función de Walsh

Matriz de Hadamard ordenada natural (matriz del medio) de orden 16 que está ordenada en secuencia para generar una matriz de Walsh (matriz de la derecha).
Ambos contienen las 16 funciones de Walsh de orden 16 como filas (y columnas).
En la matriz de la derecha, el número de cambios de signo por fila es consecutivo.

En matemáticas , más específicamente en análisis armónico , las funciones de Walsh forman un conjunto ortogonal completo de funciones que se pueden usar para representar cualquier función discreta, al igual que las funciones trigonométricas se pueden usar para representar cualquier función continua en el análisis de Fourier . ^[1] Por lo tanto, pueden verse como una contraparte digital discreta del sistema analógico continuo de funciones trigonométricas en el intervalo unitario . Pero a diferencia de las funciones seno y coseno , que son continuas, las funciones de Walsh son constantes por partes . Toman los valores −1 y +1 únicamente, en subintervalos definidos por fracciones diádicas .

El sistema de funciones de Walsh se conoce como sistema de Walsh . Es una extensión del sistema Rademacher de funciones ortogonales. ^[2]

Las funciones de Walsh, el sistema de Walsh, la serie de Walsh ^[3] y la transformada rápida de Walsh-Hadamard llevan el nombre del matemático estadounidense Joseph L. Walsh . Encuentran diversas aplicaciones en física e ingeniería al analizar señales digitales .

Históricamente se han utilizado varias numeraciones de funciones de Walsh; Ninguno de ellos es particularmente superior a otro. Este artículo utiliza la numeración de Walsh-Paley .

Definición

Definimos la secuencia de funciones de Walsh de la siguiente manera. ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Para cualquier número natural k y número real , sea ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle k_{j}}$ser el jésimo bit en la representación binaria de k , comenzando como el bit menos significativo, y ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle x_{j}}$ser el jésimo bit en la representación binaria fraccionaria de , comenzando como el bit fraccionario más significativo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Entonces, por definición

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

En particular, en todas partes del intervalo, ya que todos los bits de k son cero. ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$

Observe que es precisamente la función de Rademacher r _m . Por tanto, el sistema Rademacher es un subsistema del sistema Walsh. Además, cada función de Walsh es un producto de funciones de Rademacher: ${\displaystyle W_{2^{m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

Comparación entre funciones de Walsh y funciones trigonométricas

Las funciones de Walsh y las funciones trigonométricas son sistemas que forman un conjunto ortonormal completo de funciones, una base ortonormal en el espacio de Hilbert de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario. Ambos son sistemas de funciones acotadas , a diferencia, por ejemplo, del sistema de Haar o del sistema de Franklin. ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

Tanto el sistema trigonométrico como el de Walsh admiten extensión natural por periodicidad desde el intervalo unitario hasta la recta real . Además, tanto el análisis de Fourier en el intervalo unitario ( serie de Fourier ) como en la línea real ( transformada de Fourier ) tienen sus contrapartes digitales definidas mediante el sistema de Walsh, la serie de Walsh análoga a la serie de Fourier y la transformada de Hadamard análoga a la transformada de Fourier.

Propiedades

El sistema de Walsh es un grupo discreto multiplicativo abeliano isomorfo al dual de Pontryagin del grupo de Cantor . Su identidad es y cada elemento es de orden dos (es decir, autoinverso). ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle W_{0}}$

El sistema de Walsh es una base ortonormal del espacio de Hilbert . Ortonormalidad significa ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$,

y ser una base significa que si, para cada , establecemos entonces ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx\;\ {\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}\;\ 0}$

Resulta que para cada , la serie converge para casi cada . ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

El sistema Walsh (en numeración Walsh-Paley) forma una base de Schauder en ,   . Tenga en cuenta que, a diferencia del sistema de Haar , y al igual que el sistema trigonométrico, esta base no es incondicional , ni el sistema es una base de Schauder en . ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

Generalizaciones

Sistemas Walsh-Ferleger

Sea el grupo compacto de Cantor dotado de medida de Haar y sea su grupo discreto de caracteres . Los elementos de se identifican fácilmente con las funciones de Walsh. Por supuesto, los caracteres se definen mientras que las funciones de Walsh se definen en el intervalo unitario, pero dado que existe un isomorfismo de módulo cero entre estos espacios de medida , las funciones medibles en ellos se identifican mediante isometría . ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Entonces, la teoría básica de la representación sugiere la siguiente generalización amplia del concepto de sistema de Walsh .

Para un espacio de Banach arbitrario , sea una acción fiel fuertemente continua y uniformemente acotada de sobre X. Para cada uno , considere su espacio propio . Entonces X es el tramo lineal cerrado de los espacios propios: . Suponga que cada espacio propio es unidimensional y elija un elemento tal que . Entonces el sistema , o el mismo sistema en la numeración de los caracteres de Walsh-Paley, se denomina sistema de Walsh generalizado asociado a la acción . El sistema clásico de Walsh se convierte en un caso especial, es decir, para ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$ ${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \|w_{\gamma }\|=1}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$ ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

¿Dónde está la suma módulo 2? ${\displaystyle \oplus }$

A principios de la década de 1990, Serge Ferleger y Fyodor Sukochev demostraron que en una amplia clase de espacios de Banach (los llamados espacios UMD ^[4] ), los sistemas de Walsh generalizados tienen muchas propiedades similares al clásico: forman una base de Schauder ^[5] y una La descomposición uniforme de dimensión finita ^[6] en el espacio tiene la propiedad de convergencia aleatoria incondicional. ^{[7] Un ejemplo importante de sistema de Walsh generalizado es el sistema de Fermion Walsh en espacios} L ^p no conmutativos asociados con factor hiperfinito de tipo II .

Sistema Fermión Walsh

El sistema Fermion Walsh es un análogo no conmutativo o "cuántico" del sistema Walsh clásico. A diferencia de este último, consta de operadores, no de funciones. Sin embargo, ambos sistemas comparten muchas propiedades importantes, por ejemplo, ambos forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert correspondiente, o una base de Schauder en espacios simétricos correspondientes. Los elementos del sistema Fermion Walsh se denominan operadores de Walsh .

El término Fermión en el nombre del sistema se explica por el hecho de que el espacio operador envolvente, el llamado factor hiperfinito de tipo II , puede verse como el espacio de observables del sistema de un número contablemente infinito de fermiones de espín distintos . Cada operador de Rademacher actúa solo sobre una coordenada de fermión particular, y ahí se encuentra una matriz de Pauli . Puede identificarse con el componente de espín de medición observable de ese fermión a lo largo de uno de los ejes en el espacio de espín. Por tanto, un operador de Walsh mide el giro de un subconjunto de fermiones, cada uno a lo largo de su propio eje. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

sistema vilenkin

Fije una secuencia de números enteros con y déjela dotada de la topología del producto y la medida de Haar normalizada. Definir y . Cada uno puede asociarse con el número real. ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A_{0}=1}$ ${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

Esta correspondencia es un isomorfismo de módulo cero entre y el intervalo unitario. También define una norma que genera la topología de . Para , deja donde ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).}$

El conjunto se denomina sistema de Rademacher generalizado . El sistema de Vilenkin es el grupo de caracteres (de valores complejos ) de , que son todos productos finitos de . Para cada número entero no negativo existe una secuencia única tal que y ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$ ${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

Entonces dónde ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

En particular, si , entonces es el grupo de Cantor y es el sistema Walsh-Paley (de valor real). ${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$

El sistema de Vilenkin es un sistema ortonormal completo y forma una base de Schauder en ,  . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Extensiones de fase no lineales

Se desarrollaron extensiones de fase no lineales de la transformada discreta de Walsh-Hadamard . Se demostró que las funciones de base de fase no lineal con propiedades de correlación cruzada mejoradas superan significativamente a los códigos Walsh tradicionales en comunicaciones de acceso múltiple por división de código (CDMA). ^[9]

Aplicaciones

Las aplicaciones de las funciones de Walsh se pueden encontrar dondequiera que se utilicen representaciones de dígitos, incluido el reconocimiento de voz , el procesamiento de imágenes médicas y biológicas y la holografía digital .

Por ejemplo, la transformada rápida de Walsh-Hadamard (FWHT) se puede utilizar en el análisis de métodos digitales cuasi-Monte Carlo . En radioastronomía , las funciones de Walsh pueden ayudar a reducir los efectos de la diafonía eléctrica entre señales de antena. También se utilizan en paneles LCD pasivos como formas de onda de conducción binaria X e Y donde la autocorrelación entre X e Y se puede minimizar para los píxeles que están apagados.

Ver también

• Transformada discreta de Fourier
• Transformada rápida de Fourier
• Análisis armónico
• Funciones ortogonales
• matriz de Walsh
• función de paridad

Notas

1. Walsh 1923.
2. Bien 1949.
3. Schipp, Wade y Simon 1990.
4. Pisier 2011.
5. Sukochev y Ferleger 1995.
6. Ferleger y Sukochev 1996.
7. Ferleger 1998.
8. Joven 1976
9. AN Akansu y R. Poluri, "Códigos ortogonales de fase no lineales similares a Walsh para comunicaciones CDMA de secuencia directa", IEEE Trans. Proceso de señal., vol. 55, núm. 7, págs. 3800–3806, julio de 2007.

Referencias

• Ferleger, Sergei V. (marzo de 1998). Sistemas RUC en espacios simétricos no conmutativos (Informe técnico). MP-ARC-98-188.
• Ferleger, Sergei V.; Sukochev, Fyodor A. (marzo de 1996). "Sobre la contractibilidad hasta un punto de los grupos lineales de espacios Lp reflexivos no conmutativos". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 119 (3): 545–560. Código Bib : 1996MPCPS.119..545F. doi :10.1017/s0305004100074405. S2CID  119786894.
• Bien, Nueva Jersey (1949). "Sobre las funciones de Walsh". Trans. América. Matemáticas. Soc . 65 (3): 372–414. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .
• Pisier, Gilles (2011). Martingalas en espacios de Banach (en relación con Tipo y Cotipo). Curso PHI (PDF) .
• Schipp, Ferenc; Wade, WR; Simón, P. (1990). Serie Walsh. Una introducción al análisis armónico diádico . Akadémiai Kiadó.
• Sukochev, Fyodor A.; Ferleger, Sergei V. (diciembre de 1995). "Análisis armónicos en espacios (UMD): Aplicaciones a la teoría de bases". Apuntes Matemáticos . 58 (6): 1315-1326. doi :10.1007/bf02304891. S2CID  121256402.
• Walsh, JL (1923). "Un conjunto cerrado de funciones ortogonales normales". América. J. Matemáticas. 45 (1): 5–24. doi :10.2307/2387224. JSTOR  2387224. S2CID  6131655.
• Joven, W.-S. (1976). "Convergencia media de series generalizadas de Walsh-Fourier". Trans. América. Matemáticas. Soc. 218 : 311–320. doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR  1997441. S2CID  53755959.

enlaces externos

• "Funciones de Walsh". MundoMatemático .

• "Funciones de Walsh". Enciclopedia de Matemáticas .

• "Sistema Walsh". Enciclopedia de Matemáticas .

• "Funciones de Walsh". Proyecto de exploración de Stanford .