En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un subgrupo Hall de un grupo finito G es un subgrupo cuyo orden es coprimo con respecto a su índice . Fueron introducidos por el teórico de grupos Philip Hall (1928).
Un divisor de Hall (también llamado divisor unitario ) de un número entero n es un divisor d de n tal que d y n / d son coprimos. La forma más sencilla de encontrar los divisores de Hall es escribir la factorización de potencias primas del número en cuestión y tomar cualquier subconjunto de los factores. Por ejemplo, para encontrar los divisores de Hall de 60, su factorización de potencias primas es 2 2 × 3 × 5, por lo que se toma cualquier producto de 3, 2 2 = 4 y 5. Por lo tanto, los divisores de Hall de 60 son 1, 3 , 4, 5, 12, 15, 20 y 60.
Un subgrupo Hall de G es un subgrupo cuyo orden es un divisor Hall del orden de G. En otras palabras, es un subgrupo cuyo orden es coprimo con respecto a su índice.
Si π es un conjunto de números primos , entonces un subgrupo Hall π es un subgrupo cuyo orden es un producto de los números primos en π , y cuyo índice no es divisible por ningún número primo en π .
Hall (1928) demostró que si G es un grupo finito con solución y π es cualquier conjunto de números primos, entonces G tiene un subgrupo Hall π y dos subgrupos cualesquiera de Hall π son conjugados. Además, cualquier subgrupo cuyo orden sea producto de números primos en π está contenido en algún subgrupo Hall π . Este resultado puede considerarse como una generalización del teorema de Sylow a los subgrupos de Hall, pero los ejemplos anteriores muestran que dicha generalización es falsa cuando el grupo no tiene solución.
La existencia de subgrupos de Hall se puede probar mediante inducción del orden de G , utilizando el hecho de que todo grupo finito que se puede resolver tiene un subgrupo abeliano elemental normal . Más precisamente, fije un subgrupo normal mínimo A , que es un grupo π o un grupo π′ ya que G es π -separable . Por inducción hay un subgrupo H de G que contiene A tal que H / A es un subgrupo Hall π de G / A . Si A es un π -grupo entonces H es un Hall π -subgrupo de G . Por otro lado, si A es un grupo π′ , entonces, según el teorema de Schur-Zassenhaus, A tiene un complemento en H , que es un subgrupo Hall π de G.
Cualquier grupo finito que tenga un subgrupo Hall π para cada conjunto de números primos π tiene solución. Ésta es una generalización del teorema de Burnside de que cualquier grupo cuyo orden sea de la forma p a q b para los primos p y q tiene solución, porque el teorema de Sylow implica que todos los subgrupos de Hall existen. Esto no proporciona (por el momento) otra prueba del teorema de Burnside, porque el teorema de Burnside se utiliza para demostrar lo contrario .
Un sistema de Sylow es un conjunto de p -subgrupos de Sylow S p para cada p primo tal que S p S q = S q S p para todo p y q . Si tenemos un sistema Sylow, entonces el subgrupo generado por los grupos S p para p en π es un subgrupo Hall π . Una versión más precisa del teorema de Hall dice que cualquier grupo que pueda resolverse tiene un sistema de Sylow y que dos sistemas de Sylow cualesquiera son conjugados.
Cualquier subgrupo H normal de Hall de un grupo finito G posee un complemento , es decir, hay algún subgrupo K de G que interseca a H trivialmente y tal que HK = G (por lo que G es un producto semidirecto de H y K ). Este es el teorema de Schur-Zassenhaus .