Número entero de Eisenstein

Número complejo cuya representación en un plano de coordenadas produce una red triangular

En matemáticas , los números enteros de Eisenstein (llamados así por Gotthold Eisenstein ), a veces también conocidos ^[1] como números enteros de Euler (en honor a Leonhard Euler ), son los números complejos de la forma

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

donde a y b son números enteros y

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}}$

es una raíz cúbica primitiva (y por lo tanto no real) de la unidad .

Números enteros de Eisenstein como puntos de una determinada red triangular en el plano complejo

Los números enteros de Eisenstein forman una red triangular en el plano complejo , en contraste con los números enteros de Gauss , que forman una red cuadrada en el plano complejo. Los números enteros de Eisenstein son un conjunto infinito numerable .

Propiedades

Los números enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de números enteros algebraicos en el cuerpo de números algebraicos Q ( ω ) – el tercer cuerpo ciclotómico . Para ver que los números enteros de Eisenstein son números enteros algebraicos, observe que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.}$

En particular, ω satisface la ecuación

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0~.}$

El producto de dos números enteros de Eisenstein a + bω y c + dω se da explícitamente por

${\displaystyle (a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.}$

La 2-norma de un entero de Eisenstein es simplemente su módulo al cuadrado , y está dada por

${\displaystyle {\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,}$

que es claramente un entero ordinario (racional) positivo.

Además, el complejo conjugado de ω satisface

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.}$

El grupo de unidades de este anillo es el grupo cíclico formado por las raíces sextas de la unidad en el plano complejo: {±1, ± ω , ± ω ² } , los enteros de Eisenstein de norma  1 .

Dominio euclidiano

El anillo de números enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N está dada por el módulo cuadrado, como se muestra arriba:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Un algoritmo de división , aplicado a cualquier dividendo α y divisor β ≠ 0 , da un cociente κ y un resto ρ menor que el divisor, satisfaciendo:

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

Aquí, α , β , κ y ρ son todos números enteros de Eisenstein. Este algoritmo implica el algoritmo euclidiano , que demuestra el lema de Euclides y la factorización única de los números enteros de Eisenstein en primos de Eisenstein.

Un algoritmo de división es el siguiente: primero se realiza la división en el campo de los números complejos y se escribe el cociente en términos de ω :

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

Para a racional , b ∈ Q. Luego, obtenga el cociente entero de Eisenstein redondeando los coeficientes racionales al entero más cercano:

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

Aquí puede denotar cualquiera de las funciones estándar de redondeo a números enteros. ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

La razón por la que esto satisface N ( ρ ) < N ( β ) , mientras que el procedimiento análogo falla para la mayoría de los otros anillos enteros cuadráticos , es la siguiente. Un dominio fundamental para el ideal Z [ ω ] β = Z β + Z ωβ , que actúa por traslaciones en el plano complejo, es el rombo de 60°–120° con vértices 0 , β , ωβ , β + ωβ . Cualquier entero de Eisenstein α se encuentra dentro de una de las traslaciones de este paralelogramo, y el cociente κ es uno de sus vértices. El resto es la distancia al cuadrado de α a este vértice, pero la distancia máxima posible en nuestro algoritmo es solo , por lo que . (El tamaño de ρ podría reducirse ligeramente tomando κ como la esquina más cercana). ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$ ${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$

Primos de Eisenstein

Primos de Eisenstein pequeños. Los que se encuentran en los ejes verdes están asociados a un primo natural de la forma 3 n + 2 . Todos los demás tienen un valor absoluto igual a 3 o la raíz cuadrada de un primo natural de la forma 3 n + 1 .

Los números primos de Eisenstein están en un rango más amplio

Si x e y son números enteros de Eisenstein, decimos que x divide a y si existe algún número entero de Eisenstein z tal que y = zx . Se dice que un número entero de Eisenstein x no unitario es primo de Eisenstein si sus únicos divisores no unitarios tienen la forma ux , donde u es cualquiera de las seis unidades. Son el concepto correspondiente a los primos gaussianos en los números enteros gaussianos.

Hay dos tipos de primos de Eisenstein.

• un número primo ordinario (o primo racional ) que es congruente con 2 mod 3 también es un primo de Eisenstein.
• 3 y cada primo racional congruente con 1 módulo 3 son iguales a la norma x ² − xy + y ² de un entero de Eisenstein x + ωy . Por lo tanto, dicho primo puede factorizarse como ( x + ωy )( x + ω ² y ) , y estos factores son primos de Eisenstein: son precisamente los enteros de Eisenstein cuya norma es un primo racional.

En el segundo tipo, los factores de 3 , y son asociados : , por lo que se considera un tipo especial en algunos libros. ^{[2] [3]} ${\displaystyle 1-\omega }$ ${\displaystyle 1-\omega ^{2}}$ ${\displaystyle 1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})}$

Los primeros primos de Eisenstein de la forma 3 n − 1 son:

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (secuencia A003627 en la OEIS ).

Los primos naturales congruentes con 0 o 1 módulo 3 no son primos de Eisenstein: ^[4] admiten factorizaciones no triviales en Z [ ω ] . Por ejemplo:

3 = −(1 + 2ω ) ²

7 = (3 + ω )(2 − ω ) .

En general, si un primo natural p es 1 módulo 3 y por lo tanto puede escribirse como p = a ² − ab + b ² , entonces se factoriza sobre Z [ ω ] como

pags = ( a + bω )(( a − b ) − bω ) .

Algunos números primos de Eisenstein no reales son

2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .

Hasta la conjugación y los múltiplos unitarios, los primos enumerados anteriormente, junto con 2 y 5 , son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto que no exceden 7 .

A partir de octubre de 2023 ^[update], el primo de Eisenstein real más grande conocido es el décimo primo más grande conocido 10223 × 2 ^31172165 + 1 , descubierto por Péter Szabolcs y PrimeGrid . ^[5] Con una excepción, ^{[ aclaración necesaria ]} todos los primos conocidos más grandes son primos de Mersenne , descubiertos por GIMPS . Los primos de Eisenstein reales son congruentes con 2 módulo 3 , y todos los primos de Mersenne mayores que 3 son congruentes con 1 módulo 3 ; por lo tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.

Serie de Eisenstein

La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein, excepto 0 elevado a la cuarta potencia, es 0 : ^[6] por lo que es una raíz de j-invariante . En general, si y solo si . ^[7] $${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$$ ${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$ ${\displaystyle G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$ ${\displaystyle k\not \equiv 0{\pmod {6}}}$

La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein excluyendo 0 elevado a la sexta potencia se puede expresar en términos de la función gamma : donde E son los números enteros de Eisenstein y G ₆ es la serie de Eisenstein de peso 6. ^[8] $${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}}$$

Cociente dedopor los números enteros de Eisenstein

El cociente del plano complejo C por la red que contiene todos los números enteros de Eisenstein es un toro complejo de dimensión real  2. Este es uno de los dos toros con máxima simetría entre todos esos toros complejos. ^{[ cita requerida ]} Este toro se puede obtener identificando cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular.

Identificar cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular.

El otro toro máximamente simétrico es el cociente del plano complejo por la red aditiva de números enteros gaussianos , y se puede obtener identificando cada uno de los dos pares de lados opuestos de un dominio fundamental cuadrado, tal como [0, 1] × [0, 1] .

Véase también

• Entero gaussiano
• Campo ciclotómico
• Geometría sistólica
• Constante de Hermite
• Reciprocidad cúbica
• Desigualdad del toro de Loewner
• Cuaternión de Hurwitz
• Entero cuadrático
• Funciones elípticas de Dixon

Notas

1. Ambos Surányi, László (1997). Álgebra . TIPOTEX. pag. 73.y Szalay, Mihály (1991). Számelmélet . Tankönyvkiadó. pag. 75.A estos números los denomina "Euler-egészek", es decir, números enteros eulerianos. Según este último, Euler trabajó con ellos en una demostración.
2. Weisstein, Eric W. "Entero de Eisenstein". MundoMatemático .
3. Cox, David A. (8 de mayo de 1997). Primos de la forma x2+ny2: Fermat, teoría de campos de clases y multiplicación compleja (PDF) . p. 77. ISBN 0-471-19079-9.
4. " X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} es reducible en F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} si y solo si p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} ".
5. "Los números primos más grandes conocidos". The Prime Pages . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
6. "¿Cuáles son los ceros de la función j?".
7. "Muestra que G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} , y G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} , ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} ".
8. "Entrada 0fda1b – Fungrim: El Grimorio de las Funciones Matemáticas". fungrim.org . Consultado el 22 de junio de 2023 .

Enlaces externos

• Número entero de Eisenstein (de MathWorld)