Funciones ortogonales

Tipo de función

En matemáticas , las funciones ortogonales pertenecen a un espacio funcional que es un espacio vectorial dotado de una forma bilineal . Cuando el espacio funcional tiene como dominio un intervalo , la forma bilineal puede ser la integral del producto de funciones sobre el intervalo:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

Las funciones y son ortogonales cuando esta integral es cero, es decir, siempre que . Al igual que con una base de vectores en un espacio de dimensión finita, las funciones ortogonales pueden formar una base infinita para un espacio de funciones. Conceptualmente, la integral anterior es el equivalente de un producto escalar vectorial ; dos vectores son mutuamente independientes (ortogonales) si su producto escalar es cero. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$ ${\displaystyle f\neq g}$

Supongamos que es una secuencia de funciones ortogonales de L 2 -normas distintas de cero . De ello se deduce que la secuencia es de funciones de L ² -norma uno, formando una secuencia ortonormal . Para tener una L ² -norma definida, la integral debe estar acotada, lo que restringe las funciones a ser integrables al cuadrado . ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$

Funciones trigonométricas

Varios conjuntos de funciones ortogonales se han convertido en bases estándar para la aproximación de funciones. Por ejemplo, las funciones seno sen nx y sen mx son ortogonales en el intervalo cuando y n y m son números enteros positivos. Para entonces ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

y la integral del producto de las dos funciones seno se desvanece. ^[1] Junto con las funciones coseno, estas funciones ortogonales se pueden ensamblar en un polinomio trigonométrico para aproximar una función dada en el intervalo con su serie de Fourier .

Polinomios

Si se parte de la sucesión monomial en el intervalo y se aplica el proceso de Gram-Schmidt , se obtienen los polinomios de Legendre . Otra colección de polinomios ortogonales son los polinomios de Legendre asociados . ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

El estudio de polinomios ortogonales involucra funciones de peso que se insertan en la forma bilineal: ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

Para los polinomios de Laguerre la función de peso es . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$

Tanto los físicos como los teóricos de la probabilidad utilizan polinomios de Hermite en , donde la función de peso es o . ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$

Los polinomios de Chebyshev se definen en y utilizan pesos o . ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Los polinomios de Zernike se definen en el disco unitario y tienen ortogonalidad en las partes radiales y angulares.

Funciones con valores binarios

Las funciones de Walsh y las wavelets de Haar son ejemplos de funciones ortogonales con rangos discretos.

Funciones racionales

Gráfico de las funciones racionales de Chebyshev de orden n=0,1,2,3 y 4 entre x=0,01 y 100.

Los polinomios de Legendre y Chebyshev proporcionan familias ortogonales para el intervalo [−1, 1] mientras que ocasionalmente se requieren familias ortogonales en [0, ∞) . En este caso es conveniente aplicar primero la transformada de Cayley , para llevar el argumento a [−1, 1] . Este procedimiento da como resultado familias de funciones ortogonales racionales llamadas funciones racionales de Legendre y funciones racionales de Chebyshev .

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de contorno a menudo se pueden escribir como una suma ponderada de funciones de solución ortogonales (también conocidas como funciones propias ), lo que conduce a series de Fourier generalizadas .

Véase también

• Valores propios y vectores propios
• Espacio de Hilbert
• Teorema de Karhunen-Loève
• Teorema de Lauricella
• Función Wannier

Referencias

1. Antoni Zygmund (1935) Series trigonométricas , página 6, Seminario de Matemáticas, Universidad de Varsovia

• George B. Arfken y Hans J. Weber (2005) Métodos matemáticos para físicos , 6.ª edición, capítulo 10: Teoría de Sturm-Liouville: funciones ortogonales, Academic Press .
• Price, Justin J. (1975). "Temas en funciones ortogonales". American Mathematical Monthly . 82 : 594–609. doi :10.2307/2319690.
• Giovanni Sansone (traducido por Ainsley H. Diamond) (1959) Funciones ortogonales , Interscience Publishers .

Enlaces externos

• Funciones ortogonales, en MathWorld.