En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el término grupo Z se refiere a una serie de tipos distintos de grupos :
En el estudio de grupos finitos , un grupo Z es un grupo finito cuyos subgrupos de Sylow son todos cíclicos . La Z tiene su origen tanto en el Zyklische alemán como en su clasificación (Zassenhaus 1935). En muchos libros de texto estándar, estos grupos no tienen ningún nombre especial, aparte del de grupos metacíclicos , pero ese término se usa a menudo de manera más general hoy en día. Consulte grupo metacíclico para obtener más información sobre la definición general y moderna que incluye grupos p no cíclicos ; ver (Hall 1959, Th. 9.4.3) para una definición clásica más estricta y más estrechamente relacionada con los grupos Z.
Cada grupo cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos es en sí mismo metacíclico , por lo que es supersoluble . De hecho, dicho grupo tiene un subgrupo derivado cíclico con cociente abeliano máximo cíclico. Tal grupo tiene la siguiente presentación (Pabellón 1959, Th. 9.4.3):
La teoría del carácter de los grupos Z se comprende bien (Çelik 1976), ya que son grupos monomios .
La longitud derivada de un grupo Z es como máximo 2, por lo que los grupos Z pueden ser insuficientes para algunos usos. Una generalización debida a Hall son los grupos A , aquellos grupos con subgrupos abelianos de Sylow. Estos grupos se comportan de manera similar a los grupos Z, pero pueden tener una longitud derivada arbitrariamente grande (Hall 1940). Otra generalización debida a (Suzuki 1955) permite al subgrupo 2 de Sylow más flexibilidad, incluidos los grupos diédricos y de cuaterniones generalizados .
La definición de serie central utilizada para el grupo Z es algo técnica. Una serie de G es una colección S de subgrupos de G , ordenados linealmente por inclusión, de modo que para cada g en G , los subgrupos Ag = ∩ { N en S : g en N } y B g = ∪ { N en S : g no en N } están ambos en S . Una serie central ( generalizada) de G es una serie tal que cada N en S es normal en G y tal que para cada g en G , el cociente Ag / Bg está contenido en el centro de G / Bg . Un grupo Z es un grupo con una serie central (generalizada). Los ejemplos incluyen los grupos hipercentrales cuyas series centrales superiores transfinitas forman dicha serie central, así como los grupos hipocentrales cuyas series centrales inferiores transfinitas forman dicha serie central (Robinson 1996).
Un grupo (Z) es un grupo fielmente representado como un grupo de permutación doblemente transitivo en el que ningún elemento no identitario fija más de dos puntos. Un grupo (ZT) es un grupo (Z) de grado impar y no un grupo de Frobenius , es decir, un grupo de Zassenhaus de grado impar, también conocido como uno de los grupos PSL(2,2 k +1 ) o Sz(2 2 k +1 ) , para k cualquier entero positivo (Suzuki 1961).
