grupo supersoluble

Grupo con series de subgrupos normales donde todos los factores son cíclicos

En matemáticas , un grupo es supersoluble (o supersoluble ) si tiene una serie normal invariante donde todos los factores son grupos cíclicos . La supersolubilidad es más fuerte que la noción de solubilidad .

Definición

Sea G un grupo . G es supersoluble si existe una serie normal

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G}$

tal que cada grupo cociente es cíclico y cada uno es normal en . ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\;}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$

Por el contrario, para un grupo resoluble la definición requiere que cada cociente sea abeliano . En otra dirección, un grupo policíclico debe tener una serie subnormal con cada cociente cíclico, pero no existe ningún requisito de que cada uno sea normal en . Como todo grupo finito que se puede resolver es policíclico, esto puede verse como una de las diferencias clave entre las definiciones. Para un ejemplo concreto, el grupo alterno en cuatro puntos, es solucionable pero no supersoluble. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{4}}$

Propiedades básicas

Algunos datos sobre grupos supersolubles:

• Los grupos supersolubles son siempre policíclicos y, por tanto, solucionables .
• Todo grupo nilpotente generado finitamente es supersoluble.
• Cada grupo metacíclico es supersoluble.
• El subgrupo conmutador de un grupo supersoluble es nilpotente.
• Los subgrupos y grupos cocientes de grupos supersolubles son supersolubles.
• Un grupo finito supersoluble tiene una serie normal invariante con cada factor cíclico de orden primo.
• De hecho, los números primos se pueden elegir en un buen orden: para cada número primo p, y para π el conjunto de números primos mayores que p, un grupo finito supersoluble tiene un subgrupo Hall π único . Estos grupos a veces se denominan grupos ordenados de torres de Sylow.
• Todo grupo de orden libre de cuadrados y todo grupo con subgrupos cíclicos de Sylow (un grupo Z ) es supersoluble.
• Toda representación compleja irreducible de un grupo finito supersoluble es monomio, es decir, inducida a partir del carácter lineal de un subgrupo. En otras palabras, todo grupo finito supersoluble es un grupo monomio .
• Cada subgrupo máximo en un grupo supersoluble tiene un índice primo .
• Un grupo finito es supersoluble si y sólo si cada subgrupo máximo tiene un índice primo.
• Un grupo finito es supersoluble si y sólo si cada cadena máxima de subgrupos tiene la misma longitud. Esto es importante para aquellos interesados ​​en la red de subgrupos de un grupo y, a veces, se denomina condición de la cadena de Jordan-Dedekind .
• Además, un grupo finito es supersoluble si y sólo si su red de subgrupos es una red supersoluble , un fortalecimiento significativo de la condición de la cadena Jordan-Dedekind.
• Según el teorema de Baum, cada grupo finito supersoluble tiene un algoritmo DFT ejecutándose en el tiempo O ( n log n ). ^{[ se necesita aclaración ]}

Referencias

• Schenkman, Eugenio. Teoría de grupos . Krieger, 1975.
• Schmidt, Roland. Subgrupo Redes de Grupos . de Gruyter, 1994.
• Keith Conrad, SUBGRUPO SERIE II, Sección 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf