Función multiplicativa

Función igual al producto de sus valores en factores coprimos

En teoría de números , una función multiplicativa es una función aritmética f ( n ) de un entero positivo n con la propiedad de que f (1) = 1 y siempre que a y b sean coprimos . $${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$

Se dice que una función aritmética f ( n ) es completamente multiplicativa (o totalmente multiplicativa ) si f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) es válida para todos los números enteros positivos a y b , incluso cuando no son coprimos.

Ejemplos

Se definen algunas funciones multiplicativas para que las fórmulas sean más fáciles de escribir:

• 1( n ): la función constante, definida por 1( n ) = 1 (completamente multiplicativa)
• Id( n ): función identidad , definida por Id( n ) = n (completamente multiplicativa)
• Id _k ( n ): las funciones potencia, definidas por Id _k ( n ) = n ^k para cualquier número complejo k (completamente multiplicativo). Como casos especiales tenemos
  • Id ₀ ( n ) = 1( n ) y
  • Id1 ( n ) = Id( _n ) .
• ε ( n ): la función definida por ε ( n ) = 1 si n = 1 y 0 en caso contrario, a veces llamada unidad de multiplicación para la convolución de Dirichlet o simplemente función unidad (completamente multiplicativa). A veces se escribe como u ( n ), pero no debe confundirse con μ ( n ) .
• 1 _C ( n ), la función indicadora del conjunto C ⊂ Z , para ciertos conjuntos C . La función indicadora 1 _C ( n ) es multiplicativa precisamente cuando el conjunto C tiene la siguiente propiedad para cualesquiera números coprimos a y b : el producto ab está en C si y solo si los números a y b están ambos en C . Este es el caso si C es el conjunto de los cuadrados, cubos o potencias k -ésimas. También hay otros conjuntos (no cerrados bajo la multiplicación) que dan lugar a tales funciones, como el conjunto de los números libres de cuadrados .

Otros ejemplos de funciones multiplicativas incluyen muchas funciones de importancia en la teoría de números, como:

• mcd( n , k ): el máximo común divisor de n y k , en función de n , donde k es un entero fijo.
• ${\displaystyle \varphi (n)}$: Función totiente de Euler , que cuenta los números enteros positivos coprimos con (pero no mayores que) n ${\displaystyle \varphi }$
• μ ( n ): la función de Möbius , la paridad (−1 para impar, +1 para par) del número de factores primos de números libres de cuadrados ; 0 si n no es libre de cuadrados
• σ _k ( n ): la función divisora , que es la suma de las k -ésimas potencias de todos los divisores positivos de n (donde k puede ser cualquier número complejo ). Casos especiales tenemos
  • σ ₀ ( n ) = d ( n ) el número de divisores positivos de n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), la suma de todos los divisores positivos de n .
• La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

• a ( n ): el número de grupos abelianos no isomorfos de orden n .
• λ ( n ): la función de Liouville , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} donde Ω( n ) es el número total de primos (contados con multiplicidad) que dividen a n . (completamente multiplicativo).
• γ ( n ), definida por γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , donde la función aditiva ω ( n ) es el número de primos distintos que dividen a n .
• τ ( n ): la función tau de Ramanujan .
• Todos los caracteres de Dirichlet son funciones completamente multiplicativas. Por ejemplo
  • ( n / p ), el símbolo de Legendre , considerado como una función de n donde p es un número primo fijo .

Un ejemplo de una función no multiplicativa es la función aritmética r ₂ ( n ): el número de representaciones de n como suma de cuadrados de dos números enteros, positivo , negativo o cero , donde al contar el número de formas, se permite la inversión del orden. Por ejemplo:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

y por lo tanto r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Esto demuestra que la función no es multiplicativa. Sin embargo, r ₂ ( n )/4 sí lo es.

En la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros , las secuencias de valores de una función multiplicativa tienen la palabra clave "mult".

Consulte la función aritmética para ver otros ejemplos de funciones no multiplicativas.

Propiedades

Una función multiplicativa está completamente determinada por sus valores en potencias de números primos , una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ..., entonces f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Esta propiedad de las funciones multiplicativas reduce significativamente la necesidad de cálculo, como en los siguientes ejemplos para n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² : $${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$ $${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$ $${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

De manera similar, tenemos: $${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

En general, si f ( n ) es una función multiplicativa y a , b son dos números enteros positivos cualesquiera, entonces

f ( a ) · f ( b ) = f ( mcd ( a , b )) · f ( mcm ( a , b )).

Toda función completamente multiplicativa es un homomorfismo de monoides y está completamente determinada por su restricción a los números primos.

Circunvolución

Si f y g son dos funciones multiplicativas, se define una nueva función multiplicativa , la convolución de Dirichlet de f y g , mediante donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de n . Con esta operación, el conjunto de todas las funciones multiplicativas se convierte en un grupo abeliano ; el elemento identidad es ε . La convolución es conmutativa, asociativa y distributiva sobre la suma. ${\displaystyle f*g}$ $${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$

Las relaciones entre las funciones multiplicativas analizadas anteriormente incluyen:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$(la fórmula de inversión de Möbius )
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$(inversión generalizada de Möbius)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

La convolución de Dirichlet se puede definir para funciones aritméticas generales y produce una estructura de anillo, el anillo de Dirichlet .

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa. Una prueba de este hecho se da mediante la siguiente expansión para primos relativos : ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

Serie de Dirichlet para algunas funciones multiplicativas

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Se muestran más ejemplos en el artículo sobre la serie de Dirichlet .

Funciones aritméticas racionales

Una función aritmética f se dice que es una función aritmética racional de orden si existen funciones completamente multiplicativas g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _s tales que donde las inversas son con respecto a la convolución de Dirichlet. Las funciones aritméticas racionales de orden se conocen como funciones totientes, y las funciones aritméticas racionales de orden se conocen como funciones cuadráticas o especialmente funciones multiplicativas. La función de Euler es una función totiente, y la función divisor es una función cuadrática. Las funciones completamente multiplicativas son funciones aritméticas racionales de orden . La función de Liouville es completamente multiplicativa. La función de Möbius es una función aritmética racional de orden . Por convención, el elemento identidad bajo la convolución de Dirichlet es una función aritmética racional de orden . ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (0,0)}$

Todas las funciones aritméticas racionales son multiplicativas. Una función multiplicativa f es una función aritmética racional de orden si y solo si su serie de Bell es de la forma para todos los números primos . ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}$$ ${\displaystyle p}$

El concepto de función aritmética racional se origina en R. Vaidyanathaswamy (1931).

Identidades de Busche-Ramanujan

Se dice que una función multiplicativa es especialmente multiplicativa si existe una función completamente multiplicativa tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{A}}$

${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}$

para todos los números enteros positivos y , o equivalentemente ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}$

para todos los números enteros positivos y , donde es la función de Möbius. Estas se conocen como identidades de Busche-Ramanujan. En 1906, E. Busche estableció la identidad ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}$

y, en 1915, S. Ramanujan dio la forma inversa

${\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}$

En 1929 , S. Chowla dio la forma inversa para general , véase PJ McCarthy (1986). El estudio de las identidades de Busche-Ramanujan comenzó con un intento de comprender mejor los casos especiales dados por Busche y Ramanujan. ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k}$

Se sabe que las funciones cuadráticas satisfacen las identidades de Busche-Ramanujan con . De hecho, las funciones cuadráticas son exactamente iguales a las funciones multiplicativas especiales. Los tocientes satisfacen una identidad de Busche-Ramanujan restringida. Para más detalles, véase R. Vaidyanathaswamy (1931). ${\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}$ ${\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}$

Función multiplicativa sobreFq [ X ]​

Sea A = F _q [ X ] , el anillo polinomial sobre el cuerpo finito con q elementos. A es un dominio ideal principal y, por lo tanto, A es un dominio de factorización única .

Una función de valor complejo en A se llama multiplicativa si siempre que f y g son primos entre sí . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

Función zeta y serie de Dirichlet enFq [ X ]​

Sea h una función aritmética polinómica (es decir, una función sobre un conjunto de polinomios mónicos sobre A ). Su serie de Dirichlet correspondiente se define como

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$

donde para establecer si y en caso contrario. ${\displaystyle g\in A,}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0,}$ ${\displaystyle |g|=0}$

La función zeta polinómica es entonces

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

De manera similar a la situación en N , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto ( producto de Euler ):

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

donde el producto se ejecuta sobre todos los polinomios mónicos irreducibles P . Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es como para los números enteros:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

A diferencia de la función zeta clásica , es una función racional simple: ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

De manera similar, si f y g son dos funciones aritméticas polinomiales, se define f  *  g , la convolución de Dirichlet de f y g , por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

donde la suma es sobre todos los divisores mónicos d de  m , o equivalentemente sobre todos los pares ( a , b ) de polinomios mónicos cuyo producto es m . La identidad aún se mantiene. ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Multivariante

Se pueden construir funciones multivariadas utilizando estimadores de modelos multiplicativos. Donde una función matricial de A se define como $${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

Una suma puede distribuirse entre el producto. $${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

Para la estimación eficiente de Σ(.) , se pueden considerar las siguientes dos regresiones no paramétricas : $${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

y $${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

Por lo tanto, se obtiene un valor estimado de $${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

con una función de verosimilitud local para con conocido y desconocido . ${\displaystyle y_{t}^{2}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$

Generalizaciones

Una función aritmética es cuasimultiplicativa si existe una constante distinta de cero tal que para todos los números enteros positivos con . Este concepto se originó en Lahiri (1972). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle (m,n)=1}$

Una función aritmética es semimultiplicativa si existe una constante distinta de cero , un entero positivo y una función multiplicativa tal que para todos los enteros positivos (según la convención de que si no es un entero positivo). Este concepto se debe a David Rearick (1966). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{m}}$ ${\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{m}(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Una función aritmética es multiplicativa de Selberg si para cada primo existe una función sobre números enteros no negativos con para todos los primos excepto un número finito de ellos tales que para todos los números enteros positivos , donde es el exponente de en la factorización canónica de . Véase Selberg (1977). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}}$ ${\displaystyle f_{p}(0)=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

Se sabe que las clases de funciones semimultiplicativas y multiplicativas de Selberg coinciden. Ambas satisfacen la identidad aritmética para todos los números enteros positivos . Véase Haukkanen (2012). ${\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}$ ${\displaystyle m,n}$

Es bien sabido y fácil de ver que las funciones multiplicativas son funciones cuasimultiplicativas con y las funciones cuasimultiplicativas son funciones semimultiplicativas con . ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a=1}$

Véase también

• Producto de Euler
• Serie de campanas
• Serie Lambert

Referencias

• Véase el capítulo 2 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• PJ McCarthy, Introducción a las funciones aritméticas, Universitext. Nueva York: Springer-Verlag, 1986.
• Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). "Estimación eficiente de un modelo de volatilidad multiplicativa multivariante" (PDF) . Journal of Econometrics . 159 (1): 55–73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID  54812323.
• P. Haukkanen (2003). "Algunas caracterizaciones de funciones especialmente multiplicativas". Int. J. Math. Sci . 37 : 2335–2344.
• P. Haukkanen (2012). "Extensiones de la clase de funciones multiplicativas". Revista Este-Oeste de Matemáticas . 14 (2): 101–113.
• DB Lahiri (1972). "Funciones hipomultiplicativas de teoría de números". Aecuaciones Mathematicae . 8 (3): 316–317.

• D. Rearick (1966). "Funciones semimultiplicativas". Duke Math. J. 33 : 49–53.

• L. Tóth (2013). "Dos generalizaciones de las identidades de Busche-Ramanujan". Revista Internacional de Teoría de Números . 9 : 1301–1311.
• R. Vaidyanathaswamy (1931). "La teoría de las funciones aritméticas multiplicativas". Transactions of the American Mathematical Society . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
• S. Ramanujan, Algunas fórmulas en la teoría analítica de números. Messenger 45 (1915), 81--84.

• E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. Guante. Matemáticas. Ges. Hamb. 4, 229-237 (1906)

• A. Selberg: Observaciones sobre funciones multiplicativas. Día de la teoría de números (Proc. Conf., Rockefeller Univ., Nueva York, 1976), págs. 232-241, Springer, 1977.

Enlaces externos

• Función multiplicativa en PlanetMath .