Red supersoluble

Red graduada con cadena máxima modular

En matemáticas, una red supersoluble es una red graduada que tiene una cadena máxima de elementos, cada uno de los cuales obedece a una determinada relación de modularidad. La definición encapsula muchas de las propiedades interesantes de las redes de subgrupos de grupos supersolubles .

Motivación

Se dice que un grupo finito es supersoluble si admite una cadena (o serie ) máxima de subgrupos de modo que cada subgrupo en la cadena sea normal en . Desde la década de 1940 se sabe que un subgrupo normal es modular por izquierda y derecha (dual) como un elemento de la red de subgrupos. ^[1] Richard Stanley notó en la década de 1970 que ciertas redes geométricas , como la red de partición , obedecían propiedades similares y dieron una abstracción de teoría de redes. ^{[2] [3]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Definición

Una red graduada finita es supersoluble si admite una cadena máxima de elementos (llamada cadena M o cadena principal ) que obedece cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$

1. Para cualquier cadena de elementos, la subred más pequeña de que contiene todos los elementos de y es distributiva. ^[4] Esta es la condición original de Stanley. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$
2. Cada elemento de es modular por izquierda . Es decir, para cada uno de y cada uno de , tenemos ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x\vee m)\wedge y=x\vee (m\wedge y).}$
3. Cada elemento de es modular en rango, en el siguiente sentido: si es la función de rango de , entonces para cada en y cada en , tenemos ^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \rho (m\wedge x)+\rho (m\vee x)=\rho (m)+\rho (x).}$

A modo de comparación, una red finita es geométrica si y sólo si es atomística y los elementos de la anticadena de átomos se dejan todos modulares. ^[9]

Una extensión de la definición es la de una red modular izquierda : una red no necesariamente graduada con una cadena máxima que consiste en elementos modulares izquierdos. Por lo tanto, una red modular izquierda requiere la condición de (2), pero relaja el requisito de gradación. ^[10]

Ejemplos

Diagrama de Hasse de la red de particiones sin cruces en un conjunto de 4 elementos. La cadena máxima más a la izquierda es una cadena principal.

Un grupo es supersoluble si y sólo si su red de subgrupos es supersoluble. Una serie principal de subgrupos forma una cadena principal en la red de subgrupos. ^[3]

La red de particiones de un conjunto finito es supersoluble. Una partición se deja modular en esta red si y solo si tiene como máximo una parte no singleton . ^[3] La red de particiones sin cruces es igualmente supersoluble, ^[11] aunque no es geométrica. ^[12]

La red de planos del matroide gráfico de un grafo es supersoluble si y solo si el grafo es cordal . Trabajando desde arriba, la cadena principal se obtiene eliminando vértices en un orden de eliminación perfecto uno por uno. ^[13]

Toda red modular es supersoluble, ya que cada elemento en dicha red sigue siendo modular y modular en rango. ^[3]

Propiedades

Un matroide finito con una red supersoluble de planos (equivalentemente, una red que es tanto geométrica como supersoluble) tiene un polinomio característico de raíz real . ^{[14] [15]} Esto es una consecuencia de un teorema de factorización más general para polinomios característicos sobre elementos modulares. ^[16]

El álgebra de Orlik-Solomon de una disposición de hiperplanos con una red de intersecciones supersoluble es un álgebra de Koszul . ^[17] Para obtener más información, consulte Disposición supersoluble .

Cualquier red finita supersoluble tiene un etiquetado lexicográfico de aristas (o etiquetado EL), por lo tanto, su complejo de orden es descascarable y Cohen-Macaulay . De hecho, las redes supersolubles se pueden caracterizar en términos de etiquetados lexicográficos de aristas: una red finita de altura es supersoluble si y solo si tiene un etiquetado lexicográfico de aristas que asigna a cada cadena máxima una permutación de ^[18] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}.}$

Notas

1. Schmidt (1994, Teorema 2.1.3 y discusión al respecto)
2. Stanley (1972)
3. Stern (1999, pág. 162)
4. Stern (1999, Sección 4.3)
5. Stern (1999, Corolario 4.3.3) (para redes semimodulares)
6. McNamara y Thomas (2006, Teorema 1)
7. Stanley (2007, Proposición 4.10) (para redes geométricas)
8. Foldes y Woodroofe (2021, Teorema 1.4)
9. Stern (1999, Teoremas 1.72 y 1.73)
10. McNamara y Thomas (2006)
11. Heller y Schwer (2018)
12. Simion (2000, pág. 370)
13. Stanley (2007, Corolario 4.10)
14. Sagan (1999, Sección 6)
15. Stanley (2007, Corolario 4.9)
16. Stanley (2007, Teorema 4.13)
17. Yuzvinsky (2001, Sección 6.3)
18. McNamara y Thomas (2006, pág. 101)

Referencias

• Foldes, Stephan; Woodroofe, Russ (2021), "Una caracterización modular de redes supersolubles", Actas de la American Mathematical Society , 150 (1): 31–39, arXiv : 2011.11657 , doi :10.1090/proc/15645
• Heller, Julia; Schwer, Petra (2018), "Particiones y edificios generalizados sin cruces", Revista electrónica de combinatoria , 25 (1), arXiv : 1706.00529 , doi :10.37236/7200
• McNamara, Peter; Thomas, Hugh (2006), "Etiquetado de aristas de conjuntos de conjuntos y modularidad izquierda", European Journal of Combinatorics , 27 (1): 101–113, arXiv : math.CO/0211126 , doi :10.1016/j.ejc.2004.07.010
• Sagan, Bruce (1999), "Por qué los factores polinomiales característicos", Boletín de la American Mathematical Society , 36 (2): 113–133, arXiv : math/9812136 , doi :10.1090/S0273-0979-99-00775-2
• Schmidt, Roland (1994), Redes de subgrupos de grupos , Exposiciones de Gruyter en Matemáticas, vol. 14, Walter de Gruyter & Co., doi :10.1515/9783110868647, ISBN 3-11-011213-2
• Simion, Rodica (2000), "Particiones sin cruce", Matemáticas discretas , series de potencias formales y combinatoria algebraica (Viena 1997), 217 (1–3): 367–409, doi :10.1016/S0012-365X(99)00273-3
• Stanley, Richard P. (1972), "Redes supersolubles", Algebra Universalis , 2 : 197–217, doi :10.1007/BF02945028
• Stanley, Richard P. (2007), "Introducción a los arreglos de hiperplanos", Combinatoria geométrica , IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, American Mathematical Society, págs. 389–496, ISBN 978-0-8218-3736-8
• Stern, Manfred (1999), Redes semimodulares. Teoría y aplicaciones , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 73, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511665578, ISBN 0-521-46105-7
• Yuzvinsky, Sergey (2001), "Álgebras de Orlik-Solomon en álgebra y topología", Russian Mathematical Surveys , 56 (2): 293–364, doi :10.1070/RM2001v056n02ABEH000383, MR  1859708