
• Integral de trayectoria en PlanetMath .
• Integral de línea de un campo vectorial – Interactivo