Funciones elípticas de Dixon

Las funciones elípticas de Dixon cm, sm aplicadas a un argumento de valor real x . Ambas funciones son periódicas con período real π ₃ ≈ 5.29991625

En matemáticas, las funciones elípticas de Dixon sm y cm son dos funciones elípticas ( funciones meromórficas doblemente periódicas en el plano complejo ) que se asignan desde cada hexágono regular en un mosaico hexagonal a todo el plano complejo. Debido a que estas funciones satisfacen la identidad , como funciones reales parametrizan la curva cúbica de Fermat , del mismo modo que las funciones trigonométricas seno y coseno parametrizan el círculo unitario . ${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Fueron nombrados sm y cm por Alfred Dixon en 1890, por analogía con las funciones trigonométricas seno y coseno y las funciones elípticas de Jacobi sn y cn; Göran Dillner los describió anteriormente en 1873. ^[1]

Definición

Las funciones sm y cm se pueden definir como las soluciones al problema de valor inicial : ^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cm} z=-\operatorname {sm} ^{2}z,\ {\frac {d}{dz}}\operatorname {sm} z=\operatorname {cm} ^{2}z,\ \operatorname {cm} (0)=1,\ \operatorname {sm} (0)=0}$

O como lo inverso del mapeo de Schwarz-Christoffel del disco unitario complejo a un triángulo equilátero, la integral abeliana : ^[3]

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sm} z}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}=\int _{\operatorname {cm} z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}}$

que también se puede expresar usando la función hipergeométrica : ^[4]

${\displaystyle \operatorname {sm} ^{-1}(z)=z\;{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {4}{3}};z^{3}{\bigr )}}$

Parametrización de la curva cúbica de Fermat.

La función t ↦ (cm t , sm t ) parametriza la curva cúbica de Fermat, con área del sector igual a la mitad del argumento t .

Tanto sm como cm tienen un período a lo largo del eje real de con la función beta y la función gamma : ^[5] ${\displaystyle \pi _{3}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2\pi }}\Gamma ^{3}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}\approx 5.29991625}$ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{aligned}}}$

Satisfacen la identidad . La función paramétrica parametriza la curva cúbica de Fermat representando el área con signo que se encuentra entre el segmento desde el origen hasta , el segmento desde el origen hasta y la curva de Fermat, análoga a la relación entre el argumento de las funciones trigonométricas y el área de a sector del círculo unitario. ^[6] Para ver por qué, aplique el teorema de Green : ${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1}$ ${\displaystyle t\mapsto (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t),}$ ${\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}t}$ ${\displaystyle (1,\,0)}$ ${\displaystyle (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t)}$

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x\mathop {dy} -y\mathop {dx} )={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\operatorname {cm} ^{3}t+\operatorname {sm} ^{3}t)\mathop {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt={\tfrac {1}{2}}t.}$

Observe que el área entre y se puede dividir en tres partes, cada una de área : ${\displaystyle x+y=0}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1}(1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{aligned}}}$

Simetrías

La función elíptica de Dixon sm z en el plano complejo, que ilustra su doble periodicidad ( ω = e ^{2 πi /3} ). ^[7]

La función tiene ceros en los puntos de valores complejos para cualquier número entero y , donde es una raíz cúbica de la unidad ( es decir, es un número entero de Eisenstein ). La función tiene ceros en los puntos de valores complejos . Ambas funciones tienen polos en los puntos de valores complejos . ${\displaystyle \operatorname {sm} z}$ ${\displaystyle z={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\exp {\tfrac {2}{3}}i\pi =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$ ${\displaystyle a+b\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} z}$ ${\displaystyle z={\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$ ${\displaystyle z=-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$

En la recta real, que es análoga a . ${\displaystyle \operatorname {sm} x=0\leftrightarrow x\in \pi _{3}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sin x=0\leftrightarrow x\in \pi \mathbb {Z} }$

Reflexiones, rotaciones y traslaciones fundamentales.

Tanto cm como sm conmutan con conjugación compleja,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sm} z}}.\end{aligned}}}$

De manera análoga a la paridad de funciones trigonométricas (coseno una función par y seno una función impar ), la función de Dixon cm es invariante bajo rotaciones por giro del plano complejo, y las rotaciones por giro del dominio de sm causan rotaciones por giro del codominio: ${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} \omega z&=\operatorname {cm} z=\operatorname {cm} \omega ^{2}z,\\\operatorname {sm} \omega z&=\omega \operatorname {sm} z=\omega ^{2}\operatorname {sm} \omega ^{2}z.\end{aligned}}}$

Cada función elíptica de Dixon es invariante bajo traducciones realizadas por los enteros de Eisenstein escalados por ${\displaystyle a+b\omega }$ ${\displaystyle \pi _{3},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {cm} z,\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {sm} z.\end{aligned}}}$

La negación de cada uno de cm y sm es equivalente a una traducción del otro, ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (-z)&={\frac {1}{\operatorname {cm} z}}=\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )},\\\operatorname {sm} (-z)&=-{\frac {\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}}={\frac {1}{\operatorname {sm} {\bigl (}z-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}}=\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Para traducciones por dar ${\displaystyle n\in \mathbb {\{} 0,1,2\},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}\omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{2n}{\frac {-\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{n}{\frac {1}{\operatorname {cm} z}}.\end{aligned}}}$

Valores específicos

Valores más específicos

Identidades de suma y diferencia

Las funciones elípticas de Dixon satisfacen las identidades de suma y diferencia de argumentos: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {cm} (u-v)&={\frac {\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {sm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {cm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u-v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}}$

Estas fórmulas se pueden utilizar para calcular funciones de valores complejos en componentes reales: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x-\omega \,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cm} x(\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y\,\operatorname {cm} y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {sm} y(\operatorname {cm} ^{3}x-\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[8mu]\operatorname {sm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} y-\omega ^{2}\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sm} x(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} y(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}y+\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\end{aligned}}}$

Identidades de múltiples argumentos

Las identidades de duplicación y triplicación de argumentos se pueden derivar de la identidad de la suma: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} 2u&={\frac {\operatorname {cm} ^{3}u-\operatorname {sm} ^{3}u}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {cm} ^{3}u-1}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {sm} 2u&={\frac {\operatorname {sm} u(1+\operatorname {cm} ^{3}u)}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {sm} u-\operatorname {sm} ^{4}u}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {cm} 3u&={\frac {\operatorname {cm} ^{9}u-6\operatorname {cm} ^{6}u+3\operatorname {cm} ^{3}u+1}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}},\\[5mu]\operatorname {sm} 3u&={\frac {3\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u(\operatorname {sm} ^{3}u\,\operatorname {cm} ^{3}u-1)}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}}.\end{aligned}}}$

De estas fórmulas se puede deducir que las expresiones en forma y son infinitos sin signos o constructibles en origami para cualquiera (en este párrafo, conjunto de todos los constructibles en origami ). Porque al encontrar , la ecuación cuártica o de menor grado en algunos casos debe resolverse como se ve en la fórmula de duplicación, lo que significa que si , entonces . Para encontrar un tercio del valor del argumento de cm, la ecuación que es reducible a grado cúbico o menor en algunos casos mediante el intercambio de variables debe resolverse como se ve en la fórmula de triplicación siguiente: si entonces es cierto. La afirmación es verdadera porque cualquier fórmula con múltiples argumentos es una función racional . Si , entonces porque dónde . ${\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {k\pi _{3}}{2^{n}3^{m}}})}$ ${\displaystyle \operatorname {sm} ({\frac {k\pi _{3}}{2^{n}3^{m}}})}$ ${\displaystyle n,m,k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} =}$ ${\displaystyle \cup \{\infty }\}$ ${\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{2}})}$ ${\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{2}})\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle t=x^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} ({\frac {x}{3}})\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} (nx)\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {cm} x\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {sm} x\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \operatorname {sm} x=\omega ^{p}\,{\sqrt[{3}]{1-\operatorname {cm} ^{3}x}}}$ ${\displaystyle p\in \{0,1,2\}}$

Identidades de valor específicas

La función satisface las identidades. ${\displaystyle \operatorname {cm} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}&=-\operatorname {cm} {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}\,\operatorname {cm} {\tfrac {4}{9}}\pi _{3},\\[5mu]\operatorname {cm} {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}&=\operatorname {cl} {\tfrac {1}{3}}\varpi ,\end{aligned}}}$$

donde es lemniscata coseno y es constante de lemniscata . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \varpi }$

Serie de potencia

Las funciones cm y sm pueden aproximarse mediante la serie de Taylor. ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9}+\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^{7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}}$

cuyos coeficientes satisfacen la recurrencia ^[10] ${\displaystyle c_{0}=s_{0}=1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{n-k}\end{aligned}}}$

Estas recurrencias resultan en: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=1-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}-{\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac {13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{aligned}}}$

Relación con otras funciones elípticas

Función elíptica de Weierstrass

Curva elíptica para la función ℘ de Weierstrass relacionada con las funciones elípticas de Dixon. ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-{\tfrac {1}{27}}}$ ${\displaystyle z\mapsto \wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}$

La función elíptica equianarmónica de Weierstrass con red y escala de los enteros de Eisenstein se puede definir como: ^[12] ${\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )},}$ ${\displaystyle \Lambda =\pi _{3}\mathbb {Z} \oplus \pi _{3}\omega \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\!\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

La función resuelve la ecuación diferencial: ${\displaystyle \wp (z)}$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-{\tfrac {1}{27}}}$

También podemos escribirlo como la inversa de la integral:

${\displaystyle z=\int _{\infty }^{\wp (z)}{\frac {dw}{\sqrt {4w^{3}-{\tfrac {1}{27}}}}}}$

En términos de , las funciones elípticas de Dixon se pueden escribir: ^[13] ${\displaystyle \wp (z)}$

${\displaystyle \operatorname {cm} z={\frac {3\wp '(z)+1}{3\wp '(z)-1}},\ \operatorname {sm} z={\frac {-6\wp (z)}{3\wp '(z)-1}}}$

Asimismo, la función elíptica de Weierstrass se puede escribir en términos de funciones elípticas de Dixon: ${\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \wp '(z)={\frac {\operatorname {cm} z+1}{3(\operatorname {cm} z-1)}},\ \wp (z)={\frac {-\operatorname {sm} z}{3(\operatorname {cm} z-1)}}}$

Funciones elípticas de Jacobi

Las funciones elípticas de Dixon también se pueden expresar utilizando funciones elípticas de Jacobi , que fueron observadas por primera vez por Cayley . ^[14] Sean , , , , y . Entonces, deja ${\displaystyle k=e^{5i\pi /6}}$ ${\displaystyle \theta =3^{\frac {1}{4}}e^{5i\pi /12}}$ ${\displaystyle s=\operatorname {sn} (u,k)}$ ${\displaystyle c=\operatorname {cn} (u,k)}$ ${\displaystyle d=\operatorname {dn} (u,k)}$

${\displaystyle \xi (u)={\frac {-1+\theta scd}{1+\theta scd}}}$, . ${\displaystyle \eta (u)={\frac {2^{1/3}\left(1+\theta ^{2}s^{2}\right)}{1+\theta scd}}}$

Finalmente, las funciones elípticas de Dixon quedan así:

${\displaystyle \operatorname {sm} (z)=\xi \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)}$, . ${\displaystyle \operatorname {cm} (z)=\eta \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)}$

Trigonometría generalizada

Varias definiciones de funciones trigonométricas generalizadas incluyen el seno y el coseno trigonométricos habituales como caso, y las funciones sm y cm como caso. ^[15] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Por ejemplo, definiendo y las inversas de una integral: ${\displaystyle \pi _{n}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \sin _{n}z,\,\cos _{n}z}$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin _{n}z}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}=\int _{\cos _{n}z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}}$

El área en el cuadrante positivo bajo la curva es ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{n})^{1/n}\mathop {dx} ={\frac {\pi _{n}}{2n}}}$.

El caso cuártico da como resultado una red cuadrada en el plano complejo, relacionada con las funciones elípticas lemniscatas . ${\displaystyle n=4}$

Aplicaciones

Una proyección cartográfica conforme del globo sobre un octaedro. Debido a que el octaedro tiene caras de triángulos equiláteros, esta proyección se puede describir en términos de funciones sm y cm.

Las funciones elípticas de Dixon son mapas conformes de un triángulo equilátero a un disco y, por lo tanto, son útiles para construir proyecciones de mapas conformes poliédricas que involucran triángulos equiláteros, por ejemplo, proyectando la esfera sobre un triángulo, hexágono, tetraedro , octaedro o icosaedro. ^[dieciséis]

Ver también

• Entero de Eisenstein
• Función elíptica
  • Funciones elípticas de Abel
  • Funciones elípticas de Jacobi
  • Funciones elípticas de lemniscata
  • Función elíptica de Weierstrass
• Lee mundo conforme en un tetraedro
• Mapeo de Schwarz-Christoffel

Notas

1. Dixon (1890), Dillner (1873). Dillner usa los símbolos ${\displaystyle W=\operatorname {sm} ,\ W_{1}=\operatorname {cm} .}$
2. Dixon (1890), Van Fossen Conrad & Flajolet (2005), Robinson (2019).
3. El mapeo de un polígono regular general se describe en Schwarz (1869).
4. van Fossen Conrad y Flajolet (2005) pág. 6.
5. Dillner (1873) llama al período . Dixon (1890) lo llama ; Adams (1925) y Robinson (2019) lo llaman cada uno . Van Fossen Conrad y Flajolet (2005) lo llaman . Véase también OEIS A197374. ${\displaystyle 3w}$ ${\displaystyle 3\lambda }$ ${\displaystyle 3K}$ ${\displaystyle \pi _{3}}$
6. Dixon (1890), Van Fossen Conrad y Flajolet (2005)
7. Las áreas oscuras representan ceros y las áreas brillantes representan polos. A medida que el argumento de va de a , los colores pasan por cian, azul ( ), magneta, rojo ( ), naranja, amarillo ( ), verde y regresan a cian ( ). ${\displaystyle \operatorname {sm} z}$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \approx -\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \approx 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi }$
8. Dixon (1890), Adams (1925)
9. Dixon (1890), pág. 185–186. Robinson (2019).
10. Adams (1925)
11. van Fossen Conrad y Flajolet (2005). Consulte también OEIS A104133, A104134.
12. Reinhardt y Walker (2010)
13. Chapling (2018), Robinson (2019). Adams (1925) en cambio expresa las funciones elípticas de Dixon en términos de la función elíptica de Weierstrass. ${\displaystyle \wp (z;0,-1).}$
14. van Fossen Conrad y Flajolet (2005), p.38
15. Lundberg (1879), Grammel (1948), Shelupsky (1959), Burgoyne (1964), Gambini, Nicoletti y Ritelli (2021).
16. Adams (1925), Cox (1935), Magis (1938), Lee (1973), Lee (1976), McIlroy (2011), Chapling (2016).

Referencias

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• JF Cox (1935) “Répresentation de la Surface entière de la terre dans une Triangle équilatéral”, Bulletin de la Classe des Sciences, Académie Royale de Belgique 5e , 21, 66–71.
• G. Dillner (1873) “Traité de calcul géométrique supérieur”, Capítulo 16, Nova acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis, Ser. III 8, 94-102. https://archive.org/details/novaactaregiaeso38kung/page/94/
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• MD McIlroy (2011) “Mapas de papel tapiz”. Computación histórica y confiable . Saltador. 358–375. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-24541-1_27
• WP Reinhardt y PL Walker (2010) “Funciones elípticas y modulares de Weierstrass”, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST , §23.5(v). https://dlmf.nist.gov/23.5#v
• PL Robinson (2019) “Las funciones elípticas dixonianas”. https://arxiv.org/abs/1901.04296
• HA Schwarz (1869) “Ueber einige Abbildungsaufgaben”. Diario Crelles 1869(70), 105-120. http://doi.org/10.1515/crll.1869.70.105
• BR Seth & FP White (1934) “Torsión de vigas cuya sección transversal es un polígono regular de n lados”. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 30(2), 139. http://doi.org/10.1017/s0305004100016558 
• D. Shelupsky (1959) “Una generalización de las funciones trigonométricas”. El American Mathematical Monthly 66(10), 879–884. https://www.jstor.org/stable/2309789

enlaces externos

• Tramas de Desmos :
  • Funciones elípticas de Dixon de valor real https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxh2.
  • Parametrización de la curva cúbica de Fermat, https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
• Páginas de la Enciclopedia en línea de secuencias enteras :
  • “¡Coeficiente de x^(3n+1)/(3n+1)! en la expansión de Maclaurin de la función elíptica de Dixon sm(x,0)”. https://oeis.org/A104133
  • “¡Coeficiente de x^(3n)/(3n)! en la expansión de Maclaurin de la función elíptica de Dixon cm(x,0)”. https://oeis.org/A104134
  • "Pi(3): período real fundamental de las funciones elípticas dixonianas sm(z) y cm(z)". https://oeis.org/A197374
• Discusiones sobre intercambio de pilas de matemáticas :
  • "Sobre , las funciones elípticas de Dixon y las funciones theta cúbicas de Borwein", https://math.stackexchange.com/q/2090523/ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
  • "funciones doblemente periódicas como teselados (distintos de paralelogramos)", https://math.stackexchange.com/q/35671/