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Funciones hiperbólicas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero definidas utilizando la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sen t ) forman un círculo con un radio unitario , los puntos (cosh t , senh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . Además, de manera similar a cómo las derivadas de sin( t ) y cos( t ) son cos( t ) y –sin( t ) respectivamente, las derivadas de sinh( t ) y cosh( t ) son cosh( t ) y +sinh( t ) respectivamente.

Las funciones hiperbólicas se utilizan en los cálculos de ángulos y distancias en la geometría hiperbólica . También se utilizan en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física , incluidas la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Las funciones hiperbólicas básicas son: [1]

de donde se derivan: [4]

correspondiente a las funciones trigonométricas derivadas.

Las funciones hiperbólicas inversas son:

Un rayo que pasa por la hipérbola unitaria x 2y 2 = 1 en el punto (cosh a , sinh a ) , donde a es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje x . Para los puntos de la hipérbola que están debajo del eje x , el área se considera negativa (ver la versión animada con comparación con las funciones trigonométricas (circulares)).

Las funciones hiperbólicas toman un argumento real llamado ángulo hiperbólico . El tamaño de un ángulo hiperbólico es el doble del área de su sector hiperbólico . Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos de los catetos de un triángulo rectángulo que cubre este sector.

En el análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones enteras . Como resultado, las demás funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , las funciones hiperbólicas tienen un valor trascendental para cada valor algebraico distinto de cero del argumento. [12]

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert . [13] Riccati utilizó Sc. y Cc. ( seno/coseno circular ) para referirse a las funciones circulares y Sh. y Ch. ( seno/coseno hiperbólico ) para referirse a las funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero alteró las abreviaturas a las que se utilizan hoy en día. [14] Las abreviaturas sh , ch , th , cth también se utilizan actualmente, según la preferencia personal.

Notación

Definiciones

sinh , cosh y tanh
csch , sech y coth

Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.

Definiciones exponenciales

sinh x es la mitad de la diferencia de e x y e x
cosh x es el promedio de e x y e x

En términos de la función exponencial : [1] [4]

Definiciones de ecuaciones diferenciales

Las funciones hiperbólicas pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales : El seno y el coseno hiperbólicos son la solución ( s , c ) del sistema con las condiciones iniciales Las condiciones iniciales hacen que la solución sea única; sin ellas cualquier par de funciones sería una solución.

sinh( x ) y cosh( x ) son también la única solución de la ecuación f  ″( x ) = f  ( x ) , tal que f  (0) = 1 , f  ′(0) = 0 para el coseno hiperbólico, y f  (0) = 0 , f  ′(0) = 1 para el seno hiperbólico.

Definiciones trigonométricas complejas

Las funciones hiperbólicas también pueden deducirse a partir de funciones trigonométricas con argumentos complejos :

donde i es la unidad imaginaria con i 2 = −1 .

Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales a través de la fórmula de Euler (ver § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).

Propiedades caracterizantes

Coseno hiperbólico

Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (sobre un intervalo finito) es siempre igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo: [15]

Tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial f  ′ = 1 − f 2 , con f  (0) = 0 . [16] [17]

Relaciones útiles

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn [18] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica (hasta pero sin incluir senos o senos implícitos de cuarto grado) para , , o y en una identidad hiperbólica, desarrollándola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a seno y coseno a coseno, y cambiando el signo de cada término que contenga un producto de dos senos.

Funciones pares e impares:

Por eso:

Por lo tanto, cosh x y sech x son funciones pares ; las demás son funciones impares .

El seno y el coseno hiperbólicos satisfacen:

El último de los cuales es similar a la identidad trigonométrica pitagórica .

Uno también tiene

para las demás funciones.

Sumas de argumentos

particularmente

También:

Fórmulas de resta

También: [19]

Fórmulas de medio argumento

donde sgn es la función de signo .

Si x ≠ 0 , entonces [20]

Fórmulas cuadradas

Desigualdades

La siguiente desigualdad es útil en estadística: [21]

Esto se puede demostrar comparando las series de Taylor de las dos funciones término por término.

Funciones inversas como logaritmos

Derivados

Segundas derivadas

Cada una de las funciones sinh y cosh es igual a su segunda derivada , es decir:

Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de sinh y cosh , en particular las funciones exponenciales y . [22]

Integrales estándar

Las siguientes integrales se pueden demostrar mediante sustitución hiperbólica :

donde C es la constante de integración .

Expresiones de la serie de Taylor

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función senh x es impar , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes impares para x .

Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función cosh x es par , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes pares para x .

La suma de las series sinh y cosh es la expresión de la serie infinita de la función exponencial .

Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.

dónde:

Productos infinitos y fracciones continuas

Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:

Comparación con funciones circulares

El círculo y la hipérbola tangente en (1,1) muestran la geometría de funciones circulares en términos del área del sector circular u y funciones hiperbólicas que dependen del área del sector hiperbólico u .

Las funciones hiperbólicas representan una expansión de la trigonometría más allá de las funciones circulares . Ambos tipos dependen de un argumento , ya sea un ángulo circular o un ángulo hiperbólico .

Como el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r 2 u /2 , será igual a u cuando r = 2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud angular. De manera similar, las regiones amarilla y roja juntas representan un sector hiperbólico con un área que corresponde a la magnitud angular hiperbólica.

Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud 2 veces las funciones circular e hiperbólica.

El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. [23]

La función Gudermanniana da una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucran números complejos.

La gráfica de la función a cosh( x / a ) es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible y uniforme que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.

Relación con la función exponencial

La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades y Combinado con la fórmula de Euler esto da para la función exponencial compleja general .

Además,

Funciones hiperbólicas para números complejos

Dado que la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomorfas .

Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias están dadas por la fórmula de Euler para números complejos: así:

Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto al componente imaginario, con período ( para la tangente y la cotangente hiperbólicas).

Véase también

Referencias

  1. ^ abcd Weisstein, Eric W. "Funciones hiperbólicas". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
  2. ^ (1999) Collins Concise Dictionary , 4.ª edición, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4 , pág. 1386 
  3. ^ ab Diccionario conciso Collins , pág. 328
  4. ^ ab "Funciones hiperbólicas". www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
  5. ^ Diccionario conciso Collins , pág. 1520
  6. ^ Diccionario conciso Collins , pág. 329
  7. ^ tanh
  8. ^ Diccionario conciso Collins , pág. 1340
  9. ^ Woodhouse, NMJ (2003), Relatividad especial , Londres: Springer, pág. 71, ISBN 978-1-85233-426-0
  10. ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
  11. ^ Algunos ejemplos del uso de arcsinh encontrados en Google Books .
  12. ^ Niven, Ivan (1985). Números irracionales . Vol. 11. Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 9780883850381.JSTOR  10.4169/j.ctt5hh8zn .
  13. ^ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler a los 300 años: una apreciación. Asociación Matemática de Estados Unidos, 2007. Página 100.
  14. ^ Georg F. Becker. Funciones hiperbólicas. Read Books, 1931. Página xlviii.
  15. ^ NP, Bali (2005). Cálculo integral áureo. Firewall Media. pág. 472. ISBN 81-7008-169-6.
  16. ^ Willi-hans Steeb (2005). Manual de trabajo no lineal: Caos, fractales, autómatas celulares, redes neuronales, algoritmos genéticos, programación de expresión génica, máquinas de vectores de soporte, wavelets, modelos ocultos de Markov, lógica difusa con programas en C++, Java y Symbolicc++ (3.ª ed.). World Scientific Publishing Company. pág. 281. ISBN 978-981-310-648-2.Extracto de la página 281 (utilizando lambda=1)
  17. ^ Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010). Atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (segunda edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 290. ISBN 978-0-387-48807-3.Extracto de la página 290
  18. ^ Osborn, G. (julio de 1902). "Mnemónico para fórmulas hiperbólicas". The Mathematical Gazette . 2 (34): 189. doi :10.2307/3602492. JSTOR  3602492. S2CID  125866575.
  19. ^ Martin, George E. (1986). Fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (1.ª ed. corregida). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 416. ISBN 3-540-90694-0.
  20. ^ "Demuestre la identidad tanh(x/2) = (cosh(x) - 1)/sinh(x)". StackExchange (matemáticas) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
  21. ^ Audibert, Jean-Yves (2009). "Tasas de aprendizaje rápidas en inferencia estadística mediante agregación". Anales de estadística, pág. 1627.[1]
  22. ^ Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Funciones hiperbólicas", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
  23. ^ Mellen W. Haskell , "Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas", Bulletin of the American Mathematical Society 1 :6:155–9, texto completo

Enlaces externos