Serie central

Serie normal de subgrupos que indican casi conmutatividad

En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de Lie , una serie central es una especie de serie normal de subgrupos o subálgebras de Lie , que expresa la idea de que el conmutador es casi trivial. Para los grupos , la existencia de una serie central significa que se trata de un grupo nilpotente ; para anillos matriciales (considerados álgebras de Lie), significa que, en alguna base, el anillo consta enteramente de matrices triangulares superiores con diagonal constante.

Este artículo utiliza el lenguaje de la teoría de grupos; Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie.

Un grupo general posee una serie central inferior y una serie central superior (también llamadas series centrales descendentes y series centrales ascendentes , respectivamente), pero estas son series centrales en sentido estricto (que terminan en el subgrupo trivial) si y sólo si el grupo es nilpotente . Una construcción relacionada pero distinta es la serie derivada , que termina en el subgrupo trivial siempre que el grupo tiene solución .

Definición

Una serie central es una secuencia de subgrupos.

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

tal que los cocientes sucesivos sean centrales ; es decir , donde denota el subgrupo del conmutador generado por todos los elementos de la forma , con g en G y h en H. Desde entonces , el subgrupo es normal en G para cada i . Por lo tanto, podemos reformular la condición 'central' anterior como: es normal en G y es central para cada i . Como consecuencia, es abeliano para cada i . ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$ ${\displaystyle [G,H]}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ ${\displaystyle G/A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$

Una serie central es análoga en la teoría de Lie a una bandera que se conserva estrictamente mediante la acción adjunta (más prosaicamente, una base en la que cada elemento está representado por una matriz triangular estrictamente superior ); comparar el teorema de Engel .

Un grupo no necesita tener una serie central. De hecho, un grupo tiene serie central si y sólo si es un grupo nilpotente . Si un grupo tiene una serie central, entonces hay dos series centrales cuyos términos son extremos en ciertos sentidos. Dado que A ₀ = {1}, el centro Z ( G ) satisface A ₁ ≤ Z ( G ). Por lo tanto, la elección máxima para A ₁ es A ₁ = Z ( G ). _Si se continúa de esta manera eligiendo la mayor Ai + 1 posible dada _Ai se produce _lo que se llama la serie central superior . Dualmente, dado que _An =  G  , el subgrupo del conmutador [ G , G ] satisface [ G , G ] = [ G , An _] ≤ An _{− 1} . Por lo tanto, la elección mínima para An _{− 1} es [ _G , G ] . Continuar eligiendo Ai mínimamente dado Ai _{+ 1} tal que [ G , Ai _{+ 1} ] ≤ Ai _{produce lo que} se llama la serie central _inferior . Estas series se pueden construir para cualquier grupo, y si un grupo tiene una serie central (es un grupo nilpotente), estos procedimientos producirán series centrales.

Serie central inferior

La serie central inferior (o serie central descendente ) de un grupo G es la serie descendente de subgrupos

GRAMO = GRAMO ₁ ⊵ GRAMO ₂ ⊵ ⋯ ⊵ GRAMO _norte ⊵ ⋯,

donde, para cada n ,

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$,

el subgrupo de G generado por todos los conmutadores con y . Por lo tanto , el subgrupo derivado de G , mientras que , etc. La serie central inferior a menudo se denota como . Decimos que la serie termina o se estabiliza cuando , y el n más pequeño es la longitud de la serie. ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x\in G_{n}}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$ ${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$

Esta no debe confundirse con la serie derivada , cuyos términos son

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$,

no . Las dos series están relacionadas por . Por ejemplo, el grupo simétrico S ₃ tiene solución de clase 2: la serie derivada es S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e }. Pero no es nilpotente: su serie central inferior S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} no termina en { e }. Un grupo nilpotente es un grupo resoluble y su longitud derivada es logarítmica en su clase de nilpotencia (Schenkman 1975, p. 201, 216). ${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$ ${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$

Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central inferior hasta números ordinales infinitos mediante recursividad transfinita : para un ordinal límite λ , defina

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

Si es para algún ordinal λ , entonces se dice que G es un grupo hipocentral . Para cada ordinal λ , existe un grupo G tal que , pero para todos , (Malcev 1949). ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$

Si es el primer ordinal infinito, entonces el subgrupo normal más pequeño de G es tal que el cociente es residualmente nilpotente , es decir, tal que cada elemento no identitario tiene una imagen homomórfica no identitaria en un grupo nilpotente (Schenkman 1975, p. 175,183). En el campo de la teoría combinatoria de grupos , un resultado temprano e importante es que los grupos libres son residualmente nilpotentes. De hecho, los cocientes de la serie central inferior son grupos abelianos libres con una base natural definida por conmutadores básicos (Hall 1959, capítulo 11). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G_{\omega }}$

Si para algún n finito , entonces es el subgrupo normal más pequeño de G con cociente nilpotente, y se llama residual nilpotente de G. Este es siempre el caso de un grupo finito y define el término en la serie de montaje inferior para G. ${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle F_{1}(G)}$

Si para todo n finito , entonces no es nilpotente, pero sí residualmente nilpotente . ${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$ ${\displaystyle G/G_{\omega }}$

No existe un término general para la intersección de todos los términos de la serie central inferior transfinita, análoga al hipercentro (abajo).

Serie central superior

La serie central superior (o serie central ascendente ) de un grupo G es la secuencia de subgrupos

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

donde cada grupo sucesivo está definido por:

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

y se llama i- ésimo centro de G (respectivamente, segundo centro , tercer centro , etc.). En este caso, es el centro de G , y para cada grupo sucesivo, el grupo de factores es el centro de y se denomina cociente de la serie central superior . Nuevamente decimos que la serie termina si se estabiliza en una cadena de igualdades y su longitud es el número de grupos distintos que contiene. ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$ ${\displaystyle G/Z_{i}}$

Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central superior hasta infinitos números ordinales mediante recursividad transfinita : para un ordinal límite λ , defina

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

El límite de este proceso (la unión de los centros superiores) se denomina hipercentro del grupo.

Si la serie central superior transfinita se estabiliza en todo el grupo, entonces el grupo se llama hipercentral . Los grupos hipercentrales disfrutan de muchas propiedades de los grupos nilpotentes, como la condición de normalizador (el normalizador de un subgrupo adecuado contiene adecuadamente el subgrupo), los elementos del orden coprimo conmutan y los grupos hipercentrales periódicos son la suma directa de sus p -subgrupos de Sylow (Schenkman 1975). , cap.VI.3). Para cada ordinal λ existe un grupo G con Z _λ ( G ) = G , pero Z _α ( G ) ≠ G para α < λ , (Gluškov 1952) y (McLain 1956).

Conexión entre serie central inferior y superior

Existen varias conexiones entre la serie central inferior (LCS) y la serie central superior (UCS) (Ellis 2001), particularmente para grupos nilpotentes .

Para un grupo nilpotente, las longitudes de LCS y UCS coinciden, y esta longitud se denomina clase de nilpotencia del grupo. Sin embargo, la LCS y la UCS de un grupo nilpotente no necesariamente tienen los mismos términos. Por ejemplo, mientras que la UCS y la LCS coinciden para el grupo cíclico C ₂ ⊵ { e } y el grupo cuaternión Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1}, la UCS y la LCS de su producto directo C ₂ × Q ₈ sí coinciden no de acuerdo: su LCS es C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}, mientras que su UCS es C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { mi } × {1}.

Un grupo es abeliano si y sólo si el LCS termina en el primer paso (el subgrupo del conmutador es el grupo completo), si y sólo si el UCS termina en el primer paso (el centro es el grupo completo).

Por el contrario, el LCS termina en el paso cero si y sólo si el grupo es perfecto (el conmutador es el grupo completo), mientras que el UCS termina en el paso cero si y sólo si el grupo no tiene centros (centro trivial), que son conceptos distintos. Para un grupo perfecto, el UCS siempre se estabiliza en el primer paso ( lema de Grün ). Sin embargo, un grupo sin centros puede tener un LCS muy largo: un grupo libre en dos o más generadores no tiene centros, pero su LCS no se estabiliza hasta el primer ordinal infinito. Esto muestra que las longitudes de LCS y UCS no tienen por qué coincidir en general.

Serie central refinada

En el estudio de p -grupos (que siempre son nilpotentes), suele ser importante utilizar series centrales más largas. Una clase importante de tales series centrales son las series centrales con exponente p ; es decir, una serie central cuyos cocientes son grupos abelianos elementales , o lo que es lo mismo, tienen exponente p . Existe una serie única de este tipo que desciende más rápidamente, la serie central de exponente más bajo p λ definida por:

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$, y

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$.

El segundo término, , es igual a , el subgrupo de Frattini . La serie central p de exponente más bajo a veces se denomina simplemente serie p -central. ${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$ ${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

Existe una única serie de este tipo que asciende con mayor rapidez, la serie central de exponente superior p, S, definida por:

S ₀ ( GRAMO ) = 1

S _{norte +1} ( GRAMO )/S _norte ( GRAMO ) = Ω(Z( GRAMO /S _norte ( GRAMO )))

donde Ω( Z ( H )) denota el subgrupo generado por (e igual a) el conjunto de elementos centrales de H de orden que divide a p . El primer término, S ₁ ( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos y por lo tanto es igual al zócalo de G . Por esta razón, la serie central de exponente superior p se conoce a veces como serie del zócalo o incluso serie de Loewy, aunque esta última suele utilizarse para indicar una serie descendente.

A veces son útiles otros refinamientos de la serie central, como la serie de Jennings κ definida por:

κ ₁ ( GRAMO ) = GRAMO , y

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p , donde i es el entero más pequeño mayor o igual a n / p .

La serie Jennings lleva el nombre de Stephen Arthur Jennings, quien usó la serie para describir la serie Loewy del anillo de grupo modular de un grupo p .

Ver también

• Serie nilpotente , un concepto análogo para grupos solubles
• Relaciones padre-descendiente para p -grupos finitos definidos por varios tipos de series centrales
• grupo unipotente

Referencias

• Ellis, Graham (octubre de 2001), "Sobre la relación entre los cocientes centrales superiores y las series centrales inferiores de un grupo", Transactions of the American Mathematical Society , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090/S0002-9947-01 -02812-4 , JSTOR  2693793
• Gluškov, VM (1952), "Sobre la serie central de grupos infinitos", Mat. Sbornik , nueva serie, 31 : 491–496, SEÑOR  0052427
• Hall, Marshall (1959), La teoría de grupos , Macmillan, MR  0103215
• Malcev, AI (1949), "Álgebras nilpotentes generalizadas y sus grupos asociados", Mat. Sbornik , nueva serie, 25 (67): 347–366, SEÑOR  0032644
• McLain, DH (1956), "Observaciones sobre la serie central superior de un grupo", Proc. Matemáticas de Glasgow. Asociación. , 3 : 38–44, doi : 10.1017/S2040618500033414 , SEÑOR  0084498
• Schenkman, Eugene (1975), Teoría de grupos , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, SEÑOR  0460422, especialmente el capítulo VI.