Función generalizada

En matemáticas , las funciones generalizadas son objetos que extienden la noción de funciones sobre números reales o complejos. Existe más de una teoría reconocida, por ejemplo, la teoría de distribuciones . Las funciones generalizadas son especialmente útiles para tratar funciones discontinuas más como funciones suaves y describir fenómenos físicos discretos como las cargas puntuales . Se aplican ampliamente, especialmente en física e ingeniería . Motivaciones importantes han sido los requisitos técnicos de las teorías de ecuaciones diferenciales parciales y representaciones de grupo .

Una característica común de algunos de los enfoques es que se basan en aspectos de operadores de funciones numéricas cotidianas. La historia temprana está relacionada con algunas ideas sobre cálculo operacional , y algunos desarrollos contemporáneos están estrechamente relacionados con el análisis algebraico de Mikio Sato .

Un poco de historia temprana

En las matemáticas del siglo XIX aparecieron aspectos de la teoría de funciones generalizadas, por ejemplo en la definición de la función de Green , en la transformada de Laplace y en la teoría de las series trigonométricas de Riemann , que no eran necesariamente las series de Fourier de una función integrable . Se trataba de aspectos desconectados del análisis matemático de la época.

El uso intensivo de la transformada de Laplace en ingeniería condujo al uso heurístico de métodos simbólicos, llamados cálculo operacional . Dado que se dieron justificaciones de que se utilizaban series divergentes , estos métodos eran cuestionables desde el punto de vista de las matemáticas puras . Son típicos de la aplicación posterior de los métodos de funciones generalizadas. Un libro influyente sobre el cálculo operacional fue Electromagnetic Theory de Oliver Heaviside de 1899.

Cuando se introdujo la integral de Lebesgue , por primera vez se planteó una noción de función generalizada, fundamental para las matemáticas. Una función integrable, en la teoría de Lebesgue, es equivalente a cualquier otra que sea la misma casi en todas partes . Eso significa que su valor en cada punto no es (en cierto sentido) su característica más importante. En el análisis funcional se da una formulación clara de la característica esencial de una función integrable, es decir, la forma en que define una funcional lineal sobre otras funciones. Esto permite una definición de derivada débil .

A finales de los años 1920 y en los años 1930 se dieron otros pasos básicos. La función delta de Dirac fue definida audazmente por Paul Dirac (un aspecto de su formalismo científico ); esto era para tratar las medidas , consideradas como densidades (como la densidad de carga ) como funciones genuinas. Sergei Sobolev , trabajando en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , definió la primera teoría rigurosa de funciones generalizadas para definir soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales (es decir, soluciones que son funciones generalizadas, pero pueden no ser funciones ordinarias). ^[1] Otros que propusieron teorías relacionadas en ese momento fueron Salomon Bochner y Kurt Friedrichs . El trabajo de Sobolev fue ampliado por Laurent Schwartz . ^[2]

Distribuciones de Schwartz

El desarrollo más definitivo fue la teoría de distribuciones desarrollada por Laurent Schwartz , que elaboró sistemáticamente el principio de dualidad para espacios vectoriales topológicos . Su principal rival en matemáticas aplicadas es la teoría de Mollifier , que utiliza secuencias de aproximaciones suaves (la explicación de " James Lighthill "). ^[3]

Esta teoría tuvo mucho éxito y todavía se utiliza ampliamente, pero tiene el inconveniente principal de que las distribuciones normalmente no se pueden multiplicar: a diferencia de la mayoría de los espacios de funciones clásicos , no forman un álgebra . Por ejemplo, no tiene sentido elevar al cuadrado la función delta de Dirac . El trabajo de Schwartz de alrededor de 1954 demostró que esto era una dificultad intrínseca.

Álgebras de funciones generalizadas

Se han propuesto algunas soluciones al problema de la multiplicación. Una de ellas se basa en una definición simple de Yu. V. Egorov ^[4] (véase también su artículo en el libro de Demidov en la lista de libros que aparece a continuación) que permite realizar operaciones arbitrarias sobre y entre funciones generalizadas.

Otra solución que permite la multiplicación es la que sugiere la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica . Dado que se requiere que sea equivalente a la teoría de Schrödinger de la mecánica cuántica , que es invariante bajo transformaciones de coordenadas, esta propiedad debe ser compartida por las integrales de trayectoria. Esto fija todos los productos de funciones generalizadas como lo demostraron H. Kleinert y A. Chervyakov. ^[5] El resultado es equivalente a lo que se puede derivar de la regularización dimensional . ^[6]

Se han propuesto varias construcciones de álgebras de funciones generalizadas, entre otras las de Yu. M. Shirokov ^[7] y las de E. Rosinger, Y. Egorov y R. Robinson. ^{[ cita requerida ]} En el primer caso, la multiplicación se determina con alguna regularización de la función generalizada. En el segundo caso, el álgebra se construye como multiplicación de distribuciones . Ambos casos se discuten a continuación.

Álgebra no conmutativa de funciones generalizadas

El álgebra de funciones generalizadas se puede construir con un procedimiento adecuado de proyección de una función a sus partes suaves y singulares . El producto de funciones generalizadas y aparece como $F=F(x)$ $F_{\rm {suave}}$ $F_{\rm {singular}}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización G}$

Esta regla se aplica tanto al espacio de funciones principales como al espacio de operadores que actúan sobre el espacio de funciones principales. Se logra la asociatividad de la multiplicación; y la función signum se define de tal manera que su cuadrado es la unidad en todas partes (incluido el origen de coordenadas). Nótese que el producto de partes singulares no aparece en el lado derecho de ( 1 ); en particular, . Este formalismo incluye la teoría convencional de funciones generalizadas (sin su producto) como un caso especial. Sin embargo, el álgebra resultante es no conmutativa: las funciones generalizadas signum y delta se anticonmutan. ^[7] Se sugirieron pocas aplicaciones del álgebra. ^[8]^[9] $\delta(x)^{2}=0$

Multiplicación de distribuciones

El problema de la multiplicación de distribuciones , una limitación de la teoría de distribución de Schwartz, se vuelve serio para los problemas no lineales .

En la actualidad se utilizan diversos enfoques. El más simple se basa en la definición de función generalizada dada por Yu. V. Egorov. ^[4] Otro enfoque para construir álgebras diferenciales asociativas se basa en la construcción de J.-F. Colombeau: véase Álgebra de Colombeau . Se trata de espacios factoriales

Estilo de visualización G=M/N

de redes de funciones "moderadas" módulo "despreciables", donde "moderación" e "despreciabilidad" se refieren al crecimiento con respecto al índice de la familia.

Ejemplo: Álgebra de Colombeau

Un ejemplo simple se obtiene utilizando la escala polinómica en N , . Entonces, para cualquier álgebra seminormada (E, P), el espacio factorial será $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$

G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.

En particular, para ( E , P )=( C ,|.|) se obtienen los números complejos generalizados (de Colombeau) (que pueden ser "infinitamente grandes" e "infinitesimalmente pequeños" y aún así permitir una aritmética rigurosa, muy similar a los números no estándar ). Para ( E , P ) = ( C ^∞ ( R ),{ p _k }) (donde p _k es el supremo de todas las derivadas de orden menor o igual a k en la bola de radio k ) se obtiene el álgebra simplificada de Colombeau .

Inyección de distribuciones de Schwartz

Esta álgebra "contiene" todas las distribuciones T de D' a través de la inyección

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n + N ,

donde ∗ es la operación de convolución , y

φ _n ( x ) = n φ ( nx ).

Esta inyección no es canónica en el sentido de que depende de la elección del suavizador φ, que debería ser C ^∞ , de uno integral y tener todas sus derivadas en 0 desvaneciéndose. Para obtener una inyección canónica, el conjunto de indexación se puede modificar para que sea N × D ( R ), con una base de filtro conveniente en D ( R ) (funciones de momentos desvanecientes hasta el orden q ).

Estructura de la gavilla

Si ( E , P ) es un (pre-) haz de álgebras seminormadas sobre algún espacio topológico X , entonces G _s ( E , P ) también tendrá esta propiedad. Esto significa que se definirá la noción de restricción , que permite definir el soporte de una función generalizada respecto de un subhaz, en particular:

Para el subconjunto {0}, se obtiene el soporte habitual (complemento del subconjunto abierto más grande donde la función es cero).
Para el subhaz E (incrustado usando la inyección canónica (constante)), se obtiene lo que se llama soporte singular , es decir, en términos generales, el cierre del conjunto donde la función generalizada no es una función suave (para E = C ^∞ ).

Análisis microlocal

Como la transformación de Fourier está (bien) definida para funciones generalizadas con soporte compacto (componente por componente), se puede aplicar la misma construcción que para las distribuciones y definir el conjunto de frentes de onda de Lars Hörmander también para funciones generalizadas.

Esto tiene una aplicación especialmente importante en el análisis de la propagación de singularidades .

Otras teorías

Entre ellas se incluyen: la teoría del cociente de convolución de Jan Mikusinski , basada en el campo de fracciones de álgebras de convolución que son dominios integrales ; y las teorías de hiperfunciones , basadas (en su concepción inicial) en valores límite de funciones analíticas , y que ahora hacen uso de la teoría de haces .

Grupos topológicos

Bruhat introdujo una clase de funciones de prueba , las funciones de Schwartz–Bruhat , en una clase de grupos localmente compactos que va más allá de las variedades que son los dominios de funciones típicos . Las aplicaciones son principalmente en teoría de números , particularmente en grupos algebraicos adélicos . André Weil reescribió la tesis de Tate en este lenguaje, caracterizando la distribución zeta en el grupo ideal ; y también la ha aplicado a la fórmula explícita de una función L.

Sección generalizada

Otra forma en la que se ha extendido la teoría es como secciones generalizadas de un fibrado vectorial liso . Esto se basa en el patrón de Schwartz, construyendo objetos duales a los objetos de prueba, secciones lisas de un fibrado que tienen un soporte compacto . La teoría más desarrollada es la de las corrientes de De Rham , duales a las formas diferenciales . Estas son de naturaleza homológica, en el sentido de que las formas diferenciales dan lugar a la cohomología de De Rham . Se pueden utilizar para formular un teorema de Stokes muy general .

Véase también

Libros

Schwartz, L. (1950). Teoría de las distribuciones . vol. 1. París: Hermann. OCLC 889264730.Volumen 2. OCLC 889391733
Beurling, A. (1961). Sobre cuasianaliticidad y distribuciones generales (conferencias multigráficas). Instituto de verano, Universidad de Stanford. OCLC 679033904.
Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič ; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). Funciones generalizadas . Vol. I–VI. Prensa académica. OCLC 728079644.
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Referencias

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