integral abeliana

En matemáticas , una integral abeliana , llamada así en honor del matemático noruego Niels Henrik Abel , es una integral en el plano complejo de la forma

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

donde es una función racional arbitraria de las dos variables y , que están relacionadas por la ecuación ${\displaystyle R(x,w)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

donde es un polinomio irreducible en , ${\displaystyle F(x,w)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

cuyos coeficientes , son funciones racionales de . El valor de una integral abeliana depende no sólo de los límites de integración, sino también del camino por el que se toma la integral; por tanto, es una función multivaluada de . ${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$ ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de las integrales elípticas , que surgen cuando

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

donde es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de una integral abeliana es una integral hiperelíptica , donde , en la fórmula anterior, es un polinomio de grado mayor que 4. ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle P(x)}$

Historia

La teoría de las integrales abelianas se originó en un artículo de Abel ^[1] publicado en 1841. Este artículo fue escrito durante su estancia en París en 1826 y presentado a Augustin-Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, posteriormente desarrollada plenamente por otros, ^[2] fue uno de los mayores logros de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, está contenido en el concepto de variedad abeliana , o más precisamente en la forma en que una curva algebraica puede mapearse en variedades abelianas. Las integrales abelianas se conectaron más tarde con el problema número 16 del destacado matemático David Hilbert y siguen siendo consideradas uno de los principales desafíos de las matemáticas contemporáneas.

Vista moderna

En la teoría de superficies de Riemann , una integral abeliana es una función relacionada con la integral indefinida de un diferencial de primera clase . Supongamos que se nos da una superficie de Riemann y sobre ella una forma diferencial 1 que es holomorfa en todas partes y fijamos un punto en , desde el cual integrar. podemos considerar ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

como una función multivalor , o (mejor) una función honesta del camino elegido dibujado desde hasta . Dado que en general será conexo múltiple , se debe especificar , pero el valor en realidad sólo dependerá de la clase de homología de . ${\displaystyle f\left(P\right)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

En el caso de una superficie de Riemann compacta de género 1, es decir, una curva elíptica , tales funciones son las integrales elípticas . Por lo tanto, lógicamente hablando, una integral abeliana debería ser una función como . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$

Estas funciones se introdujeron por primera vez para estudiar integrales hiperelípticas , es decir, para el caso en el que existe una curva hiperelíptica . Este es un paso natural en la teoría de la integración para el caso de integrales que involucran funciones algebraicas , donde es un polinomio de grado . Las primeras ideas importantes de la teoría las dio Abel; Posteriormente fue formulado en términos de la variedad jacobiana . La elección de da lugar a una función holomorfa estándar ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle J\left(S\right)}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle S\to J(S)}$

de variedades complejas . Tiene la propiedad definitoria de que las formas 1 holomorfas en , de las cuales hay g independientes si g es el género de S , retroceden a una base para los diferenciales del primer tipo en  S . ${\displaystyle S\to J(S)}$

Notas

1. Abel 1841.
2. Appell y Goursat 1895, pag. 248.

Referencias

• Abel, Niels H. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions trascendentes". Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (en francés). París. págs. 176–264.
• Apelar, Paul ; Goursat, Édouard (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (en francés). París: Gauthier-Villars.
• Bienaventuranza, Gilbert A. (1933). Funciones algebraicas . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense .
• Forsyth, Andrew R. (1893). Teoría de Funciones de una Variable Compleja . Providencia: Cambridge University Press .
• Griffiths, Phillip ; Harris, José (1978). Principios de Geometría Algebraica . Nueva York: John Wiley & Sons .
• Neumann, Carl (1884). Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (2ª ed.). Leipzig: BG Teubner .