Funciones racionales de Chebyshev

Gráfico de las funciones racionales de Chebyshev para n = 0, 1, 2, 3, 4 para 0,01 ≤ x ≤ 100 , escala logarítmica.

En matemáticas , las funciones racionales de Chebyshev son una secuencia de funciones que son racionales y ortogonales . Su nombre se debe a Pafnuty Chebyshev . Una función racional de Chebyshev de grado n se define como:

${\displaystyle R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)}$

donde T _n ( x ) es un polinomio de Chebyshev del primer tipo.

Propiedades

Muchas propiedades pueden derivarse de las propiedades de los polinomios de Chebyshev de primera especie. Otras propiedades son exclusivas de las funciones en sí.

Recursión

${\displaystyle R_{n+1}(x)=2\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad {\text{for}}\,n\geq 1}$

Ecuaciones diferenciales

${\displaystyle (x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 2}$

${\displaystyle (x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0}$

Ortogonalidad

Gráfico del valor absoluto de la función racional de Chebyshev de séptimo orden ( n = 7 ) para 0,01 ≤ x ≤ 100 . Nótese que hay n ceros dispuestos simétricamente alrededor de x = 1 y si x ₀ es un cero, entonces ⁠1/x0_​⁠ también es cero. El valor máximo entre los ceros es la unidad. Estas propiedades se cumplen para todos los órdenes.

Definiendo:

${\displaystyle \omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}$

La ortogonalidad de las funciones racionales de Chebyshev puede escribirse:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}}$

donde c _n = 2 para n = 0 y c _n = 1 para n ≥ 1 ; δ _nm es la función delta de Kronecker .

Expansión de una función arbitraria

Para una función arbitraria f ( x ) ∈ L^2ω
_​La relación de ortogonalidad se puede utilizar para expandir f ( x ) :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)}$

dónde

${\displaystyle F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.}$

Valores particulares

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{n-m}\end{aligned}}}$

Expansión de fracciones parciales

${\displaystyle R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}}$

Referencias

• Guo, Ben-Yu; Shen, Jie; Wang, Zhong-Qing (2002). "Métodos espectrales y pseudoespectrales racionales de Chebyshev en un intervalo semiinfinito" (PDF) . Int. J. Numer. Methods Eng . 53 (1): 65–84. Bibcode :2002IJNME..53...65G. CiteSeerX  10.1.1.121.6069 . doi :10.1002/nme.392. S2CID  9208244 . Consultado el 25 de julio de 2006 .